浅谈构造向量解代数问题

摘 要：代数中的好多求值域问题、不等式证明问题利用代数的知识解决很困难、很麻烦，但如果能把它和向量的知识结合起来，那解决起来就很简单了，通过一些例子介绍向量在代数中的应用。

关键词：向量；值域；最值；不等式

向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，有着极其丰富的实际应用背景.向量有大小和方向，大小反映了“数”的特征，方向反映了“形”的特征，因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现，掌握好向量的知识，有意识地运用向量工具去解决相关问题，不仅能优化解题思路，而且能培养学生思维的发散性和创新精神.下面通过例题谈一谈在代数中的应用.

一、运用向量中的不等式

【例1】求函数y=+的最小值？

分析：所给函数为根式的和，因此需要将根号下的式子配方，将根式转化为向量的模，利用

【例2】求函数y=-的值域.

分析：所给函数为根式的差的形式，因此需将根号下的式子配方，将根式转化为向量的模，利用

二、利用向量数量积的运算性质

【例3】求函数y=2+的最大值.

分析：所给的函数式可以看成两个数积的和的形式，因此，可联想两个向量数量积的坐标运算构造向量，利用

【例4】已知a+b+c=1，求式子++的最大值.

分析：本题是三个数的和的形式，因此可以构造空间向量，利用向量的数量积

三、利用向量中的不等关系还可证明不等式，关键是把不等号两边的式子能和向量的运算形式联系起来，再运用向量的性质进行放缩使不等式得证

【例5】已知a，b，c，d∈R，求证：ac+bd≤・。

分析：本题如果用代数的知识不好做，但如果能和向量联系起来，构造两个向量=（a，b），=（c，d），利用性质

一般的，涉及两数积的和的形式可利用公式

求其最值.也可利用它们证明一些不等式.必须说明的是，在运用构造法时也有其局限性，不是对每一类函数都可以运用该种方法，运用比较多的是在含有根号中求最值的情况.另外，像例1，在将根号里转化为向量的模的过程中，由于是利用

，所以必须使得+的坐标与变量x无关.如若在结果中还出现变量，则肯定是错误的.同时，还应注意等号成立的条件.

（作者单位 陕西省西安市临潼区华清中学）