对全国高考数学课标卷文科第12、16题的思考

2012年高考已经落下帷幕，今年的高考不仅给我们留下很多宝贵资源，还给我们今后的教学和备考提出来许多新的思考。如，2012年高考数学全国课标卷文科的第12题（理科第16题）、第16题就是两道具有导向意义的好题，题目如下：

12.数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，则{an}的前60项和为：

。

A.3690 B.3660

C.1845 D.1830

16.设函数f（x）= 的最大值为M，最小值为m，则M+m= 。

【第12题的分析】

本题可以当做以“递推数列求和”形式来考查“归纳推理”这种数学方法的经典例题。搞清立意加以耐心不难解得此题。由递推式可得：

（1）a2-a1=2×1-1=1

（2）a3+a2=2×2-1=3

（3）a4-a3=2×3-1=5

（4）a5+a4=2×4-1=7

（5）a6-a5=2×5-1=9

（6）a7+a6=2×6-1=11

（7）a8-a7=2×7-1=13

（8）a9+a8=2×8-1=15

…

（57）a58-a57=2×57-1=113

（58）a59+a58=2×58-1=115

（59）a60-a59=2×59-1=117

由（1）+（3）+（5）+（7）+…+（57）+（59）得：

S偶-S奇=1+5+9+…+113+117=■=1770

S偶=1770+S奇

由{（2）-（1）}+{（6）-（5）}+{（10）-（9）}+…+{（58）-（57）}得：

a1+a3+a5+a7+…+a59=2+2+2+2+…+2=2·15=30

即S奇=30则有S60=S偶+S奇=1770+2·30=1830

【第16题的分析】

本题用求函数最值形式去考查奇函数的性质：奇函数的最值互为相反数。先“分离常数”再“构造新函数”，即可解得。

f（x）= =1+

设g（x）= （其中x∈R）可知g（x）为奇函数

g（x）=f（x）-1则g（x）max=M-1

g（x）min=m-1

M+m=g（x）max+g（x）min+2=0+2=2。

第12题许多考生力求得出通项公式而误入歧途，还有考生没有列出足够的等式，且式中符号又交替规律不明显而被迫放弃。说明教学中对新课标理解还有偏差。新教材数列的知识设置和思路安排就是通过大量的观察，归纳出内在的规律。对知识的导引必须要充分。而第16题从一个全新的角度来考查函数的性质可称经典。考生习惯用导数来求最值，然而此题出现超越方程，无法解出。这又暴露出备考时对考纲的贯彻不到位，函数性质也是客观必考的点。如能注意到这些，有针对性地解题会更顺利些。

精彩的试题不仅结构简洁、形式优美、解法奇特、具有良好的区分度，关键还在于它能够给我们带来“认知结构”上的冲击。第12题强化“归纳推理”对数列的支撑。第16题又是传统的函数上的精进。只有充分发挥高考导向功能，才能推动中学数学教学向纵深发展。

（作者单位 河北省宽城满族自治县第一中学）