反比例函数的应用范文

反比例函数的应用篇1

性质1 直线与双曲线相离一定有k1k2＜0.

当 k1k2＞0 时直线与双曲线一定相交.

证明(略)

性质2 直线与双曲线只有一个交点时,两线相切,并且切点是直线被两坐标轴所截线段的中点；反之,如果双曲线经过直线被两坐标轴所截线段的中点,则两线一定相切.

因为Δ=(-2k2[]m)2-4•k2[]m2•k2=4k22[]m2-4k22[]m2=0 .所以两线只有一个交点,两线相切.

性质3 直线与双曲线相交时,直线被双曲线和两坐标轴截得的线段相等.

证明 如图1(2),过点C作CEy轴,过点D作DFx轴,

连接E、F.由CE∥y轴,DF∥x轴,可知SECF=SECO=1[]2k2,SDFE=SDFO=1[]2k2, 所以SECF=SDFE.

又因为两三角形底相等,所以高也相等,所以EF∥AB,则四边形AEFD、ECBF都是平行四边形,

所以EC=BF,AE=DF.可判断RtAEC≌RtDFB,所以AC=BD.

通过上述证明过程又可得到以下性质：

性质4 当直线与双曲线有两个交点时,过其中一个点向x轴引垂线,y轴引垂线,两垂足连线一定与该直线平行.

由图2,图2(1)都可证明性质3与性质4(证明过程同上).并且由图2还可以得到

性质5 过原点的直线与双曲线相交时,两交点关于原点对称.

证明 如图2,由性质4知EF∥AB,因此四边形AEFO、BOEF都是平行四边形,所以AE=OF,OE=BF,EF=OA=OB,又A、B分别在二、四象限,因此A、B两点关于原点对称.

另外由图3,还可以发现,设点P(x,y)是线段AB上一个动点,

当点P与C、D重合时,S矩形EOFC=S矩形DNOM=k2,

当点P在CD段时,易得S矩形PROH＞S矩形EOFC=k2,

当点P在AC段或BD段时,易得矩形面积都小于k2,因此又得到

性质6 如图3,当点P在线段AB上运动时,过点P与x轴、

y轴围成的矩形面积S有如下三种情况：设点p、C、D的横坐标分别为x、x1 、x2,

则 当x1＜x＜x2时,S矩形＞k2,

当0＜x＜x1或当x2＜x＜-b[]k1时,S矩形＜k2,

当x=x1、x2时,S矩形=k2.

2 性质应用

例1 (2010湖北咸宁)如图4,一次函数y=ax+b的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y=k[]x的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE．

有下列四个结论：

①CEF与DEF的面积相等；②AOB∽FOE；

③DCE≌CDF；④AC=BD．

其中正确的结论是_________(把你认为正确结论的序号都填上)

解 由上述性质3、4得到①②④正确

例2 (2010宁夏)如图5,已知：一次函数：y=-x+4的图像与反比例函数：

y=2[]x(x>0)的图像分别交于A、B两点,点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点,过M分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M1、M2,设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图像上任意一点,过N分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为N1、N2,设矩形NN1ON2的面积为S2；

(1)若设点M的坐标为(x,y),请写出S1关于x的函数表达式,并求x取何值时,S1的最大值；

(2)观察图形,通过确定x的取值,试比较S1、S2的大小．

解 (1)S1=x(-x+4)=-x2+4x=-(x-2)2+4

当x=2时,S1最大值=4 .

(2)因为S2=2[CS0,0,0,0]［,］[CS]由S1=S2可得：-x2+4x=2,

x2-4x-2=0,所以x=2±2.由性质6可得：

当x=2±2时,S1=S2,

当0

当2-2

例3 (2010泰安)如图6,一次函数y=ax(a为常数)与

反比例函数y=k[]x(k为常数)的图象相交于A、B两点,若A点的坐标为

(－2,3),则B点的坐标_________.

解 由性质3知B点与A点关于原点对称,因此B点的坐标为(2,-3).

