在中学数学教学中发展学生的数学思想

摘 要： 数学教学是中学教育教学中不可或缺的一部分，它对中学生的知识、能力和价值观的发展起到非常重要的不可忽视的作用。数学思想和数学观点在一定程度上影响学生的思维方式和生活方式，它是数学学习的精髓和内涵所在。因此要重视在中学数学教学中发展学生的数学思想。

关键词： 中学数学教学 数学思想 集合思想 系统思想 对应思想

数学思想的内涵是丰富而有层次的，具体而言可以分为以下几个方面。第一，数学思想是对数学最本质的和最核心的认识，包括对数学的基本概念、基本逻辑思想、基本的方法和数学在整个学科中的位置和重要性的认识；第二，数学思想指的是引导学生用数学的逻辑和思维思考生活中的问题，用数学的方法转化和解决生活中的实际问题，掌握数学发展的一般规律和数学知识的规律性。比较上述说法，对数学思想的含义作如下概括：数学思想是指在数学活动中解决问题的基本观点和根本想法，是对数学概念、命题、规律、方法和技巧的本质认识，是数学中的智慧和灵魂。

一、数学思想的几次重大突破

（一）从算术发展到代数是数学思想的一次重大发展。

算术是一切科学产生的重要条件。代数的发展就建立在算术发展的基础之上，是算术不断发展的重要产物。最初的算术主要有自然数，小数和分数的认识及运算，这就为人们认识客观世界，用客观数据解答问题起到了关键性的作用，成为人类发展的重要的运算工具。但在使用算术解决问题的过程中，人们逐渐认识到算术在解题方面有一些不可避免的局限性。比如，算术在解决问题时，只能进行具体的数字或者说进行四则运算，对含有未知数的抽象的问题却无法解答。在解决应用题时，需要先根据需要求的量，按照已知的条件按照题目练出式子，然后使用算式计算规则求得结果。而更多在生活中遇到的比较复杂的数学问题，比如有关路程的问题，有关工程完成量的问题，有关公司盈余的问题和产品的分配问题，等等，都是利用算术得到解决的。这里的关键是列出算式，而对于那些具有复杂数量关系的应用题，要列出相应算式并非易事，往往需要很高的智慧和技巧。但是在转换实际问题为数学问题时，需要列出含有未知数的算术进行求解时，算术就解决不了。正是为了解决这一矛盾，便产生了代数解题法。其特点是允许未知数参与运算，把已知数与未知数放在同等地位对待。这种数学思想的精髓是，首先需要根据问题中已有的条件列出包含未知数的等式，也就是现在大家所说的方程，然后通过变换等式两边的式子，求得未知数的结果。这就克服了算术解题法的局限性，使代数方法有了更大的普遍性和灵活性，代数解题法的产生过程也就是代数学的形成过程。

（二）几何的代数化是数学思想的又一次发展。

几何科学在其发展历程中，其思想在不断发展中取得了一次又一次的进步，但是具有划时代意义的一次进步是几何的代数化发展。在14世纪前，几何高速发展而代数还处于启蒙发展阶段，还没有发展成为一门独立的科学，学科体系还没有建立，因此几何学处于数学科学的中心地位。当时，在解决几何证明方面的问题时，需要的技巧和步骤过于繁琐，给几何证明方面问题的解决带来了不小的难题。此时，代数学日渐成熟，特别是16世纪代数学得到突飞猛进的发展，不仅形成了一套简明的字母符号体系，而且成功地解决了二次、三次、四次方程的求根问题，这使代数学在数学中的地位逐渐上升。16世纪法国数学家韦达曾尝试用代数方法解决几何问题，并萌发了用方程表示曲线的思想。他在文章中表示，在几何作图方面，可以把线段用数字表示，而线段的连接可以转化为代数的四则运算，这也是第一个提出用代数解决几何问题的科学家。法国数学家笛卡尔继承和发展了韦达先进的数学思想，主张采用几何和代数中一切最好的东西创立一门普通数学，使算术、代数、几何统一起来，并提出用坐标和曲线方程来解决几何问题。此书的问世标志着解析几何的诞生，用代数方程表示一定的几何轨迹，这正是解析几何的基本思想。随着解析几何的发展，几何代数的内容和方法不断得到丰富。几何代数化对数学的发展有重大意义。首先，它为几何学的研究提供了新的方法，使许多几何问题变得简单易解；它使数学从定性研究阶段发展到定量分析阶段，使人们对形的认识由静态发展到动态，对空间的认识由低维发展到高维。其次，它为代数研究提供了形象模型；用代数学的知识和思想解决几何学方面的问题，为代数学的发展提供了新的问题领域。再次，在数学教育教学中引进了变量，这为微积分学科的发展提供了条件。除此之外，数学思想方法理论在此基础上不断萌芽，并逐步发展为一门成熟的理论。集合思想、系统思想、函数思想、方程思想、数形结合思想等思想逐渐被开发出来，形成独立的研究内容。

