谈谈如何构造新数列来解题

在高中数学中，数列是同学们学习的一个难点.数列试题大致会出现这么几类问题：求数列的通项，求数列的和，证明关于数列的不等式.在求数列的通项和证明数列的不等式的时候，常常会用到构造新数列的方法来解决.新数列的构造在同学们看来比较神奇，它往往能起到画龙点睛的效果.那么，同学们应该从哪些方面入手，来进行构造新数列呢？本文就这个问题进行探讨，希望能对同学们的高三复习有所帮助.

一、利用数列的特征方程来构造新数列

这是构造新数列最常用的方法. 在一阶递推数列中，我们把an+1，an看成是变量x，得到的方程我们称为特征方程;在二阶递推数列中，我们把an+2看成x2，an+1看成是变量x，an看成是常数，得到的方程我们称为特征方程.如何理解特征方程呢，同学们可以想象为一个式子如果变为这样：（an+1-x）=A（an-x），如果an+1，an看成是变量x，那么那个方程是恒成立的. 常用的特征方程有如下几类：

1. 递推关系式形如an+1=pan+q（p，q为常数，且p≠1，q≠1）的特征方程为：x=px+q，解之有：x=■. 因此，我们对于这一类递推数列，直接构造新数列bn=an-■，它是以p为公比的等比数列.

例1. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N？鄢），求数列{an}的通项公式.

解析： an+1=2an+1（n∈N？鄢），

an+1+1=2（an+1），

{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.

an+1=2n.

即an=2n-1（n∈N？鄢）.

注：为什么要构造{an+1}这个新数列，是因为特征方程的解是x=-1. 在特征方程的解是整数时，往往容易看出原数列加上哪个常数是等比数列，如果特征方程的解是分数时，往往是看不出来的. 比如：an+1=5an-1，这个特征方程的解是■.

2. 递推关系式形如an+1=pan+kqn+1（p，q，k为常数，且p≠1，q≠0，k≠0），我们构造新数列bn=an-？姿qn，其中是特征方程x=■x+k的根.

例2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+2n+1，求an.

解析：构造新数列bn=an+2n+1，把an=bn-2n+1代入原条件，得：

bn+1=3bn，再由b1=a1+4=5可得：bn=5×3n-1.

从而an=5×3n-1-2n+1（n∈N？鄢）.

注：这里的特征方程是x=■x+1，所以有了新数列bn=an+2n+1.

3. 递推关系式形如an+1=pan+kn+b（q，b，k为常数，且p≠1，k≠0），我们暂时先把n看成常数，解出特征方程：x=px+kn+b，构造新数列bn=an-x，把关系式中的an换成bn后，就回到了第1种类型，再次构造新数列，就把问题解决了.

例3. 已知数列{an}满足a1=1，n≥2时，an=■an-1+2n-1，求an.

解析：令bn=an-4n+2，则有an=bn+4n-2，代入an=■an-1+2n-1，有：

bn=■bn-1-2（n≥2， n∈N？鄢）.

从而有bn+4=■（bn-1+4），又b1=a1-4+2=-1，故：

bn+4=3・（■）n-1？圯bn=3・（■）n-1-4，

所以an=■+4n-6（n∈N？鄢）.

注：本题的构造也并非没有规律，数列bn=an-x中，x是特征方程x=■+2n-1的解，它的作用在于能消去n，转化为第一种类型. 本题还有一种解法，是待定系数法.

同学们请看：

另解：作bn=an-An+B，则an=bn-An-B，an-1=bn-1-A（n-1）-B代入已知递推式中得：bn=■bn-1+（■A+2）n+（■A-■B-1）（n≥2， n∈N）.

令■A+2=0，■A+■B-1=0？圯A=-4，B=6.

这时bn=■bn-1且bn=an-4n-6.

显然，bn=■，所以an=■+4n-6（n∈N？鄢）.

这二种方法中，第一种是解二个一元一次方程，第二种是解一个二元一次方程组，第二种方法对计算能力要求高一点.

