反比例函数图象中的面积问题

反比例函数y＝(k≠0)图象是双曲线，我们经常遇到与之有关的面积问题，现作一点初浅的探讨．

如图1，P为双曲线y＝上任一点，PMx轴, PNy轴，设p(x,y)，则PM＝|y| ,PN＝|x|，

S矩形PMON＝x・y＝xy＝k（定值）．

与之有关的变式图形有：

1、如图2,SPMO＝S矩形PMON＝│k│．

2、如图3,由对称性可知PO＝QO，PMx轴，QRx轴，PM＝QR，OM＝OR．

SPMO＝ SOMQ，

SPMQ＝2SPMO＝2│＝│k│，

SPMQR＝4SPMO＝4│=2│k│．

透彻了解这些基本图形与结论，对我们的解题将会带来很大方便．

例1如图4，P,Q是双曲线上第二象限内的任意两点，PMx轴于M，QNx 轴于N，试比较梯形PMNQ与PQO面积 的大小．

分析：SPMO＝SQNO，SPMO－SNOR= SQNO－SNOR，

即SPMNR＝SQRO．SPMNR+SPRQ＝SQRO+SPRQ．

S梯形PMNQ＝SPQO．

y＝(k≠0)中的k与相关图形的面积具有互为因果的关系．即已知k可求 S，已知S可 求k．在解决后一类问题时，要特别注意根据图象所在的象限确定k的符号．

例2如图5，已知双曲线y＝经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为4，求双曲线的解析式．

解：E，F在双曲线上SOAF＝SOCE，

F为矩形OABC的边AB的中点．

SOAF＝SOCE ＝SOABC．

SOEBF＝SOABC.SOAF＝SOEBF＝＝2．

SOAF＝│k│＝2，│k│＝4．

反比例函数的图象位于二、四象限，k＜0．

k＝－4．

双曲线的解析式为y＝－．

例3如图6，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是边长为1的正方形，其中点B，C分别在x轴和y轴上．点N为y轴负半轴上一动点，过A，N的直线交BO于点D，点M为x轴正半轴上一动点，且∠NAM=45髌叫兴谋咝NOP，请探究点P是否落在一个反比例函数的图象上？若在反比例函数的图象上，请写出该反比例函数的解析式；若不在反比例函数的图象上，请说明理由．

分析：要考察点P是否落在一个反比例函数的图象上，可转化为考察四边形MNOP的面积是否为定值，亦即考察MNO的面积是否为定值，因为点N为一动点，所以需求ON・OM的整体值．

解：连结OA．四边形ABOC是正方形，

∠OAM+∠MAC ＝45?

又∠OAM+∠OAN＝45AC＝∠OAN．

AC∥BM，∠MAC＝∠AMO．∠OAN＝∠AMO．

又∠AON＝∠AOM＝135?

AON～MOA，＝．

OA2＝OM・ON．OA2＝12+12 ＝2，

SMON＝OM・ON＝1，SMOP＝1．

点P落在一个反比例函数的图象上．

│k│＝1．│k│＝2．

又反比例函数的图象位于一、三象限，

k＞0．k＝2．

反比例函数的解析式为y＝．

通过以上几例可见，对与反比例函数图象中相关的面积问题，若能抓住与之有关的基本图形进行分析，常能化繁为简，化难为易，使问题迎刃而解．