巧证立体几何中的线线垂直问题

垂直问题在立体几何中占有重要的地位，是历年高考命题的热点.空间中的垂直关系有：线线垂直、线面垂直、面面垂直，其中线线垂直是最基本、最主要的.它在三者转化过程中起着穿针引线的作用，证明线线垂直是解决垂直问题的关键，因此把证明线线垂直的方法研究透彻具有重要的意义.

一、利用平面几何知识证明线线垂直

由于立体几何中的很多问题都可以通过“化空间为平面”的思想方法来解决，因此平面几何中证明线线垂直的方法仍适用.如：勾股定理、菱形或正方形的对角线互相垂直、等腰三角形的三线合一、直径所对的圆周角是直角、三角形全等、过切点的半径垂直于切线，等等.

1.利用等腰三角形中“三线合一”的性质证明线线垂直。

例1：已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点（如图），求证：MNAB.

分析：由于M是AB边上的中点，因此可以联想到利用等腰三角形中“三线合一”性质来证明.不妨先构造一个三角形，然后证明它是等腰三角形.

证明：连接PB、BN、AC、AN，由PA平面ABCD，BCAB且BC?奂平面ABCD。

PBBC

N是PC中点

BN=PC

PAAC

AN=PC

AN=BN，ANB是等腰三角形

M是AB中点

MNAB

点评：本题是先借助直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到AN=BN，再利用等腰三角形“三线合一”得出MNAB.

2.利用勾股定理证明线线垂直。

例2：在正方体ABCD-ABCD中，P为棱的中点，O为底面正方形ABCD的中心，求证：BOPA.

分析：要证明BOPA，可以先证BOPA.可以计算一下BO，PO，BP三边的长度，观察是否满足BO+PO=PB.

证明：连接PO，PB.

BBAO，BDAO

AO平面BBDD，即PO是AP在平面BBDD内的射影.

设AB=a则BD=BD=a，OB=OD=a.

BO=OB+BB=a，PO=OD+OP=a，PB=BDB+DP=a.

BO+PO=PB，BOPO，PAOB.

点评：本题的证明过程，既用到了平面几何中的勾股定理，又用到了立体几何中的三垂线定理，两者有机地结合在一起.

3.利用菱形的性质、三角形全等证明线线垂直。

例3：已知平行六面体ABCD-ABCD的底面是菱形，且∠CCB=∠CCD，证明：CCBD.

分析：要证CCBD，只要证BD平面OCC，即证BD和平面OCC内的两条直线都垂直，可以利用菱形的性质和三角形全等来证.

证明：连AC交BD于O，连CO、BC、DC.

四边形ABCD为菱形

AC与BD垂直且平分，即ACBD.

BC=CD，且∠CCB=∠CCD.

CDC≌CBC.

CD=CB即CBD是等腰三角形.

又O是BD的中点，OCBD，又CC∩OC=C，CC、OC?奂平面OCC

BD平面OCC.

CC?奂平面OCC.

BDCC.

点评：通过利用菱形的性质、三角形全等的性质、等腰三角形的性质证明了线面垂直，最后由此得出线线垂直.

4.利用若两直线平行，其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线。

例1除了用等腰三角形的性质来证明外，还可以利用平行线的性质来证.

分析：要证明ABMN，可以证明与MN平行的一条直线垂直于AB即可，不妨根据已知条件添加辅助线，构造一个平行四边形.

证明：连PD取中点F，连NF，AF.

NF∥CD∥AM，且NF=CD=AB=MA.

四边形AMNF为平行四边形.

MN∥AF.

PA平面ABCD.

PAAB.

又ABAD且PA∩AD=A.

AB平面PAD.

ABAF.

MNAB.

点评：本题重点考查空间中的垂直关系，还考查了平面几何中两直线平行的判定和性质，可见平面几何知识在立体几何中的重要性.

二、利用立体几何中证明垂直的方法

1.利用线面垂直或面面垂直的性质证明线线垂直。

例1的前两种证明方法都是借助平面几何的知识来完成的，我们也可以用立体几何的知识来证.

分析：要证线与线垂直，可以先证线与面垂直，然后利用线面垂直的性质，得出线与线垂直.

证明：取AC中点E，连接ME、EN

M是AB中点.

ME∥BC.

ABBC.

MEAB.

EN∥PA，PA平面ABCD.

EN平面MEN.

又AB?奂平面ABCD且ME∩NE=E.

AB平面MEN，而MN?奂平面MEN.

ABMN.

点评：线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化.

2.利用三垂线定理及逆定理来证明线线垂直。

例4：在正方体ABCD-ABCD中，P为棱的中点，O为底面正方形ABCD的中心，求证：BOPB.

分析：要证明BOPA，只要证明PAAM，再证明AM是BO在平面AD中的射影即可.

证明：取AD中点M，连接OM，AM.

O，M均为中点.

OM∥AB∥AB.

又AB平面AADD.

OM平面AADD，即AM就是OB在AADD平面上的射影.

又AAM≌ADP.

∠PAD+∠AMA=90°.

PAAAM.

由三垂线定理得PAOB.

点评：三垂线定理来证明线线垂直，基本程序为“一垂，二射，三证”，即第一步是找平面和垂线，第二步是找射影，第三步是证明垂直.

三、利用向量证明线线垂直

“两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零”，通过计算两向量的数量积来证明两条直线或线段垂直.

例5：l，l是相互垂直的异面直线，MN是它的公垂线段，点A、B在l上，C在l上，且AM=MB=MN，证明：ACNB.

分析：如果建立适当的坐标系后能算出与的数量积为零，就能证明ACNB.

证明：建立空间坐标系M-XYZ.

令MN=1则A（-1，0，0）B（1，0，0）.

MN是l，l，的公垂线段，且ll.

l平面ABN.

l∥Z轴.

设C（0，1，m）则（1，1，m），=（1，1，0），•=（1，1，m）•（1，-1，0）=0.

ACNB.

点评：用向量证明垂直的时候，要选取合适的坐标系，可以使计算变得非常简单，通常可以利用已知的边或特殊的边建立坐标.

综上所述，证明空间中线线垂直的方法有很多，关键是我们如何恰当地运用它们来巧妙灵活地解决垂直的问题.

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