4. 递推关系式形如an+1=■（■≠■，C≠0），我们直接有特征方程：x=■，这是一个关于x的一元二次方程，它会出现三种情况：

1）如果方程有二个不同的实根x1，x2，则数列{■}是一个等比数列，解之即可;

2）如果方程有二个相现的实根x，则数列{■}是一个等差数列，解之即可;

3）如果方程没有实根，则要考虑数列是一个周期数列.

例4. 已知数列{an}满足a1=3，an+1=■，求an.

解析：由an+1=■可得：

an+1-1=■-1=■=3・■;

an+1-2=■-2=■=2・■，

二式相除，得■=■・■， 因此， 数列{■}是以■为公比，首项为2的等比数列，所以有： ■=2・（■）n-1？圯an=■（n∈N？鄢）.

注：为什么要对原式进行减1和减2呢？是因为1和2是特征方程x=■的二实根.

例5. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=-■，求an.

解析：由an+1=-■可得：

an+1+1=1-■=■？圯■=1+■.

所以，数列{■}是以1为公差，■为首项的等差数列，故有：

■=■+（n-1）・1=n-■？圯an=■（n∈N？鄢）.

注：特征方程x=-■有两个相同的根-1，所以构造新数列{■}来进行解答.

例6. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=■，求an.

解析：由a1=2， an+1=-■可得： a2=-1，a3=■， a4=2…

从而有：an=2，n=3k-2-1，n=3k-1■.n=3k（k∈N？鄢）

注：为什么能想到这是一个周期为3的数列呢？是因为特征方程x=■没有实根.

5. 递推关系式形如an+1=■（？茁，？酌为非零常数），它有如下结论：

由x=■即x2+？酌x-？茁=0，解得两根x1， x2.

①若x1≠x2，看■也有所获：■=■2.

由迭代法，得■=■■…

（或两边取对数得等比数列ln■…）

②若x1=x2=x0，可约简递推公式再做，如an+1=■=■（an-1）.

例7. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=■（n∈N？鄢），求an .

解析：由an+1=■可得：an+1+1=■+1=■，

二式相除，可得：■=■？圯ln（■）=2ln（■）.

设bn=ln（■），有bn+1=2bn？圯bn=ln2・2n-1.

故：ln（■）=ln2・2n-1？圯■=2■？圯an=■（n∈N？鄢）.

注：这是一道难题，因为同学们不知道为什么要二边同时加上1，其实是因为特征方程有二个根，一个是0，一个是-1，故要二边同时加上1.

6. 递推关系式形如an+2=pan+1+qan（p，q为非零的常数），它的特征方程为：x2=px+q，它也会出现三种情况：

1）如果方程有二个不同的实根x1，x2，那么有二个结论：{an+1-x1an}是以x2为等比数列;{an+1-x2an}是以x1为等比数列，等到二个等比数列以后，二式相减，消去an+1，即可得到an的通项公式.

2）如果方程有二个相同的实根x，那么{an+1-xan}是以x为等比数列，直接转化为第二种类型的递推关系.

3）如果方程没有实根，则要考虑数列是一个周期数列.

例8. 已知数列{an}满足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an，求an.

解析： 由递推关系式可得an+2-an+1=2（an+1-an），所以数列{an+1-an} 是一个等比数列，

an+1-an=（a2-a1）2n-1=2n-1 ……（1）

又an+2-2an+1=an+1-2an，故数列{an+1-2an} 是一个常数列，有：an+1-2an=a2-2a1=-1 ……（2）

由（1）（2），可得an=2n-1+1（n∈N？鄢）.

注：这里1和2是特征方程x2=3x-2的二个实根.其实单独由（1）式或（2）式也可以得到答案，但是过程比较复杂一点.如果特征方程的实根不是整数，那么计算量会相当大，所以还是采用这种方法是最简便的.

例9. 已知数列{an}满足，a1=1，a2=4，an+2=4an+1-4an（n∈N？鄢），求an.