例4 (2009温州)如图7,在平面直角坐标系中,

直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B,

与反比例函数y=m[]x在第一象限的图象交于点C(1,6)、点D(3,n)．

过点C作CEy轴于E,过点D作DFx轴于F．

(1)求m,n的值；

(2)求直线AB的函数解析式；

(3)求证：AEC≌DFB．

解 如图7.(1)m=6,n=2

(2) 直线AB的函数解析式为y=-2x+8.

(3)由性质3知RtAEC≌RtDFB.

反比例函数的应用篇2

[关键词] 类比法；单元教学；正比例函数；反比例函数

《教师专业标准》中强调，教师应重视学生自主学习、独立思考、自强自立、自由精神的培养. 在数学学习方面，这种自主学习、自主思考的能力，某种程度上表现为“举一反三”“触类旁通”的能力. 而这种能力的形成，要求教师在进行相似知识模块的学习时，不能简单地停留在知识点的传授层面，要适时渗透类比、归纳等推理方法，帮助学生既掌握方法，又整体建构. 本文结合“反比例函数（1）”的学习谈谈这方面的认识.

反比例函数与已学的正比例函数一样，也是一种特殊的函数. 它们在研究内容上是一致的. 这种研究内容的一致性，决定了它们在研究方法上也存在一致性. 因此，我们可以将反比例函数的学习看做是正比例函数学习的进一步延伸和拓展. 我们在进行反比例函数的第一课时学习时，改变了传统的重点研究反比例函数的概念及基本运算的做法，而是借鉴正比例函数学习的经验，运用类比的方法进行单元教学，让学生在类比正比例函数的基础上，整体认识反比例函数的概念、图象、性质、应用，形成一种整体意识，为后续的深入研究做好充分的准备.

为了能顺利地实现正迁移，将正比例函数的学习经验迁移到反比例函数的学习中，我在教学时设置了以下问题. 对于此问题，一方面，通过正比例函数的认识，明确函数一般的研究对象和方法，为用类比的方法研究反比例函数做好必要的铺垫工作；另一方面，通过整体回顾，培养学生的整体意识.

同正比例函数的学习相似，在研究概念的基础上，进一步转入到函数图象的研究中来. 但是如果要学生通过描点法作图一步到位地作出反比例函数的图象，难度比较大. 为此，我在正比例函数图象的基础上，设置问题串引领学生思考，让学生初步感知反比例函数图象分布的区域、基本走势.

1. 提出问题

2. 学生活动

设计意图说明：通过问题串引导学生类比、思考、观察、讨论， 让学生在初步对“数”的特征有所认识的基础上再自然转入对“形”进行研究. 这种从“数”到“形”的研究方式增加了对学生思维能力培养的机会，目的是让学生学会学习.

反比例函数的应用篇3

反比例函数y=中，k是非零常数，x是非零实数，x的指数是-1；反比例函数的图像是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形；双曲线随着|x|的增大而越来越接近x轴，但永远不会与x轴相交,随着|k|的增大，双曲线相对于原点的位置越来越远；在双曲线上任取一点，过这个点向两坐标轴作垂线所围成的矩形的面积等于|k|；反比例函数的性质应注意前提条件：在每个象限内.

在学习反比例函数上，一方面要注意具体题目的分析和求解过程，另一方面要注重一些重要的数学思想方法（如变化与对应的数学思想和数形结合的思想）的渗透；对于反比例函数的检测，通常以选择、填空和解答题的形式出现.下面结合2007年中考题，谈反比例函数的检测方式.

考点1：反比例函数的图像和性质

经检验，所给4点中，只有点（2，-1）在双曲线上，故选A.

【评注】1.反比例函数的图像是轴对称图形，它有两条对称轴，即一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线；它也是中心对称图形，对称中心是坐标原点.因此，若点（a，b）在双曲线上，则点（b， a）, （-a，-b）, （-b， -a）也一定在双曲线上.

2.双曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的积都相等，且等于反比例系数.

练习1：（2007年甘肃省兰州市）如图1，P1，P2，P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A1O，P2A2O，P3A3O，设它们的面积分别为S1，S2，S3，则（）

A.S1＜S2＜S3

B.S2＜S1＜S3

C.S1＜S3＜S2

D.S1=S2=S3

考点2：反比例函数的解析式

1.求反比例函数和一次函数的解析式；

2.根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值x的取值范围.

