立体几何学习中的困难分析及教学建议

立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。

一、学生在立体几何学习中的困难分析

学生在初中学过平面几何，掌握了大量的平面几何知识，进行过一定量的逻辑推理训练，为学习立体几何打下了基础。但学习立体几何不仅需要较强的逻辑思维能力，还需要丰富的空间想象能力。学生常感到立体几何难学，究其原因主要有几点：

1.消极心理的影响

“代数繁，几何难”，在学生中广为流传，使不少学生还未学习立体几何就已经产生了畏惧心理，他们对学好立体几何信心不足，对怎样学习心中无底，这种消极心理必然会给学生造成消极影响。

2.思维定式的束缚

受初中所学平面几何时形成的思维定式的束缚，常将平面几何中的概念、定理照搬照用。

3.缺乏空间想象力

缺乏空间想象力，常将空间问题看成平面问题，作图、识图难。作图中不知何时该用实线，何时该用虚线，作出的图形缺乏立体感。识图中相交、异面分不清，大角、小角分不清，是否平行、垂直分不清。

4.缺乏逻辑思维能力，证题思路乱

不是条件遗漏，就是条件堆积，前后矛盾，文不对题。

二、几点教学建议

1.消除畏难情绪，激发学习兴趣

（1）开好头，消除学生对立体几何的神秘感。立体几何第一课首先让学生观察桌面、地面、教室、球、墨水瓶、纸张等生活中每天都能接触到的物体，体会它们的形状、特征等，然后向学生指出：立体几何所要研究的对象就是这些几何体，从而缩短了学生与立体几何的距离，消除学生对立体几何的神秘感，使学生乐于接受它。其次，向学生介绍立体几何知识在建造厂房、制造机器、修筑堤坝等生产实践中的广泛应用，使学生认识到学好立体几何的重要意义，产生学好立体几何的愿望。

（2）循序渐进，不断制造成功机会，使每一个难点的突破成为学生获得成功的喜悦点，从而形成稳定、持久的学习兴趣。

2.动手做、多观察、勤思考，提高空间想象能力和几何直觉能力

（1）“动手做”，就是要求学生动手设计数学模型，动手画图。学生通过用纸板、铁丝等材料做正方体、长方体、棱柱、棱台、棱锥等实物模型，亲身体验柱体、锥体的结构特征。但“做”出的几何体只是给人直观感觉，要把这种直观感觉在纸面体现，还需要动手画，通过仔细观察实物，画水平放置的正五边形的直观图，画正方体、棱柱、棱台、棱锥等几何体的直观图，再对照辨析，使学生弄清图中实线、虚线应用及它们的关系，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。通过这样的训练，使学生进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能，提高学生将自然语言转化为图形语言和符号语言的能力，培养学生的空间想象能力和几何直觉能力。

（2）“多观察”，就是多看教科书，多观察、比较各种各样的实体、模型和图形，可让学生观察辨认、直观感知，判断空间几何体的类型。学生通过用眼观察，识别空间几何体，加深对几何体特征的认识，从而掌握简单几何体的概念；比较标准图形与变式图形（课本中用以表达定义、定（公）理的图形，线面都是水平或竖直放置的，图形具有简明、美观的特点，可谓标准图形，而在具体题目中，平面、直线的位置发生了变化，与标准图形有一定的差异，我们称之为变式图），掌握标准图形的本质，画出标准图形的各种变式图形，这样可帮助学生在线面位置变化时能看清问题的本质，灵活运用学过的定义、公式及定（公）理，提高空间想象能力与图形的把握能力。

（3）“勤思考”，就是在平时看到实体和几何图形时，要积极思考，不仅能把实体转化成几何模型，能在大脑中“想”出空间图形，想通各部分图形之间的关系，也能根据几何图形，还原出实体，想通几何图形中的线面等图形在实体中的相应位置关系，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系。

丰富的空间想象能力和几何直觉能力是学好立体几何的前提。空间图形作为立体几何的一种特殊语言，它不仅能使学生加深对概念、公理、定理的理解，准确无误地作出图形还有利于学生对习题的分析。实践证明，动手做、多观察、勤思考，是培养和提高学生的空间想象能力和几何直觉能力的有效途径。

3.加强推理教学，提高学生的推理论证能力

学好立体几何的关键是能直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定。而对空间点、线、面的位置关系及有关平行、垂直的结论论证，是培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力的有效途径。

在教学中要认真讲好课本中定理证明及每一道例题。课本中的例题具有示范作用，在讲解例题的过程中，不仅要让学生说出每步的理论依据，用例题的格式规范学生的解题，还要从不同的角度对例题进行研究、探讨、变换形式，探索各种不同的解题途径，寻求其多种解法，引导、启发学生发现知识间的内在联系，获得一系列的数学思想方法和基本技能，逐步提高学生的逻辑推理能力和数学表达能力。

4.强化化归思想的运用，提高解立体几何题的能力

解立体几何题的基本思路就是通过类比与转换。在证明平行和垂直问题时，涉及线线、线面、面面关系间的相互转化，在解决一些计算题时，涉及平面图形和空间图形的相互转化。如，要证明线面垂直可以转化成证明线线垂直或面面垂直；要证明线面平行可以转化成证明线线平行或面面平行（参考案例1）；要求异面直线的距离，可以转化成求线面距离或面面距离（参考案例2）；求异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角等，可以转化为平面上的角；求表面积可将几何体的表面展开，转化为平面图形的面积问题等。“转化”思想是联系线线、线面、面面位置关系的强有力的纽带，贯穿于立体几何学习的全过程。

参考案例1：如图1，正方体A1B1C1D1—ABCD中，E、F是对角线A1D、B1D1的中点，试判断直线EF分别与正方体六个面中哪些平面平行，并证明你的结论。

解：（1）EF∥平面D1C1CD；（2）EF∥平面A1B1BA。

证明如下：

（1）连接A1C1、C1D，E是B1D1的中点，E是A1C1的中点，

又F是A1D的中点，EF是A1C1D的中位线，

（2）连接D1A、AB1，同理可证，EF∥平面A1B1BA。

参考案例2：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离。

解：如图2，在正方体AC1中，

A1C1∥AC， A1C1∥平面AB1C，

A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离。

连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1，BD∩AC=O

ACBD，ACDD1，AC平面BB1D1D

平面AB1C平面BB1D1D，

连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O

作O1GB1O于G，则O1G平面AB1C

O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离。

在RtOO1B1中，O1B1OO1=1，

（作者单位 江苏省司法警官高等职业学校）