解析：由条件可得：an+2-2an+1=2（an+1-2an），

故数列{an+1-2an} 是以2为公比，2为首项的等比数列，从而有：an+1-2an=2n？圯■-■=■？圯■=■？圯an=n・2n-1（n∈N？鄢）.

注：2是特征方程x2=4x-4的根，出现一个第二种类型的关系式以后，采用二边同时除以2n+1，即可以得到一个等差数列，这样计算会简便一些.

例10. 已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2=an+1-an（n∈N？鄢），求a2014的值.

解析：由已知可得：an+3=an+2-an+1=-an？圯an+6=-an+3=an.

所以数列{an}是以6为周期的数列，从而有：a2014=a6×335+4=a4=-a1=-1.

注：因为特征方程x2=x-1没有实根，所以要考虑它是一个周期数列.

二、利用整体思想去构造新数列

在一些递推关系式中，如果含有an+1，an，n+1，n等之类的整式，那么我们把an+1，n+1放在一起，an，n放在一起，重新构造新数列，就可以看到我们熟悉的类型了.即：an+1所在的式子中的自然数变量要比an的式子中的自然数变量多1个单位.

例11. 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，■=an+1-■n2-n-■，n∈N？鄢.

（1）求a2的值;

（2）求数列{an}的通项公式;

解析：（1）■=an+1-■n2-n-■，n∈N？鄢.

当n=1时，2a1=2S1=a2-■-1-■=a2-2.

又a1=1，a2=4.

（2）■=an+1-■n2-n-■，n∈N？鄢.

2Sn=nan+1-■n3-n2-■n=nan+1-■……①

当n≥2时， 2Sn=（n-1）an- ■……②

由①-②，得2Sn-2Sn-1=nan+1-（n-1）an-n（n+1）.

2an=2Sn-2Sn-1，

2an=nan+1-（n-1）an-n（n+1）.

■-■=1，

数列{■}是以首项为■=1，公差为1的等差数列.

■=1+1×（n-1）=n，an=n2（n≥2）.

当n=1时，上式显然成立. an=n2，n∈N？鄢.

注：式子中出现了an+1，an，n+1，n，自然想到把它们各放在一起，就得到一个等差数列了.

三、利用放缩法去构造新数列

在关于数列的不等式证明中，常常会遇到一个数列的前n项和小于某一个常数，这里，我们采用一种构造一个新的等比数列来起中间桥梁的作用.如：要证明：a1+a2+…+an

例12. 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1（n∈N？鄢），且a1，a2+5，a3成等差数列.

（1）求a1的值;（2）求数列{an}的通项公式.

（3）证明：对一切正整数n，有■+■+…+■

解析：（1）2Sn=an+1-2n+1+1，2Sn+1=an+2-2n+2+1，相减得：an+2=3an+1+2n+1.

2S1=a2-3？圳a2=2a1+3，a3=3a2+4=6a1+13.

a1，a2+5，a3成等差数列？圳a1+a3=2（a2+5）？圳a1=1.

（2）由a1=1，a2=5，得an+1=3an+2n对？坌n∈N？鄢均成立，an+1=3an+2n？圳an+1+2n+1=3（an+2n）.

得an+2n=3（an-1+2n-1）=32（an-2+2n-2）=…=3n-1（a1+2）？圳an=3n-2n.

（3）当n=1时，■=1

当n≥2时，2・3n-1>2n？圯3n-3n-1>2n？圯3n-2n>3n-1，

故有：■

从而：■+■+…+■

由上式得：对一切正整n数，有■+■+…+■

注：中间数列按上述方法二步可以构造出新数列bn=（■）n-1，因此，第3问的证明同学们就会明白为什么要这样操作了. 这种方法可以适应于很多试题，同学们不妨一试.

新数列的构造是一种技巧性比较强的方法，同学们从上述三个方面去思考这类问题，就不会觉得无规律可循.当然，关于数列的解题方法还有一些其它的方法，比如数列归纳法，函数法，同学们也可以试着认真去归纳一下，或许会有一些收获呢.

（作者单位：汕尾市华南师大附中汕尾学校）

责任编校 徐国坚