思路点拨：1.由点A的坐标可求出反比例函数中的系数m，再把点B的坐标代入反比例函数的解析式中即可求n，最后将A,B两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出k,b的值.

2.求一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，即是找直线部分在双曲线部分上方时所对应的自变量x的值.

2.分别过点A，B作横轴的垂线，垂足为C，D，则C，D的坐标分标为(-2，0)，(1，0)，如图2，在直线AC的左侧以及在纵轴和直线BD之间时，一次函数的图像在反比例函数图像的上方，故当x

2.两个图像的交点坐标一定适合两个函数的解析式，两个函数的解析式所组成的方程组的解即是图像的交点坐标.

考点3：反比例与一次函数在同一坐标系中的图像

思路点拨：这里两个函数图像的位置由2k和k-1的符号确定，而2k与k的符号相同，所以k和k-1的符号共有3种可能性，即都为负，为正且为负，都为正.

解：1.当k

2.当k

3.当k

例4：（2007年江苏省盐城市）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/时的平均速度用6小时到达目的地.

1.当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/时）与时间t（小时）之间的函数关系式；

2.如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度.

思路点拨：由已知条件可求出汽车从甲地到乙地的路程，而返回路程不变，因此汽车的速度与时间成反比例.

解：汽车行驶的路程为80×6＝480（千米）

练习4：（2007年广西壮族自治区）如图6，一块砖的A、B、C三个面的面积之比是4∶2∶1，如果把砖的B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖A面和C面分别向下放在地上，地面所受压强分别为帕、帕.

附练习答案：

（作者单位：湖北省襄樊市第19中学）

反比例函数的应用篇4

关键词：初中数学；反比例函数；现状；解题方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2015）10-0375-02

反比例函数在数学学习中占据了十分重要的地位，其中的知识内容也是比较复杂的。随着课程改革的不断深入，反比例函数的教学方法也在发生转变，转变的方向也是朝着科学化和细致化的方向发展。现在很多中校甚至是高校都越来越重视反比例教学。根据初中教学的实际情况来看，学生对于反比例函数的相关知识掌握的还不到位，在学习的过程中还有很多的问题，有的是不重视，有的是忽略，造成了学生对反比例函数的理解不到位；并且，在老师进行教学的时候，也存在一定的困难，有的直接跳过，有的是迷惑，这样就大大的降低了教学的效率。因此，我通过对现在的初中数学教学进行深入的分析，针对反比例函数教学中的有关问题进行研究，希望能够找到有效的解决办法。

1.在反比例函数概念教学的过程中注重实例的加入

在反比例函数中加入实例能够进一步增加学生对于反比例函数的概念认识。在课堂教学中，很多学生的记忆力很好，能够把老师的内容记忆下来，但是内有掌握相关的学习方法，不愿意动脑，对数学学习没有热情。要善于激活学生的思维能力，调动学生的学习兴趣，把难懂的反比例函数融合到实例中，以便更好的进行分析和研究，减轻知识的学习难度。重要的是用实际事例来引导学生注重实际生活中的"反比例函数"，品尝反比例函数的乐趣。借助平时的实际事例来帮助学生掌握数学思想，通过不断的学习和认识，老师进行适当的引导，帮助学生更加健康的成长。注重学生综合素养的培养，是数学教育的主要目的，并不是单纯的对数学概念、理论、公式进行简单的记忆，要把数学作为一种乐趣去享受。

例1 某地去年电价为0.8元，年用电量为l亿度，今年计划将电价调至0.55-0.75元之间。经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y（亿度）与（x一0.4）元成反比例.当x=0.65元时，y=0.8。

（1）求y与x之阍的函数关系式；

（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年增加20%？

上述问题就是学生的实际生活事例，是强化学生认识反比例函数的重要素材，也能够把抽象的反比例函数转化成为具体可感的实际案例。数学课堂融合了语言、图像和文字等多个内容，是一个师生互动的过程。正例和反例相互融合，加强了学生对反比例函数本质知识的掌握。这种教学方法不但能够加强学生的学习能力和思考能力，还可以帮助学生初步的掌握反比例函数的有关内容，为后面的学习奠定坚实的基础。

