如何解答数学填空题

填空题是高考数学的一种基本题型，主要考查同学们的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点。是高考数学中的三种常考题型之一，解题时，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整。数学填空题绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念判断型的试题，同学们解答时必须按规则进行准确的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫。下面介绍一些解答填空题的常用方法。

一、直接法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发，利用定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

例1（2011年陕西卷・理15）若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是_______。

解析先确定|x+1|+|x－2|的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可。

当x≤－1时，|x+1|+|x－2|=－x－1－x+2=－2x+1≥3；

当－1

当x>2时，|x+1|+|x－2|=x+1+x－2=2x－1>3；

综上可得|x+1|+|x－2|≥3，

所以只要|a|≥3，解得a≤－3或a≥3，

即实数a的取值范围是(－∞,－3］∪［3,+∞)。

二、定义法

有些问题直接去求解很难奏效，而利用定义去求解可以大大地化繁为简，速达目的。

例2C38－n3n+C3n21+n的值是_______。

解析从组合数定义有：0≤38－n≤3n0≤3n≤21+n 192≤n≤212

又n∈N，故n=10 ，代入再求，得原式=466。

例3到椭圆x225+y29=1右焦点的距离与到定直线x

＝6距离相等的动点的轨迹方程是_______。

解析根据抛物线定义，结合图1知：

轨迹是以（5，0）为顶点，焦参数P＝2且开口方向向左的抛物线，故其方程为：y2=－4(x－5)。

三、特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

例4在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则cosA+cosC1+cosAcosC=_______。

解析特殊化：令a=3,b=4,c=5，则ABC为直角三角形，cosA=45,cosC=0，从而所求值为45。

例5（2010年安徽卷・文15）若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是_______(写出所有正确命题的编号)。

①ab≤1；②a+b≤2；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤1a+1b≥2

解析令a=b=1，排除②④；由2=a+b≥2abab≤1，命题①正确；a2+b2=(a+b)2－2ab=4－2ab≥2，命题③正确；1a+1b=a+bab=2ab≥2，命题⑤正确。故答案填①③⑤。

例6过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线与抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则1p+1q=_______。

解析此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时，PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

设k = 0，因抛物线焦点坐标为(0,14a),把直线方程y=14a代入抛物线方程y=ax2，得x=±12a，所以|PF|=|FQ|=12a，从而1p+1q=4a。

例7如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小关系是_______。解析 由于f(2+t)=f(2-t)，

故知f(x)的对称轴是x=2。

可取特殊函数f(x)=(x-2)2,

即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。

所以f(2)

例8已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则a1+a3+a9a2+a4+a10的值是_______。

解析考虑到a1,a3,a9的下标成等比数列，故可令an=n满足题设条件，于是a1+a3+a9a2+a4+a10=1316。

四、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能利用数形结合的方法，往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例9如果不等式4x－x2>(a－1)x的解集为A，且A{x|0

解析根据不等式解集的几何意义，作函数y=4x－x2和函数y=(a－1)x的图像（如图2），从图上容易得出实数a的取值范围是a∈2,+∞。

例10（2011年天津卷・文14）已知直角梯形ABCD中，AD//BC,∠ADC=900,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则PA+3PB的最小值为_______。

解析以直角梯形的D点为坐标原点，DA边所在直线为x轴，DC边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图3，设C（0，c），P（0，x），则A（2，0)，B(1,c)；所以PA=(2,－x)，

PB=(1,c－x)；

所以PA+3PB=(5,3c－4x)=52+(3c－4x)2≥5；即其最小值为5。

五、等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

例11不等式x>ax+32的解集为（4，b），则a=_____，b=_____。

解析 设x=t，则原不等式可转化为：at2－t+32

所以a > 0，且2与b(b>4)是方程at2－t+32=0的两根，由此可得：a=18,b=36。

例12函数y=4x－1+23－x单调递减区间为____________。

解析易知x∈［14,3］,y>0。

因为y与y2有相同的单调区间，

而y2=11+4－4x2+13x－3，所以可得y的单调递减区间为［138,3］。

六、构造法

对于构造型填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决。

例13（2010年辽宁卷・理16）已知数列an满足a1=33,an+1－an=2n,则ann的最小值为_______。

解析 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2［1+2+…(n-1)］+33=33+n2-n。

所以ann=33n+n－1

设f(n)=33n+n－1，令f′(n)=－33n2+1>0，

则f(n)在(33,+∞)上是单调递增的，在(0,33)上是单调递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时f(n)有最小值。

又因为a55=535，a66=636=212，

所以，ann的最小值为a66=212。

六、 淘汰法

当全部情况为有限种时，也可采用淘汰法。

例14已知a、b∈R，则a>b与1a>1b同时成立的充要条件是_______。

解析按实数b的正、负分类讨论。

当b>0时a>0，而等式不可能同时成立；

当b＝0时，1a>1b无意义；

当b

（作者单位：江西省万载中学）