初中几何动点问题的教学例析

近年来，中考数学中的几何动点问题成为考查学生的热点题型而倍受青睐，而且往往是作为压轴题而出现.几何动点问题的题目不仅涉及的知识点多，而且能将几何知识和代数知识紧密结合，既考查学生的基本运算能力、又可以考查学生的思维能力和空间想象能力，较综合地体现了中考数学对学生的素质要求.由于这类题型往往信息较多，综合难度较大，学生的得分情况往往不够理想.教师如何在平时数学教学中逐步渗透，培养学生认识、分析动点几何题的能力，理解动与静的辨证关系，教会学生把握和解决此类问题，是学生在数学中考中能否取得高分的关键.

如何准确、快速解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方法――以静制动..动与静的哲学关系正如赫拉克利特所说：“这个世界，对于一切存在物都是一样的，它不是任何神所创造的，也不是任何人所创造的；它过去、现在、未来永远是一团永恒的活火，在一定的分寸上燃烧，在一定的分寸上熄灭.”运动是永恒的，静止则是相对的，动中有静，静中有动，二者相互依存，相互制约，相互统一.有的老师将动点问题分为动点型、动线型，动点又分为单动点、双动点等，或是将动点问题以所在图形区分，分为三角形、四边形、圆中的动点问题，这种分类可能更为详细，但未免有些机械.笔者认为处理动点问题的原则是复杂问题简单化，动态问题静态化，“动中取静”，利用函数思想，处理好特定点的变量关系.下面笔者以2013年苏锡常地区中考数学中的几个动点问题为例，简单谈谈此类题的解题方法和思路.

一、利用动点(图形)位置进行分类，把动态问题转化成静态问题

例1(2013年苏州中考第10题)如图1，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为.

该题的考点是轴对称-最短路线问题及坐标与图形的性质.通过分析可知，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案.

二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程

例2(2013年苏州中考第29题)如图2，已知抛物线y=12x2+bx+c(b，c是常数，且c＜0)与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(-1，0).

(1)b=，点B的横坐标为(上述结果均用含c的代数式表示)；

(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=12x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为(2，0).当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

(3)在(2)条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得PBC的面积为S.①求S的取值范围；②若PBC的面积S为整数，则这样的PBC共有个.

这是一个二次函数综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、直线平移的规律、求两个函数的交点坐标、三角形的面积、一元二次方程根的判别及根与系数的关系等知识，综合性较强，有一定难度，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.设点P坐标为(x,12x2-32x-2)，因为点A的坐标为(-1，0)，点B坐标为(4，0)，点C坐标为(0，-2)，所以AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=12x-2.因为0＜S＜5，S为整数，所以S=1，2，3，4，应分两种情况-1＜x＜0及0＜x＜4分别讨论.

三、找准关键点，利用相似的思想和方法考察动点问题的函数图象

例3(2013年无锡中考第27题)如图3，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2 cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止.设点P运动的时间为t(s),APQ的面 积S(cm2)与t(s)之间函数关系的图象由图4中的曲线段OE与线段EF、FG给出.(1)求点Q运动的速度；(2)求图2中线段FG的函数关系式；(3)问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1∶5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由.

这是一个相似形综合题，考查动点问题的函数图象：当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成APQ和五边形PBCDQ两部分，求出t的值；当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，求出t的值.

本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程.

动点题是近年来中考的的一个热点问题，题型多样，涉及知识点多，如何让学生在初中三年数学学习中不断提高数学思维品质，提高学生处理此类问题的能力，需要我们重视基础知识和基本技能的培养和训练，要“以静制动”， 抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，把动态问题变为静态问题来解.