2.加强学生反比例函数的主体观念，提升学生学习的自觉性

很多的数学理念，不是依靠一节课、两节课，或者是一个月甚至是一个学期，学生就能够领悟的，这还需要一个阶段和时间的累积，不断的提升认识。因此，反比例函数作为中学阶段的关键内容，不能一蹴而就，需要不断的学习和积累，根据实际的教学情境，融合相关的反比例函数知识，让学生深刻的认识到反比例函数的实际意义和价值，进一步加强学生的学习主动性。

教学过程需要老师和学生的相互配合。给学生一个独立、自由的学习空间，让学生独立的进行学习，老师和方法都是学习过程中的引导者，是学习发展的关键力量。根据相关的反比例函数的实际案例来体会其中的实际价值，了解反比例函数知识在实际生活中的广泛使用，提升学生的学习兴趣，让学生主动思考问题，在知识运用的过程中更好的掌握反比例函数的实际意义。

例2 例2 若函数y-k1x（k1≠0）与y=k2x（k2≠0）的图象无交点，则k1，k2应满足什么条件？

从方程的角度可以解决，能否用图象解决呢？ 未知，如何画出准确的函数图象呢？k1，k2学生通过讨论发现，得出如图1 ，反比例函数和正比例函数图象具有相同的象限特点，即过第一、第三象限或过第二、第四象限，而且若一个经过第一、第三象限，而另一个经过第二、第四象限，则必无交点。有的学生则更进一步，先画出k>0的反比例函数大致图象，再画出正比例函数图象并绕原点旋转，在旋转过程中，观察交点情况。而后探究k

图 1

反比例函数在教学的时候，老师可以利用课题研究的模式，调动学生学习的积极性。让学生在思考的过程中进行反比例函数问题的探讨，表达自己的想法，吸收别人的相关意见。例如：让学生通过小组的方式收集身边有关的反比例函数的例子，并且归类，安排问题，让小组内部和小组之间进行沟通，展示出一种团队的力量和竞争的意识。最后，把各个小组的劳动成果进行展示，先让学生进行自我点评，然后老师进行引导，这样不但维护了学生的主体地位，还表现出了老师的引导效用。

3.构建反比例函数的问题情境，解决理解难题

老师把知识转化为实际问题，能够调动学生的学习热情，在研究问题的基础上进一步巩固相关的知识，让学生对已经掌握的知识进行及时的反思，构建问题情境能够给学生充足的思考空间，有效的转换思路，使得知识变得更具体。

课堂是社会的体现，出现在课堂中情境不亚于发生在实际生活中的情境。课堂的很多问题和环境都是创建出来的。例如学生进行物品的买卖，构建核反应堆进行研究，虽然课堂中没有真正的进行食品的买卖，没有一个人是核工程师。但是在我们的实际生活中，这些对象或许我们之前并没有看到过，也没有实际观察过，甚至没有感觉。所以，调动学生的抽象思维能力是数学教学的主要任务。

反比例函数知识，并不是依赖于单纯的灌输式教学。不论图片多生动形象，反比例函数的知识还是比较复杂的。反比例函数是一种关系的连接，其中的关系并不是像铅笔、桌子和写字本是可以操控的东西，需要相应的思维能力和理解水平。

反比例函数知识主要是为了更好的运用到实际生活中。老师在综合使用反比例函数的内容、特点的时候，要把实际的案例融合到学生的学习过程中，通过合作研究、相互交流、独立思考等方式，减轻学习的难度性。当学生处于一种特定的问题情境中，要及时引导学生找到解决问题的方法，并且在这个过程中进行适当的帮助，充分的调动学生的实践能力和创新能力。要循序渐进的进行教学，给学生充分的学习机会，锻炼学生克服困难的意志，构建学习的信心。在有价值的、具有真实情境的教学中，更好的融合数学中的相关概念和关系于实际情境中，在这种环境的熏陶之下，让学生更好的投入到学习中，以便学生能够更好的找到解决数学问题的方法。所以，加强学生在实际情境中处理数学问题的能力也是十分必要的。

参考文献：

[1] 张向彬.运用反比例函数巧解初中数学实际问题[J].数学教学通讯，2013，（1）：63-64

[2] 殷忠伟.反比例函数解题方法教学探析[J].数理化学习（教育理论），2012，（8）：2-3

反比例函数的应用篇5

例1 如图，A、B是双曲线y=的一个分支上的两点，且点B（a，b）在点A的左侧，则b的取值范围是 .

