导数法求解三次函数问题

三次函数的图像及性质在现行的高中《数学》教材中虽未给予介绍，在近几年的全国各省市高考数学试卷中，却频频出现以三次函数为背景的问题，以导数为工具，重点考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念。下面举例说明，希望对同学们有所帮助。

例1（2009年江西卷・文17）设函数f(x)=x3-92x2+6x-a。

（1）对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；

（2）若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围。

解(1) f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),

因为x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m, 即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立,

所以=81-12(6-m)≤0,得m≤-34，即m的最大值为-34。

(2) 因为当x0;当1

所以当x=1时,f(x)取极大值f(1)=52-a;当x=2时,f(x)取极小值f(2)=2-a。故当f(1)・f(2)>0时，f(x)=0有且仅有一个实根，解得a52。

点评本题以三次函数为背景，第（1）问考查了二次函数大于等于零恒成立问题，第（2）问考查了用导数法解决三次方程根的个数问题。

例2(2011年江西卷・理19) 设

f(x)=-13x3+12x2+2ax。

（1）若f(x)在(23,+∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围。

（2）当0

解（1）f′(x)=-x2+x+2a，因为函数f(x)在(23,+∞)上存在单调递增区间，所以f′(x)=-x2+x+2a>0的解集与集合(23,+∞)有公共部分，所以不等式x2-x-2a23，解得a>-19。

（2）由f′(x)=-x2+x+2a>0

得1-1+8a2

所以1-1+8a2

所以函数f(x)在(1,1+1+8a2)上单调递增，

在(1+1+8a2,4)上单调递减，又f(1)=2a+16，

f(4)=8a-403，

因为0

最大值为f(1+1+8a2)=f(2)=103。

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等。

例3（2010年天津卷・文20）已知函数f（x）=ax3-32x2+1(x∈R)，其中a>0。

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（Ⅱ）若x在区间-12,12上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。

解（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3-32x2+1，f（2）=3；

f′(x)=3x2-3x, f′(2)=6。所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9。

（Ⅱ）f′(x)=3ax2-3x=3x(ax-1)。令f′(x)=0，解得x=0或x=1a。

以下分两种情况讨论：

（1）若0

x(-12，0)0(0，12)

f′(x)+0-

f(x)极大值

当x∈-12，12时，f（x）>0等价于f(-12)>0,f(12)>0, 即5-a8>0,5+a8>0。

解不等式组得-5

（2）若a>2，则0

x(-12，0)0(0，1a)1a(1a，12)

f′(x)+0-0+

f(x)极大值极小值

当x∈-12，12时，f（x）>0等价于

f(-12)>0,

f(1a)>0,

即5-a8>0,1-12a2>0。

解不等式组得22

因此2

综合（1）和（2），可知a的取值范围为0

点评本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

例4（2009年浙江卷・理22）已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R。

（Ⅰ）设函数p(x)=f(x)+g(x)。若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；

（Ⅱ）设函数q(x)=g(x),x≥0,f(x),x

解 （Ⅰ）因p(x)=f(x)+g(x)=x3+（k-1）x2+(k+5)x-1，p′(x)=3x2+2(k-1)x+(k+5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p′(x)=0在(0,3)上有实数解，且无重根，由p′(x)=0得k(2x+1)=-(3x2-2x+5)，所以

k=-(3x2-2x+5)2x+1=-34（2x+1）+92x+1-103。令t=2x+1有t∈(1,7)，记h(t)=t+9t则h(t)在(1,3］上单调递减，在［3,7)上单调递增，所以有h(t)∈［6,10)，于是(2x+1)+92x+1∈［6,10)，得k∈(-5,-2］，而当k=-2时，有p′(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x=1，故舍去，所以k∈(-5,-2)；

（Ⅱ）当x

=3x2-2(k2-k+1)x+5；

当x>0时有q′(x)=g′(x)=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k≠0，

下面讨论k≠0的情形，记A=(k,+∞)，B=（5,+∞)

（）当x1>0时，q′（x）在(0,+∞)上单调递增，所以要使q′(x2)=q′(x1)成立，只能x2

（）当x10且AB，因此k≤5。

综合（）（）k=5；

当k=5时A=B，则x1

同理,x1

点评 本题考查了函数与导数的综合应用。第（Ⅰ）问通过分离变量，换元转化为求值域问题，第（Ⅱ）问综合考查了集合、单调性及值域等知识。

（作者单位：江西省上饶市第一中学）