如何启发诱导学生从特殊到一般

中学阶段的学生，很善于观察图形，常常从特殊图形中猜测出一些正确结论。老师应该充分利用学生的这一优势，鼓励学生大胆猜想，从中激发学生的学习兴趣和想象力，满足学生的求知欲。因科学的东西来不得半点虚假，而数学相当注重逻辑的严密性，所以学生的猜想总归是猜想，作为老师一定要从理论上给予证明，使学生的猜想得到验证。学生猜想一般是由特殊图形而来，那么老师如何诱导学生从特殊到一般，再从一般到特殊，正确处理特殊和一般的辩证关系，归纳总结出更完善的结果呢？下面我就以“中点四边形”为例加以说明。

求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平形四边形。

已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平形四边形。

分析：欲证四边形EFGH是平形四边形，可证EF//HG、EH//FG。根据已知条件，结合图形，连接对角线AC、BD，利用三角形中位线定理可证。

证明：连结AC、BD。

E是AB中点，F是BC中点（已知）；

EF//AC（三角形中位线定理）。

同理可证HG//AC；

EF//HG（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）。

同理又可证EH//FG。

四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平形四边形）。

注：此题还有其它方法进行证明，这里从略。

若把顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形称为它的中点四边形，例如上例中四边形EFGH就可称为四边形ABCD的中点四边形，则由上例可得，任意四边形的中点四边形一定是平行四边形。反之也成立，即当一个四边形的中点四边形是平行四边形时，这个四边形可以是任意四边形。

⑴当四边形ABCD是矩形时，它的中点四边形EFGH又是什么四边形呢？学生通过画图观察猜想为菱形，为什么呢？

在上例中，己证明了四边形EFGH是平行四边形，欲说明四边形EFGH是菱形，只需再证明有一组邻边相等即可，如EH=EF。证明如下：

EH= BD，EF= AC（三角形中位线定理）；

BD=AC（矩形的对角线相等）；

EH=EF（等量代换）。

因此猜想正确。

提出问题：是否只有矩形这样的四边形的中点四边形才是菱形呢？若不是，满足什么条件的四边形，它的中点四边形是菱形呢？学生思考后，老师总结：在上面的证明过程中，主要用到了矩形ABCD的对角线相等即AC=BD这个重要条件，从而可推广到一般：对角线相等的四边形，它的中点四边形一定是菱形。

如图所示：在四边形ABCD中，若AC=BD，则它的中点四边形EFGH是菱形；反之，如果一个四边形的中点四边形是菱形，那么这个四边形的对角线一定相等。

证明从略。

⑵当四边形ABCD是菱形时，它的中点四边形EFGH又变成了什么四边形呢？通过画图观察猜想为矩形，为什么呢？在上例中已证明了四边形EFGH是平行四边形，欲说明四边形EFGH是矩形，只需再说明有一个角为直角即可。

如∠FEH=90°，证明如下：

BD//EH（三角形中位线定理），

BDAC（菱形的两条对角线互相垂直），

EHAC（如果两条平行线中有一条直线和第三条直线垂直，那么另一条直线也和第三条直线垂直），

又AC//EF（三角形中位线定理），

EHEF（如果一条直线与两条平行线中的其中一条直线垂直，那么它与另一条直线也垂直），

∠FEH=90°（垂直性质），

因此猜想正确。

提出问题：是否只有菱形这样的四边形，它的中点四边形才是矩形呢？不是，为什么呢？学生思考后，老师归纳总结：在上面的证明过程中，主要用到了菱形ABCD的对角线互相垂直（ACBD）这个重要条件，从而可推广到一般：对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形一定是矩形。

如图所示：在四边形ABCD中，若ACBD，则它的中点四边形EFGH是矩形；反之，如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么这个四边形的两条对角线互相垂直。

证明从略。

（3）提出问题：满足什么条件的四边形，它的中点四边形是正方形呢？

因为既是菱形又是矩形的四边形是正方形，所以综合上述（1）、（2）可得：

当一个四边形对角线相等且互相垂直时，它的中点四边形一定是正方形。

如图所示：在四边形ABCD中，若AC=BD且ACBD，则它的中点四边形EFGH是正方形；反之，如果一个四边形的中点四边形是正方形，那么这个四边形的两条对角线相等且互相垂直。证明从略。

综上所述可得到下列表格：

上述表格清楚地反映出，一个四边形的两条对角线的位置、大小关系与它的中点四边形的形状之间有着密切的联系。