（四）数学由必然现象向偶然现象的转变是数学思想的又一次飞跃。

在现实生活和时间中存在两种近似相反方向的现象，其中一种称为必然的现象，另一种称为偶发的现象。必然现象是指在一定条件必然产生某种结果或者必然不发生某种结果的现象，即条件和结果之间存在必然联系。用以描述和研究必然现象的量及其关系的数学，称为必然数学。如几何、代数、微积分等。或然现象指的是，某种现象在适当的环境和条件下，可能引起某种结果或现象的法伤，也可能不导致这种结果和现象的发生，即或然现象中不存在条件与结果的必然联系。或然现象是不能用必然数学进行精确的定量描述的。但是，这不意味着或然现象不存在规律，也不意味着我们不能从数量上描述和研究或然现象的规律。当同一情况的现象多次不断出现时，就呈现出一定的特征和规律，这就是数学中统计的研究内容。这种统计规律性的存在便是或然数学的现实基础。

二、中学生应该掌握的基本数学思想

（一）培养学生用符号与变元表示思想。

符号是指将具体的数字转化为抽象的表述，变元指的是将数学中的变量用不同的数学的数学字母加以表示。符合与变元指的是将生活中遇到的实际问题用数学符号和具有一定使用通性的量揭示实际问题中的数量关系，以此转化为数学问题加以解决，通过对“量”的研究或应用规律、规则来解决问题的一种思想。使用符号化语言和在其中引进“变元”，是数学科学高度抽象性的要求。用字母和变元表示有关对象关系，具有明确简洁的优点，增大了信息密度和信息容量，这样抽象的形式会带来思维的直观。

（二）培养学生的集合思想。

在中学阶段，集合是存在于数学学科内容的不同层次和不同部分，也存在于学生知识和技能发展的不同年级中。中学集合思想主要贯穿在以下方面：第一，数系、点集和解集是集合的雏形和基础。数系是中学数学中主要的研究对象，是立足于集合概念之上的。伴随数学数系的不断发展，实数与其在数轴上对应的点的位置的关系，促进数字和图形的相互结合，然后开始数学实际问题的解决；第二，体现集合表述，揭示数学概念。在中学数学中，从集合观点看，数学概念都可看做集合。因此，都可以用集合来表述。

（三）培养学生的对应思想。

对应是人的思维对两个集合间联系的把握。对应指的是，将不同类型、不同层次的研究对象相联系，发现这些对象相同的或者同类似的本质的属性，促进这些不同特征、不同属性的事物之间的规律转换，并使用相应的方法加以解答。对应思想的发展是人类认识发展史上的一大进步。对应思想对学生的发展具有重要的作用，掌握对应思想，有助于学生科学的把握生活中的现象，认识复杂的世界。因此，在中学阶段，要引导学生掌握对应思想，促进对应思想的内化，并加以运用。

（四）培养学生的系统思想。

系统论是现代新三论重要思想之一。系统论的出现是世界发展史上的最伟大的成就之一。系统思想强调的是事物的整体性，强调将事物看成一个整体来解决问题，思想整体中各部分对整体的影响，合理调节部分对整体的作用。中学生在心理发展阶段是逐渐去自我中心，也就是说学生在中学阶段还表现为一定的以自我为中心，忽视人际关系中的其他关系，只在乎自己的感觉，认为其他人的感觉是和自己同步的。这种思想不利于学生的发展，而系统的发展思想在一定程度上改变学生的思想，引导学生在动态的发展变化中认识到整体和部分、部分和部分，以及整体和部分的动态变化过程，并用动态的观点思考自己和他人，用动态的思想解决自己和他人的问题。

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