分析：由点B（a，b）在双曲线y=上，那么b=. 要确定b的取值范围，应先求k的值和确定a的取值范围.

解：显见，点A的坐标为（1，2）.

因为点A、点B都在双曲线y=上，

所以2=，b=.

所以k=-2，b=.

因为点B（a，b）在点A的左侧，

所以a

所以-1

所以b的取值范围是-2

例2 如图，已知M（2，1）、N（2，6）两点，反比例函数y=与线段MN相交于点Q（2，m），则k的取值范围是（ ）.

A. 1≤k≤6 B. 2≤k≤12 C. 4≤k≤24 D. k≤4或k≥24

分析：注意到点Q（2，m）在反比例函数y=的图象上，那么k=2m. 要确定k的取值范围，应先确定m的取值范围.

解：由M（2，1）、N（2，6）两点的横坐标相同，得MNx轴.

因为点Q（2，m）在线段MN上，

所以1≤m≤6.

因为点Q（2，m）在反比例函数y=的图象上，

所以m=，k=2m.

所以2≤k≤12，应选B.

例3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DEx轴于点E. 已知C点的坐标是（6，-1），DE=3.

（1）求反比例函数与一次函数的解析式.

（2）若一次函数的值大于反比例函数的值， 请确定x的取值范围.

分析：（1）根据点C的坐标，可求出反比例函数的解析式；注意到点C、点D都在一次函数y=kx+b的图象上，要求一次函数的解析式，应先确定点D的坐标.（2）要确定使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围，只需看看x取什么值时，一次函数y=kx+b对应的图象高于反比例函数y=对应的图象.

解：（1）依题意，在y=中，x=6时，y=-1.

所以m=-6.

所以反比例函数的解析式为y=-.

因为DEx轴于点E，DE=3，

所以点D的纵坐标为3.

因为点D在反比例函数y=-的图象上，

所以点D的横坐标为-2，点D的坐标为（-2，3）.

因为点C（6，-1）、点D（-2，3）都在一次函数y=kx+b的图象上，

所以6k+b=-1，-2k+b=3.

所以k=-，b=2.

所以一次函数的解析式为y=-x+2.

（2）注意到点D的横坐标为-2，点C的横坐标为6，

所以x的取值范围为x

例4 如图，已知点A（2，6）、B（3，4）在双曲线y=上.

（1）求此双曲线对应的函数解析式；

（2）若直线y=mx与线段AB相交，求m的取值范围.

分析：（1）确定反比例函数的解析式，只需确定反比例函数上一个点的坐标即可.（2）设直线y=mx与线段AB的交点为P（x，y），

则m=. 为此，只需确定的取值范围.

解：（1）由点A（2，6）是反比例函数y=图象上的一点，得6=.

所以k=12.

所以此双曲线对应的函数解析式为y=.

（2）设直线y=mx与线段AB的交点为P（x，y），则m=.

因为点P（x，y）在线段AB上，

所以2≤x≤3，4≤y≤6.

所以≤≤.

反比例函数的应用篇6

一、“反比例函数的图像和性质”的教学设计

复习引入:

问:反比例函数的解析式和定义域?

师:这节课,我们研究在直角坐标平面中反比例函数的图像和性质。

出示课题:18.3.2反比例函数的图像和性质(1)

(一)三个操作,确定观察实例

(2)描点

(3)连线

师:按照自变量从小到大,即按点从左到右,用光滑的曲线连接,并向两方伸展。所画图像向两方延伸,会不会与坐标轴相交?

