一道课本习题的演变与拓展

【课本原题】学校生物课外活动小组要在兔舍外面开辟一个面积为20 m2的长方形活动场地. 它的一边靠墙，其余三边利用长13 m的旧围栏. 已知兔舍墙面宽6 m. 问围成长方形的长和宽各是多少？（苏科版数学教材九年级上册第102页第9题）

这个问题的解答比较容易，请自己完成.

【演变过程】将课本中的这道习题变换一下情境，即将“在兔舍外面开辟一个长方形活动场地”置换为“在校园里利用围墙的一段围成一个矩形花园”，将“兔舍墙面宽6 m”改为“校园围墙最长可利用25 m”，将“长13 m的旧围栏”置换为“50 m长的墙的材料”，面积由“20 m2”改为“300 m2”，即可得到下列中考题.

【考题在线】（2012・湖南湘潭）如图1，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25 m），现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.

【思路分析】根据可以砌50 m长的墙的材料，即总长度是50 m，设AB=x m，则BC=（50-2x） m，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解即可.

【满分解答】设AB=x m，则BC=（50-2x） m. 根据题意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 当x1=10时，BC=50-2x=30>25（舍去）；当x2=15时，BC=50-2x=20

【拓展变式】对上述问题中长方形的个数、形状和可利用的墙长进行变换，可得到许多新问题：

变式1：某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2. 如果围墙MN最长可利用a m，围成长方形的长和宽各是多少？

【思路点拨】先用上述试题的解法求出AB和BC的长，再结合围墙MN最长可利用的长度a m的变化来确定问题的解的情况：当a≥30时，问题有两解；当20≤a

变式2：如图2，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.

（1） 要使鸡场面积最大，鸡场长度应为多少？

（2） 如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场长应为多少？

比较（1）（2）的结果，你能得到什么结论？

【思路点拨】（1） 设鸡场的长为x m，则宽为（50-x） m，利用矩形面积公式构造二次函数，再用配方法求出二次函数取最大值时鸡场的长度；（2） 设鸡场的长为x m，则宽为（50-x） m，利用矩形面积公式构造二次函数，再用配方法求出二次函数取最大值时鸡场的长度. 观察（1）、（2）可知，要使鸡场面积最大，它的长与n无关，总等于篱笆总长的一半.

变式3：如图3，有一面积为150 m2的半圆形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），半圆弧用竹篱笆围成，问竹篱笆的长度是多少m？

【思路点拨】设半圆的半径为r米，可用半圆的面积公式求出r，检验2r是否小于18，再求出半圆周长，即得竹篱笆的长度.

【参考答案】

变式1：设AB=x m，则BC=（50-2x） m. 根据题意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 当x=10时，BC=30；当x=15时，BC=20. 所以，当a≥30时有两解，即可围成AB长为10米，BC为30米或AB长为15米，BC为20米的矩形；当20≤a

变式2：（1） 设鸡场的长为x m，面积为y m2，则宽为（50-x） m，y=x×（50-x）=-（x-25）2+，所以当x=25 m时，鸡场面积最大；（2） 设鸡场的长为x m，面积为y m2，则宽为（50-x） m，y=x×（50-x）=-（x-25）2+，所以当x=25 m时，鸡场面积最大. 由（1）、（2）的结果可以得出结论：不论鸡场中间有几道隔墙，要使鸡场面积最大，它的长总等于篱笆总长的一半.

变式3：设半圆的半径为r米，则有πr2=150，解得r=，故竹篱笆的长度为πr=10（m）.

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）