简化运算的四种途径

运算求解能力是新课标高考要求的五种能力之一。 同时，运算求解能力也是思维能力和运算技能的结合。它要求考生能根据问题的条件寻找出设计合理、简捷的运算途径。在一定程度上，一个考生运算求解能力的高低，决定其数学高考的成败！

在解题过程中，要提高运算求解能力，首先，必须增强求简意识，善于比对问题的不同思考路径，优化思维视角。其次，要讲究算理，掌握一些基本的简化运算的途径。

一、回归简朴

所谓回归简朴，是指在运算过程中，不把问题想得复杂，而是优先回归基本的概念、定理、性质与方法，通过挖掘隐含条件，达到简捷运算的目的。

例1如图1，已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点F2，且两条曲线的交点连线也经过焦点F2，求椭圆的离心率。

解析对于本题的解法，一般是通过设F2(p2,0)，

得到A(p2,p)。

由c=p2,p24a2+p2b2=1

c2a2+4c2b2=1e4-6e2+1=0。解得e=2-1。

上述解法，基于方程转换，运算难免繁冗。

如果能回归定义，作抛物线的准线l，交椭圆于B，如图1。

由题设以及抛物线定义知AF2=AB=2c,即四边形ABF1F2为正方形。

连接AF1，由椭圆定义知

2a=AF1+AF2=22c+2cca=12+1=2-1，

即e=2-1。

例2如图2，A,B,C是直线l上三点，P是直线l外一点，若AB=BC=a，

∠APB=90°，∠BPC=45°，求PA・PC的值。

解析如图2，由数量积定义，PA・PC涉及∠PBA，设∠PBA=θ。

如不揭示图形的平几性质，则在PAB、PBC中，通过解

三角形，得出PA・PC=-a2sin2θ，在PBC中，应用正弦

定理，得PBsinC=BCsin45°acosθsin(θ-45°)=asin45°。

照此下去，算得sin2θ的值，计算会很繁琐。如若利用平面几何性质，则可简化运算。

延长PB到D，使PB=BD，连接AD，因为AB=BC，

所以PAD为等腰直角三角形，得PA=PD=2PB。由此可得sinθ=255。

即PA・PC=-45a2。

二、简化层次

运算的繁冗，常常是因计算层次繁复所导致的。如在解题中，割裂联系，一味计算；或机械分类，无端讨论，等等。所有这些，都将增添计算层次，由此形成运算繁琐。

例3设a∈R,且a-a-1=1，求(a3+a-3)(a2+a-2+3)a2-a-2的值。

解析本题有如下一种解法：

因为a-a-1=1(a-a-1)2=1a2+a-2=3(a+a-1)2=5a+a-1=±5。 所以a3+a-3=(a+a-1)(a2+a-2-1)=±25。 (a2-a-2)2=(a2+a-2)2-4=5a2-a-2=±5。

故原式=(a3+a-3)(a2+a-2+3)a2-a-2=±25(3+3)±5=±12。

上面解法，没有遵循“先化简后求值”的原则,无形中增添了计算环节，而且结果也有瑕疵。简捷解法如下：

原式=(a3+a-3)(a2+a-2+3)a2-a-2

=(a2+a-2-1)(a2+a-2+3)a-a-1=(3-1)(3+3)1=12。

例4已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1。设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围。

解析某同学提供了本题以下一种解法：

f′(x)=3x2-6ax+3=3［(x-a)2+1-a2］。

当1-a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；

当1-a2

由题意，知2

或2

①无解，②的解为54

因此a的取值范围为(54,53)。

审视上述解法，其实分类讨论并非必需！请看下面解法：

注意f′(x)=0有两实根x1

只能是2

三、合理转换

对于一个数学问题，如果我们就题论题，纷繁运算可能在所难免。但是，假如我们变换思考问题的视角，将问题的表述方式进行合理转换，繁杂运算就可能避免。

例5设函数fx=xx+2。若关于x的方程fx=mx2有四个不同的实数解，求实数m的取值范围。

解析对本题，若就题论题，则有如下解法：

由fx=mx2xx+2=mx2。①

当x≠0时，①为1x+2=mx。②

画出y=1x+2、y=mx的图像，如图3。

因①有四个解，故②有三个解，即两图像有三个交点,由此可得 m>1为所求。

若合理转换，则有以下简洁解法：

由题意知m≠0，故当x≠0时，①为xx+2=1m。③

画出y=xx+2,y=1m的图像，如图4。

当01。

例6设函数f(x)=x3-ax2-2ax+a2-1只有一个零点，试求实数a的取值范围。

简析本题若借助f(x)导数，结合f(x)的图像解题，不仅运算复杂，可能导致无果而终。倘若转换思维，反客为主，视实数a为变元，则有下面简捷方法：

f(x)=x3-ax2-2ax+a2-1=0a2-(x2+2x)a+x3-1=0

即(a-x+1)(a-x2-x-1)=0，得x=a+1,或x2+x+1-a=0。

因为f(x)=0只有一个零点，所以x2+x+1-a=0无实数解，即

=1-4(1-a)

四、揭示背景

对有些数学问题，在解题过程中之所以会引起繁琐计算，是缘于我们不识问题的背景，从而不能理解问题之实质。正可谓：不识庐山真面目，只缘身在此山中。

例7如图5所示，在ABO中，OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M，设OA=a,OB=b。试用a,b表示向量OM。

解析解决本题，一般从向量三角形法则出发，要达到目的，其运算推理过程不易。

通过观察，可揭示问题背景，本题的实质就是以M为公共点的两组三点C,M,B与A,M,D的共线问题。运用共线的向量结论，则有简明解法：

设OM=mOA+nOB，则依题意有

OM=4mOC+nOB，OM=mOA+2nOD。

可得4m+n=1,m+2n=1, m=17,n=37。

所以OM=17OA+37OB，即OM=17a+37b。

显然，借助上法，可将本题推广到一般情形。

（作者单位：广东省深圳市石岩公学高中部）