小结:根据解析式,如果x所取值的绝对值越来越大,那么y的对应值的绝对值越来越小;而x所取值的绝对值越来越小(不为零),则y的对应值的绝对值越来越大。由此可知,图像向右或向左延伸,与x轴越来越靠近;图像向上或向下延伸,与y轴越来越靠近,但都不会与坐标轴相交。

操作2(师生同步画图)

类比操作1,画反比例函数 的图像。

(2)描点

(3)连线

师:对学生画图中出现的问题进行投影讲评,引导学生小结画反比例函数图像应注意的事项。

3.操作3(学生独立画图)

画反比例函数和 的图像。

(老师示范 自变量x的取值、描点)

(二)三次类比,分析本质属性

师:我们前面研究正比例函数是通过图像得到性质,这里我们同样通过函数图像来归纳反比例函数的性质。

问:正比例函数的图像是什么?那么反比例函数的图像是什么?(投影表格)

完成正反比例函数图像部分的填写

1.类比思考

问:正比例函数有哪些性质?

师:观察、比较上面四个函数的图像,类比正比例函数性质的研究,请各小组从“图像的位置分布、函数的增减性”几个方面讨论反比例函数有哪些性质。

讨论参考问题:

(1)函数的图像分别位于哪几个象限内?

(2)随着图像上的点的横坐标x逐渐增大,纵坐标y是怎样变化的?

(3)图像的每支都向两方无限延伸,它们可能与x轴、y轴相交吗?为什么?

2.类比归纳

反比例函数(k是常数,k)的性质:

(边归纳边完成表格)

分组讨论,修正性质

师:以函数为例,若在第一象限的分支上取两点,如a(1,6),b(3,2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小;若在第三象限的分支上取两点,如c(-1,-6),d(-3,-2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小。但如果,分别在第一、三象限各取一点,如a(1,6),d(-3,-2),是否符合这一增减性规律?

生:应该加上“在每个象限内”或“在对于每个分支而言”或“当x>0或x<0”时,等等。

3.类比小结

对照表格,谈谈正反比例函数图像和性质的异同点。

(三)三层练习,进行巩固运用

(1)比例系数k分别是多少?

(2)图像分别在哪些象限?

(3)图像在每个象限内,y的值随x的值的变化而怎样变化?

课堂小结

谈谈你学习的收获和体会

(学生没有提到的部分,老师通过引导直接讲解,帮助学生进行小结)

师:同学们回答的很好,这节课我们不仅学习了画反比例函数的图像,还研究了它的性质,更重要的是我们感受了学习知识的方法。上节课我们学习了反比例函数的概念,这节课我们学习了如何画反比例函数的图像,归纳得出了反比例函数的性质,下节课我们将运用这些性质来解决一些问题。

二、对数学概念课教学设计的几点思考

“反比例函数图像和性质”的内容教学,学生在前面已经学习了正比例函数的解析式、图像和性质,反比例函数的解析式。本节课的教学重难点有两个:一是会用描点法画反比例函数的图像;二是结合图像分析归纳反比例函数的基本性质,并掌握这些性质。

反比例函数的图像和性质较正比例函数而言,较难操作画图,比较抽象,不易理解。这堂课力求在学生已有知识结构的基础上,让学生在动手操作、性质比较、自主探究的过程中不断地发现新知识,从而促进学生对有关反比例函数图像和性质的知识构建。

(一)注重两种数学概念学习形式的有机结合

数学概念学习主要有两种形式:一是数学概念形成,二是数学概念同化。数学概念形成需要的是对物体或事件的直接经验,从这些物体或事件中抽象出它们的共同属性。而在数学概念同化的过程中,重点在于学生把新知识与头脑中已有的有关知识联系起来。但两者不是互相排斥的,在数学教学中可以把这两种数学概念学习形式有机的结合起来,常常能收到较好的效果。

