格论中的一些反例

【摘要】 Dedekind观察到环的附加子群格和群的正规子群格满足模律不等式，而后引出了一个非分配模格的例子M3，本文由M3开始归纳探讨了格论中的一些反例.

【关键词】 模律；不等式；反例

【中图分类号】 O153.1

一、预备知识

格论是代数学的一个分支，其在19世纪由Boole，Peirce，Schroder的工作演化而来，并由Dedekind，Birkhoff等人在20世纪上页所做的工作推动.Boole奠定了代数学的基础，从那时起就已经由集合系统引出了对分配格的研究.而后Dedekind观察到一个环的附加子群和一个群的正规子群在自然方式下构成格，并且这些格满足一个特殊的性质叫做模律，我们用一个式子

c≤b，c∨（a∧b）=（c∨a）∧b

表示这个性质.这个式子被称为一个不等式，我们在格论中用这样一些不等式刻画格的性质.已经知道模律是分配律的一个结果，即任意满足分配律的格一定满足模律，而Dedekind的观察引出了一个满足模律但不满足分配律的例子，即下文要提到的非分配模格M3.在格论中有不少这样的反例，本文归纳其中一部分并进行讨论.

定义1 一个包含最小元0的格是原子格，如果对于每一个非0元b>0，都有一个原子a在其下方，即b≥a>0.

定义2 一个格中的任意三个元素a，b，c，如果c≤b，都有c∨（a∧b）=（c∨a）∧b成立，那么这个格叫模格.

定义3 任取一个格中的元素x，如果存在一个元素y，使得x∧y=0，x∨y=1同时成立，那么元素y叫做x的一个补.如果一个格中任意元素都有补，那么这个格叫有补格.

引理1 模格不一定是分配格，如菱形M3

图1 菱形M3

证明：菱形M3是模格，因为对任意三个元素a，b，c，如果c≤b，都有

c∨（a∧b）=（c∨a）∧b 成立；取M3中所示的三个元素a，b，c，

有c∨（a∧b）=c≠1=（c∨a）∧（c∨b）， 所以M3不是分配格.

二、主要结果

1.模律和分配性相关条件下的反例

定理1 六边形格为不满足正交模律的正交补格

证明：图中任意元素a，都存在元a，使得正交补的三个条件成立，即每个元素都有一个正交补，所以这个六边形为正交补格.另一方面，因为b≤b，所以有bb.已知a≤b，而a∨（b∧b）=a≠0=（a∨b）∧b，所以这个正交补格不是正交模格.

图2 六边形

定理2 下图所示的格为非模正交模格

图3

2.有补性相关的条件下格的反例

定理3 N5是有补格但不是相对有补格，也不是部分有补格

图4 五边形N3

证明：格N5中的任意元素都有补，因此N5为有补格.而区间 0，b 中的元素c没有补，所以N5既不是相对有补格也不是部分有补格.

三、小 结

格论中的不等式用来刻画格的性质，各个不等式之间既有联系也有区别.本文分别从原子格，模格和有补格这三类格出发，归纳并探讨了相关条件下的格的反例.格论中具有丰富的不等式条件，本文只是摘取了其中一部分进行讨论，更多复杂的情形还有待于进一步的研究.