立体几何解题策略探讨研究

【摘要】 数学的解题教学是整个数学教学过程的重要组成部分，它是数学的概念教学、命题教学的继续与深化，它的优劣会直接影响学生的数学学习，特别在理解概念、获取技能、掌握方法、培养能力等诸方面所起到的作用尤为突出.怎样开展解题教学、如何上好解题示范课，如何提高学生的数学思维能力是教师共同的话题.笔者试图通过自己的实践，以“平面的斜线与平面所成角”的习题课为例，阐述了解题策略的重要性.

【关键词】 策略；线面角

笔者主要从两个环节去提高学生的解题策略，第一个环节是分析课前布置的习题，即文中例1，在学生充分思考的基础上，各抒己见，并归纳出有代表性的解法；第二个环节是在例1的基础上，有选择地应用例1归纳的方法解决例2.

环节一 例题研析，探寻本质

例1 （2010年浙江省文科样卷19题）如图1，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点.

（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（第（Ⅰ）小题解法略）

（Ⅱ）若PA=AB，求直线EF与平面PAC所成角的大小.

图 1 图 2

图 3 图 4

策略1：垂面法策略

【生】如图2所示，因为平面PAC平面ABCD，故将平面ABCD向上“平移”至过点F，即取PC，PD，PA的中点分别为G，H，K，易得平面PAC平面KFGH.由面面垂直性质定理，过F作FMKG于M，即得FM平面PAC.

简解：如图2，∠FEM即为直线EF与平面PAC所成的角，

sin∠FEM= FM FE = FM 1 2 PD = 2 2 KH 1 2 PD = 1 2 ，故直线EF与平面PAC所成的角为 π 6 .

【师】依定义，求出斜线l与平面α所成的角，需过斜线l上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，因此，确定垂足O的位置是关键.所谓垂面法策略，是指找到辅助平面β，满足P∈β，βα的方法，体现了转化和化归的思想.

利用垂面法策略找线面垂直是解决斜线和平面所成角问题的有效方法.但某些时候，满足条件的垂面也未必好找，因此，解题仍可能陷入“僵局”.

策略2：等角转化策略

【生】本题中，我是利用EF∥PD证明第（Ⅰ）小题，故可以考虑将所求角转化为直线PD与平面PAC所成的角，将过F点作平面PAC垂线的问题转化为过D点作平面PAC的垂线问题，而且，后者更容易操作.

简解：如图3，连接PE，DE，易证DE平面PAC，则所求角等于∠DPE，sin∠DPE= ED PD = 1 2 ，所以直线EF与平面PAC所成的角为 π 6 .

【师】某些问题中，按部就班地根据条件求斜线和平面所成的角可能会比较困难，线面垂直的垂足较难找.所谓等角转化策略，就是利用题目中已有的一些平行等条件进行等角转换，将不直观的角转化成直观且易研究的角，体现了数形结合和转化化归的思想.以下说明两个引理（证明略）.

引理1：若直线a∥直线b，则a与平面α所成角等于b与平面α所成角；

引理2：若平面α∥平面β，则直线a与平面α所成角等于直线a与平面β所成角.

利用等角转化策略的关键是找到合适的平行关系，转化的原则是把不直观的角转化为直观、易求的角，从而实现问题从复杂到简单的转化.

策略3：距离法策略

【生】如图1，只需求出点F到平面PAC的距离d，所求角的正弦值即为 d EF .

简解1：点F为PB中点，故点F到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的 1 2 ，即B到平面PAC的距离为2d，设PA=AB=BC=1，由VB-PAC=VP-ABC，得d= 2 4 ，故所求角的正弦值为 d EF = 1 2 ，所求直线与平面所成角为 π 6 .

简解2：如图4，连接BE，易证BE平面PAC，则B到平面PAC的距离为 2 2 ，故点F到平面PAC的距离为 2 4 ，以下同解1.

【师】策略1、2都需要找到斜线与平面所成角，即必须作出相应的直线和平面垂直的垂线.所谓距离法策略，就是利用斜线上斜足以外的一点到平面的距离，在不直接作出直线和平面所成角的情况下，间接地求出所求角的某一个三角函数值.该方法若能使用得当，也会使问题大为简化.

利用距离法策略的关键是求出点到平面的距离.求距离常用的方法主要有体积法和距离转化法，这两种方法有时要交替使用.距离法策略是无法找到直线和平面所成角时的有效方法.

