对课本习题的探究与拓展

【摘要】 高考也好，平时测试也罢，都是以课本只是为原型，变式所得，但是万变不离其宗，本文主要探讨课本习题的拓展。

【关键词】 课本 习题探究 拓展 高中数学

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-067X（2014）08-060-01

原题：普通高中课程标准实验教科书必修Ⅳ第146页复习参考题B组第7题。如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点。当APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小。

一、探究原题

原题是对运动过程中的不变量的研究。当点P在线段AB上运动时，满足条件的点Q随之在线段AD上运动。当点P确定后，点Q是以点A、P为焦点，以2-AP的长为长轴的椭圆与线段AD的交点。因此当点P确定后，点Q的位置不能用尺规作出。CPQ随点P的运动而变化，但∠PCQ不变，是一个定值。原题考查了两角和的正切公式，代入消元，整体求值以及构造方程的思想方法。是一道难题。

二、改编意图

1. 由对原题的探研知CPQ随点P的运动而变化，因此CPQ的面积也在变化，那么CPQ的面积是否有最大值或最小值？由此得改编后的命题1。命题1考查了三角恒等变换，三角函数的值域，不等式的性质等知识。

2. 利用原题的图形以及原题的命题意图，将“APQ的周长为2”改为：PQ=t（1

三、改编后的命题及其参考答案

命题1：如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点。当APQ的周长为2时，①求∠PCQ的大小；②求CPQ的面积S的最大值或最小值。

改编题2：如图所示，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的动点。如果PQ长为定值■.①设∠APQ=α，则求sinα+cosα的取值范围；②求CPQ的面积S的最大值或最小值。

改编题1参考答案：①设AP=x，AQ=y，∠BCP=α，

∠DCQ=β，则tanα=1-x，tanβ=1-y，于是tan（α+β）=■.

又APQ的周长为2，即x+y+■=2

变形可得： xy=2x+y-2

于是tan（α+β）=■=■=1

又0

②由①得CP=■，CQ=■，所以

S=■・■・■・sin■=■.

由①得β=■-α，所以，

cosαcosβ=cosαcos（■-α）=■cos2α+cosαsinα

=■+cos2α+sin2α=■sin（2α+■）+■

所以■

于是■

当且仅当α=■时取等号，所以S的最小值是■-1，无最大值。

改编题2参考答案：①根据题意可知，α∈（0，■），则有

sinα+cosα=■（■sinα+■cosα） =■sin（α+■）

α∈（0，■），α+■∈（■，■）

■

所以sinα+cosα的取值范围是（1，■]

②设∠APQ=α，则AQ=PQ・sinα=■sinα，AP=PQcosα=■cosα，DQ=1-AQ-1-■sinα，BP=1-AP=1-■cosα，

S=1-SCDQ-SCBQ-SAPQ=1-■（1-■sinα）-■（1-■cosα）

-■・■sinα・■cosα=■sinα+cosα-■sinαcosα①

设sinα+cosα=t②，由（1）知t∈（1，■].将①式两边平方，得：

1+2sinαcosα=t2，sinαcosα=■③

将②，③代入①得：S=■t-■・■=■t-3t2+8t+3

=-■（t-■）2+■

当t∈（1，■]时， St单调递增，此时■

当t∈（■，■]时， St单调递减，此时■≤y≤■；

所以当t=■，即sinα=■时， S有最大值■，

因为■

综上，当sinα=■时，S的最大值为■，无最小值.