浅谈“二次”与“三次”的不解之缘

【摘要】现代认知心理学家们都十分重视原有知识经验或认知结构在新学习中的作用.人们运用自己已有的知识与技能，促使问题的顺利解决与新知识的学习就是迁移的积极作用.教师倘若能有效地利用学生原有的认知结构，促进学习迁移，可大大提高学生学习的效率.且利于学生将知识融会贯通，提高学生的综合学习与利用的能力.

【关键词】二次函数;三次函数;导数

导数被引入新教材后，使得对三次函数的性质及图像的研究成为可能.三次函数的导函数是二次函数，“三个二次”即“二次方程、二次函数、二次不等式”又是高中教材中的重点考察内容.于是，用“二次”研究“三次”的问题，能使学生理解他们之间的内在联系，并在此基础上解决新问题，做到融会贯通.下面就二者的联系谈谈笔者个人的浅见.为方便起见，以下设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），导函数是二次函数f′（x）=3ax2+2bx+c，二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式为Δ，两个根为 x1，x2.

一、 二次函数f′（x）的函数值与三次函数f（x）的切线斜率

由导数的几何意义知道，函数f（x）在x=x0处的切线斜率就是导函数f′（x）在x=x0处的函数值.

例1 设点P是曲线f（x）=x3-3x+23上的任意一点，P点处切线的倾斜角为α，求角α的取值范围.

解 f′（x）=3x2-3，x∈R，f′（x）≥-3.

即P点处的切线斜率k≥-3，

又由k=tan（α）知，α∈0，π2∪2π3，π.

评注 斜率的范围就是导函数的值域.

学生已有的知识经验在知识的迁移过程中作为基础和背景起着不可估量的作用，中外许多著名教育家都很重视学生已有知识经验的这种作用.例如，赫尔巴特学派明确的把“作用”即“过去经验中有联系的观念在意识中复活，它将唤起对新材料，新知识的兴趣，并为学生迅速理解和学习新知识做好准备”.学生已有的知识经验越精确、熟练，就越利于知识的迁移.

二、 二次方程的判别式与三次函数的单调区间、极值

由单调区间和极值的定义有如下结论 ：

二次方程判别式 单调区间的个数 极值点的个数

例2 设函数f（x）=x3+mx2+x+1在R上没有极值点，求m的取值范围.

解 f′（x）=3x2+2mx+1.

由已知方程3x2+2mx+1=0的判别式Δ≤0，

即4m2-12≤0，-3≤m≤3.

例3 设函数f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，求a的取值范围.

解 f′（x）=3ax2+1，则方程3ax2+1=0有两个不相等的实数根，Δ>0，即a<0.

三、 二次函数的符号与三次函数的增减性

当二次函数f′（x）在区间I上为正时，三次函数f（x）在区间I上为增函数;当二次函数f′（x）在区间I上为负时，三次函数f（x）在区间I上为减函数.

例4 设f（x）=ax3-x2+x+5在（-∞，+∞）单调增求a的取值范围.

解 f′（x）=3ax2-2x+1.

由已知，f′（x）≥0在R上恒成立.

a>0

Δ≤0，即a>0，

4-12a≤0.a≥13.

四、 二次方程的根与三次函数的极值

由结论知，当Δ>0时，三次函数f（x）才有极值，设二次方程的根为x1，x2（x1≠x2），则点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））就是三次函数的两个极值点.

例5 已知曲线S：f（x）=x3+px2+qx的图像与x轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值-4，求p，q的值.

解 f′（x）=3x2+2px+q，

设方程3x2+2px+q=0有两个根x1，x2且x1

y 极大值 极小值

由表及题设知，曲线与x轴切于点（x1，0）且过点（x2，-4）.

评注：通过分析知道（x1，0），（x2，-4）是曲线的极值点，可以代入其方程，而且x1，x2又是方程f′（x）=0的根，正是x1，x2的双重身份，使“二次”与“三次”有机结合起来.

教师在教学中要突出知识的系统性，培养学生的统摄思维能力，引导学生把新的知识纳入、同化到旧的知识中去.抓住事物的本质属性与内在联系，对繁衍的知识进行有层次的概括，是知识间相互联系的逻辑结构，能综观全局，有序地储存信息.从而为迁移的发生提供前提在实际的应用中，学生才能有目的、有条理的根据知识的线索，迅速恰当的选择相关知识解决新问题.

例6 已知f（x）=x3+ax2+bx+c有极大值f（α）和极小值f（β），求f（α）+f（β）关于a，b，c的表达式.

解 f′（x）=3x2+2ax+b.

f（x）有极大值f（α）和极小值f（β），

α，β是方程3x2+2ax+b=0的两个根.

α+β=-23a，αβ=b3.

α2+β2=4a29-2b3，α3+β3=-8a327+2ab3.

f（α）+f（β）=4a327-2ab3+2c.

评注 由f（α），f（β）是极值得，α，β是方程f′（x）=0 的根，所以可利用根与系数的关系进行求解.

五、二次函数的图像与三次函数的图像

例7 设f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0）是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，分别是α，2，β，（1）求c的值.（2）求证：f（1）≥2.

解 （1）f′（x）=3x2+2bx+c

由已知，f（0）是f（x）的极大值.

f′（0）=0，即c=0.

（2）由已知f（x），f′（x）的大致图像如下：

设f（x）在x0处取得极小值，

由f（x）在（-∞，0）是增函数，在[0，2]上是减函数知x0≥2，

再由f′（x）的图像知f′（2）≤0，即12+4b≤0，

评注 本题综合运用了导数的有关知识，借助于f（x）和f′（x）的图像，使问题直观明了.

因此在高中数学学习中、要充分的运用知识的迁移规律，提高学习的实效，从而能从题海中解脱出来，真正实施新课程标准下的素质教育.