探析中学数学思想

【摘 要】知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和，是人类文化的核心内容。在数学学科中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等显然属于知识的范围。这些知识要素也都反映了共同的、带有本质性的东西就是数学思想。它们是人类文化的重要组成部分之一，是数学文化的核心内容，也就是数学文化的“重中之重”。

【关键词】中学数学；思想；层次；程序

一、数学思想教学的心理学意义

第一、心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习能使新知识较顺利地纳入到学生已有认知结构中去。

第二、有利于记忆。布鲁纳认为：“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留理下来的东西将使我们在需要的时候可以把一件件事物重新构思起来。”

第三、学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

第四、强调数学思想的学习，“能够缩小高级知识和初级知识之间的间隙”。一般地，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想。

二、关于中学数学思想

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。中学数学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。

在数学思想中，有一类思想可以称之为基本数学思想，例如集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思想，化归的思想，对立统一的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想（或说无限逼近思想）等。它有两大“基石”是符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大“支柱”是对应思想和公理化与结构思想。有些基本数学思想是从“基石”和“支柱”衍生出来的，例如“函数与方程的思想”衍生于符号与变元表示的思想（函数式或方程式）、集合思想（函数的定义域或方程中字母的取值范围）和对应思想（函数的对应法则或方程中已知数、未知数的值的对应关系）。所以我们说基本数学思想是体现于基础数学（而不是说初等数学）中具有奠基性和总结性的思维成果。中学数学传授的数学思想，应该都是基本数学思想。

在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：①这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；②符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；③在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；④掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。

三、中学数学教学内容的层次

中学数学教学内容体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。

表层知识是深层知识的基础，是数学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。

那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透教学思想的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。

四、传授基本数学思想的程序

中学数学教科书担负着向学生传授基本数学思想的责任，在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。

1.渗透

“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还不能从理性上开始认识它们。例如集合思想、对应思想、公理化与结构思想、抽样统计思想从初中一年级就开始渗透了，极限思想也从初中教科书中安排类似于“关于圆周率π”这样的阅读材料开始渗透。至于公理化与结构思想，根据人类的认识规律，一开始就采取扩大的公理体系。例如，教科书既可以把“同位角相等，两直线平行”和它的逆命题都当作公理，也可以把判定两个三角形全等的三个命题“边角边”、“角边角”和“边边边”都当作公理。这种渗透是随年级逐步深入的，例如集合思想，初中是用文氏图或列举法来表示集合，不等式（组）的解集可以用数轴表示或用不等式（组）表示；高中则是列举法、描述法、文氏图三者并举，并同时允许用不等式（组）、区间或集合的描述法来表示实数集的某些子集。又如对应思想，初中只用文字、数轴或平面直角坐标系来讲对应，高中则在此基础上引入了使用符号语言的对应法则。至于公理化与结构思想、抽样统计思想和极限思想在初、高中阶段的不同渗透水平，则是众所周知的。“渗透”到一定程度，就是“介绍”的前奏了。

2.介绍

“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。要介绍的有符号与变元表示的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等。这种介绍也是随年级逐步增加的。有的思想从初中一年级起就开始介绍（例如前四种基本数学思想），有的则是先渗透（例如后两种基本数学思想）后介绍。“介绍”与“渗透”的基本区别在于：“渗透”只要求学生知道有什么思想，而“介绍”则要求学生在此基础上进而知道为什么叫做思想（含思想的要素和特征）、用什么思想（含思想的用途）并学会运用。作为补充，也可以就问题适时地向学生介绍如何运用一分为二的思想和整体思想。

3.突出

“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，目的在于最大限度地发挥这些数学思想的功能。要突出的有数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。这些基本数学思想贯穿于整个中学阶段，最重要、最常用，是中学数学的精髓，也是能长久保存在人一生的记忆之中。“介绍”与“突出”的基本区别在于：“介绍”只要求学生知道用和会用，而“突出”则要求学生在些基础上进而知道选用和善用。作为补充，也可以就数学问题经常向学生突出分类思想的运用。

总之，由于数学思想在中学数学教育中具有极其重要的地位，我们数学教师在数学教学教育中要根据学生的心理特点、认知水平科学合理地对中学生进行数学思想的教学，从而提高学生的数学学习能力和数学素养。

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