反比例函数创新题赏析

有关反比例函数的创新题是近年来中考数学热点题型。为帮助同学们熟悉该题型，特采撷2011年部分中考题加以赏析，供大家参考。

一、按部就班的程序框图题

（2011年河北省）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图像，过点M作PQ∥x轴交图像于点P、Q，连接OP、OQ。则以下结论：①x＜0时，y=；②OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ可以等于90°。

其中正确的结论是（ ）

A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤

解析 根据程序图可知，当x＞0时，y=，x＜0时，y=-，因此①错误。

直接从图像可以看出，当x＞0时，y随x的增大而减小，因此③错误。

而SOPQ=SPOM+SQOM=×4+×2=3为定值，因此②正确。

设点M的坐标为（0，a），则点P（-，a），点Q（，a），

所以MQ=，PM=，所以MQ=2PM，因此④正确。

从图像可以看出，随着直线PQ向下移动时，∠POQ逐渐增大，当PQ无限靠近x轴时，∠POQ近似成为平角。所以∠POQ可以等于90°，因此⑤正确。

因此正确的结论是②④⑤，故答案选B。

点评 本题以程序框图的形式命题，形式活泼新颖。另外，本题直接从图像可以判断③错误，这样可以排除选项C、D，再根据程序框图可以判断①错误，又可排除选项A，从而可以快速找出正确选项，而无需再看②④⑤是否正确。

二、一箭双雕的双反比例函数题

（2011年陕西省）如图2，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于点A、B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为（ ）

A．3 B．4

C．5 D．6

解析 连接AO、BO，

因为AB//x轴，所以ABC和ABO在AB边上的高相等。

所以SABC=SABO。

而SAOB=SAPO+SBPO=×-4+×2=3。

所以SABC=3。故答案选A。

点评 本题将两个不同的反比例函数放在同一个坐标系中考查，解答本题的关键是利用平行线的“传递面积功能”（即同底等高的两个三角形的面积相等），将ABC的面积转化为ABO的面积，进而利用反比例函数的比例系数k的几何意义分别求出APO和BPO的面积，从而求出ABO的面积。

三、按图索骥的规律探究题

（2011年四川省达州市）给出下列命题：

命题1：直线y=x与双曲线y=有一个交点是（1，1）；

命题2：直线y=8x与双曲线y=有一个交点是（，4）；

命题3：直线y=27x与双曲线y=有一个交点是（，9）；

命题4：直线y=64x与双曲线y=有一个交点是（，16）；

…………

（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；

（2）请验证你猜想的命题n是真命题。

解析 （1）命题n：直线y=n3x与双曲线y=有一个交点是（，n2）；

（2）将x=代入y=n3x，得y=n3×=n2，所以（，n2）在直线y=n3x上。

将x=代入y=，得y==n2，所以（，n2）在直线y=上。

所以直线y=n3x与双曲线y=有一个交点是（，n2）。

点评 解答本题既要注意横向比较正比例函数和反比例函数的系数、交点的横坐标和纵坐标之间的关系，又要注意纵向比较正比例函数和反比例函数的系数、交点的横坐标和纵坐标各自之间的关系。

四、现学现用的实际应用题

（2011年湖南省郴州市）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系。寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升）。如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克。

（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；

（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？

解析 （1）可先分别设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式，然后将x=1，y=1.5和x=1，y=2分别代入函数关系式，利用待定系数法求出函数关系式；

（2）将y=0.5分别代入已经求出的函数关系式即可求出漂洗次数，根据题意又知小红、小敏每次漂洗的用水量，将漂洗次数与每次漂洗的用水量相乘即得用水量。

（1）设小红的衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式为y=，小敏的衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式为y=。

把x=1y=1.5代入y1=，得1.5=，所以k1=1.5。

把x=1y=2代入y2=，得2=，所以k2=2。

所以小红的函数关系式为y=（x为正整数），小敏的函数关系式为y=（x为正整数）。

（2）把y=0.5分别代入y=和y=，得0.5=，0.5=。

所以x1=3，x2=4。

小红共用水10×3=30（升），小敏共用水5×4=20（升），从节约用水的角度来看，小敏的方法更值得提倡。

点评 本题将洗衣服与反比例函数紧密联系在一起，诠释了“生活中处处有数学”的理念。通过本例也可以看出，洗衣服的较好方法是：用少量的水多漂洗几次。