运用轨迹方程解两道竞赛题

刚刚落幕的第30届全国物理竞赛中一道考题引起了作者的注意，该题以斜抛运动为背景，考查学生运用数学知识处理物理问题的能力.求解本题可以根据斜抛运动的处理方法――正交分解的思想，将曲线运动分解为相互垂直的直线运动，然后利用运动的独立性和等时性解题.在分析问题时，如能结合斜抛运动的轨迹方程分析，思路更为清晰，求解更为迅速.

例1（第30届物理奥赛初赛）在水平地面某处，以相同的速率v0用不同的抛射角分别抛射两个小球A和B，它们的射程相同.已知小球A在空中运动的时间为TA，求小球B在空中运动的时间TB.重力加速度大小为g，不考虑空气阻力.

解析 ：

两小球做斜抛运动，可看成竖直方向的上抛运动和水平方向的匀速直线运动的合成.如图1所示，取抛射点为坐标原点，x轴沿水平方向，y轴竖直向上，抛射角为θ.从抛出时刻开始计时（即t=0），对斜抛小球，

在水平方向：x=v0tcosθ,

在竖直方向：y=v0tsinθ-1 2gt2,

消去t的小球运动得轨迹方程

y=xtanθ-g 2v20cos2θx2.

取y=0，解出x即为射程d，即

d=v20sin2θ g,

利用轨迹方程可得小球在空中运动的时间

T=d v0cosθ=2v0sinθ g.

以θA表示小球A的抛射角，θB表示小球B的抛射角，要两小球射程相同，由轨迹方程可知sin2θA=sin2θB,则

2θA=π-2θB,故小球A和小球B在空中运行的时间分别为

TA=2v0sinθA g

TB=2v0sinθB g，则

TB=4v20-(gTA)2 g.

例2 炮兵由山顶向海上目标射击，发现同一门炮以倾角α1和α2发射相同的炮弹时，都能准确地命中海面上位置不变的同一目标．已知炮弹初速度大小为

v0，求此山的海拔高度(不计空气阻力)．

解析 ：如图2所示，以炮弹出手处为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，设山顶海拔高度为h，目标横坐标为d，由发射到命中目标所

需时间为t,由斜抛运动规律可知：

d=v0cosα•t，

-h=v0sinα•t-1 2gt2

，消去t得轨迹方程为

h=g 2v20cos2θ

d2-dtanα

，当α分别为α1和α2时，

h和d相同，则有

h=g 2v20cos2α1

d2-dtanα1

和h=g

2v20cos2α2d2-d

tanα2，联立得

h=2v20

g•

tan(α1+α2)

tanα1+tanα2.