概率:不确定性中的确定性

在日常生活、生产实践和科学研究中，人们常常需要确定一个事件发生的可能性的大小，即确定一个事件发生的概率.本章的主要内容是等可能条件下事件发生的概率的计算方法.

“等可能性”是一种假设，是一种理想状态.如抛掷一枚硬币，只有正面朝上或反面朝上的二种可能.因此，理论上抛掷硬币正面朝上的概率是1/2，反面朝上的概率也是1/2.假如我抛掷一枚硬币9次，虽然前9次都是正面朝上，但第10次抛掷时正面朝上和反面朝上的可能性仍是各占一半.事实上，在许多场合，由对称性（如投掷硬币）或者某种均衡性（如摸球，抽签试验等），我们就可以认为其所有可能结果（基本事件）是等可能的，并在此基础上计算各事件的概率.

设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现，如果每个结果出现的机会均等，那么我们就说这n个事件的发生是等可能的.

一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率为：P（A）=m/n（m是事件A发生时可能出现的结果数，n是一次实验出现的所有等可能的结果数）.数学上，我们称之为古典概型.

例如：抛掷一只均匀的骰子1次，只会出现6种结果之一：1点朝上、2点朝上、3点朝上、4点朝上、5点朝上、6点朝上.因为骰子是均匀的，所以这6种结果的出现都是等可能的.所以抛掷一只均匀的骰子1次，点数1朝上的概率：P（点数1朝上）=1/6；抛掷一只均匀的骰子1次，只有当朝上的点数是5或6时，“朝上的点数大于4”这一事件才能发生，所以朝上的点数大于4的概率：P（朝上的点数大于4）=2/6=1/3.

“实验结果的等可能”是讨论概率的重要条件，有些实验的结果不具有等可能性，不在本章讨论的范围内.例如：在适宜的条件下，种下一粒油菜种子观察它是否发芽，这个实验只有二种结果：“发芽”与“不发芽”，这二种结果出现的机会是不均等的，所以不能用概率来计算；又如：用天平秤来称物体时有误差，这个实验的结果就有无数多个，而且这些结果也不具有等可能性，所以这类事件也不能用概率来计算.

为了正确地计算出概率，画树状图或列表是很好的方法.

例：张老师上班途中要经过3个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的机会都相同，张老师希望上班经过每个路口都是绿灯，实际上这样的机会是多少？

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小；

解：经过3个十字路口，遇到红、绿灯的情况如下：

从树状图可以看出，经过三个十字路口遇到的红绿灯共有8种等可能的结果.其中：3个红灯的有1个可能；2个红灯1个绿灯的有3个可能；1个红灯2个绿灯的有3个可能；3个绿灯的有1个可能.所以经过每个路口都是绿灯的情况只有1种，所以上班经过每个路口都是绿灯的概率为P（每个路口都是绿灯）=1/8.

树状图或列表的方法既形象又直观，可以帮助我们既不重复也不遗漏地列出所有可能的结果（基本事件），从而计算古典概型中事件所含的可能结果（基本事件）数以及事件发生的概率.它们都是计算概率的简单有效的方法.

如果实验的次数是二次时，选树状图或列表都可以，如果实验的次数超过二次则只能选用树状图.

（作者单位：江苏省常州外国语学校）