【师】同学们想一想，本题有没有更新颖的解法？

策略4：对称策略

【生】本题涉及的图形关于平面PAC对称（如图2），点F关于平面PAC的对称点为PD的中点H，因此∠FEH为所求角的2倍.

简解：由计算可得，FEH为正三角形，所以所求直线与平面所成角为 π 6 .

【师】策略1与策略2都要作出直线与平面所成角，策略3可以做到不作角而求出角，策略4更从图形的整体特征考虑显得尤其方便，但是思维要求更高.

以后对于类似的问题，上述方法我们要有选择地加以应用，下面给出例2，看你选择哪个策略来解决.

环节二 高考再现，以题论道

例2 （2010年浙江省文科卷20题）如图5，在ABCD中，AB=2BC，∠ABC= 2π 3 ，E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A′DE，使平面A′DE平面BCD，F为线段A′C的中点.

（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；（第（Ⅰ）小题解法略）

（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.

图 5 图 6

图 7 图 8

此题的关键是过F点作平面A′DE的垂线，难度较大.

【生1】由题知，平面A′DE平面ABCD，故可考虑将平面ABCD向上“平移”至过点F.如图6，取A′D，A′E的中点分别为G，H，连接GH，HF，GF，易得平面GFH平面A′DE.只需过F作出GH的垂线，便是所探求的线面垂直.

简解1： 设AB=2AD=2，则GH= 1 2 ，GF=1，HF= 1 2 EC= 3 BC 2 = 3 2 ，故HFGH，所以FH平面A′DE，∠FMH为所求角，cos∠FMH= HM FM = 1 2 .

【生2】如图7，取DC中点N，连接FN，NB，则由平面FNB∥平面A′DE，可将所求角转化为直线MF与平面FNB所成角.

简解2：因为平面A′DE平面ABCD，且平面FNB∥平面A′DE，所以平面FNB平面ABCD.由DN=1，DM= 1 2 ，∠EDC= π 3 ，则MNDE，MNNB，MN平面FNB，直线MF与平面FNB所成角即为∠MFN，cos∠MFN= 1 2 .

【生3】本题的关键是求出点F到平面A′DE的距离及MF的长度，故可以考虑距离法策略来解决.将点F到平面A′DE的距离转化为点C到平面A′DE的距离（如图8）.

简解3：设点F到平面A′DE的距离为d，则点C到平面A′DE的距离为2d.如图8，连接CE，可以证明CEDE，进而CE面A′DE，2d=CE= 3 ，d= 3 2 .连接A′M和CM，则MF= 1 2 A′C.A′M= 3 2 ，CM= 13 2 ，A′C=2，所以MF=1，因此所求角的余弦值为 1 2 .

说明：点C到平面A′DE的距离也可以用体积法来求，即可由VA′-CDE=VC-A′DE求得.

【师】应用策略4能不能解决本题？答案是肯定的.请同学们课后去思考.

本堂课学生学习积极性空前高涨，思维活跃，发言踊跃，达到了解题示范课的效果.

教学建议及感悟

“平面的斜线与平面所成的角”是立体几何中的一个重点和难点，有些学生虽然课后也做了不少相关习题，但一遇上略有变化或稍有难度的问题，就束手无策、无所适从，解题能力显得薄弱，究其原因错综复杂，但其中带教老师的解题示范存在欠缺也不是没有可能.因此，施行“授人以渔”式的教学已刻不容缓.

数学解题示范课是课堂教学中师生最能互动的课型，要使它变得优质，除了学生的因素外，愚以为教师还须做好如下四点：（1）课前：构思精到，程序合理；（2）课内：多点倾听，少点替代；（3）课后：及时检测，不忘反思；（4）策略：一题多解，回归通法.

总之，高中数学的解题策略对于学生来讲是非常重要的，教师在教学中不能轻视，而教学中如何让学生掌握策略性知识显得尤为重要，教师应该始终坚持新课程理念，让学生成为学习的主人，教师所发现的各种策略性知识，在教学中切不要直接告知，要慢慢渗透，让学生亲身经历，感悟，体验解题的快乐以及成功喜悦，使数学中的策略性知识真正植根于学生心中，成为学生驾驭数学知识、提升解题能力、发展思维水平的有力武器.

【参考文献】

[1]朱月祥.立体几何的复习重点及经典例题析[J].中学数学（上），2014（9）：P22-24.

[2]偶伟国.立体几何教学 如何凸现逻辑连贯[J].数学通报，2014（2）：P17-19.

[3]王淼生.数学百题精彩千解[M]，福建教育出版社，2009（9）：219-220.