本例中设计了三个操作、三次类比、三层练习,让学生经历了“观察操作实例——分析本质属性——修正本质属性——练习简单运用”等几个阶段,这里运用的是数学概念形成的学习形式。本例从具体的操作实例出发,对反比例函数从k>0和k<0的两种情况分类研究操作画图,归纳得出了反比例函数图像性质的“本质属性”,再通过具体实例函数 在第一象限的分支上的两点a(1,6),b(3,2)和第三象限的分支上的两点c(-1,-6),d(-3,-2),对性质进行检验与修正,最终概括得到反比例函数的性质。然而,在分析本质属性中,本课将正反比例函数的图像和性质进行三次类比,运用了数学概念同化的学习形式。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系,把新概念纳入到相应的概念体系中,同化新概念。

通过数学概念形成和数学概念同化两种学习形式的结合运用,学生对“反比例函数的图像和性质”既有感性认识又有理性认识,从具体到抽象,符合人的认识规律,提高了教学效率,使学生能够在较短的时间内正确理解数学概念所反映的事物的本质属性。

(二)注重数学思想方法的渗透

对数学而言,知识的发生过程,实际上也就是思想方法的发生过程。因此,概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程等都是向学生渗透数学思想方法的极好机会。

本例的一个重难点是“理解和掌握反比例函数的图像和性质”。在性质归纳中设计了“类比思考”、“类比归纳”、“类比小结”三个环节,对正反比例函数进行充分的类比,让学生更好的体会利用函数图像来研究函数性质的研究方法,降低学习难度,对反比例函数的图像和性质的掌握会更好。

另外,本课将反比例函数分成“k>0”和“k<0”两种情况进行研究,渗透了分类讨论的数学思想。在反比例函数增减性的讲解中,借助图像和具体的点和坐标,再从具体到抽象,充分运用数形结合的数学思想方法,帮助学生更好的理解性质中的难点。

数学的概念、性质和定理等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而基本的数学思想方法却隐含在知识的教学过程中,是无“形”的,并且不成体系散见于教材各章节中。在概念课的教学过程中,我们老师应注意把握好数学思想的渗透时机,寻找适合学生的认知发展水平的渗透方法。

(三)注重数学概念的过程教学

数学知识的发生、发展、形成和应用的过程,是课程目标内容,也是课程学习内容。在数学概念课教学中,要抓住数学概念的本质属性及其内部联系,结合学生的能力状况及知识水平,采用多种方式,组织学生参与概念的分析、概括、形成过程,变“成果教学”为“过程教学”。

例如在“反比例函数增减性”的教学中,不是直接给出“在每一象限内”这一前提,而是先由学生类比得出“k>0时,y的值随x的增大而减小;k<0时,y的值随x的增大而增大”这一不正确的结论。再给出具体的函数上的两点a(1,6),d(-3,-2),讨论是否符合这一增减性规律。最后,对得到的结论进行修正。

学生在这一讨论后,提出了不同的修正方案,有“对于每一个分支而言”、“对于每个象限”而言、“当x>0时”等。这一开放性的教学策略,为学生提供更多的机会和时间,让学生提问和质疑、尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结,使课堂成为学生能动地、创造性的生成过程,避免了把数学概念绝对化,让学生形成“正确的答案可能不止一个”的认识。

总之,数学概念的教学,既是数学教学的重要环节,又是数学学习的核心,其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延,使学生思考问题、推理证明有所依据,能够创见性地解决问题。概念教学的效果如何,将直接影响学生对数学知识的理解、掌握和应用。因此,在概念教学中,教师要根据课程标准对概念教学的具体要求,创造性地使用教材,努力优化概念教学设计,把握概念教学过程,真正让学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。

整理

参考文献:

[1]瑜文琪.要重视概念和知识的发展过程的教学.中学数学教学参考,2000.

[2]奚定华等.数学教学设计.华东师范大学出版社,2001.

[3]田中等.数学基础知识、基本技能教学研究探索.华东师范大学出版社,2003.

反比例函数的应用篇7

【关 键 词】 数学课堂；“两学一归纳”；教学模式；实践与思考

【作者简介】 黄玉华，中学高级教师，江苏省特级教师。

2014年5月份，笔者有幸参加了江苏省第十三批特级教师选拔，在上课比赛这个环节，采用比赛前一天晚上通知上课内容、 “异地借班上课”的方式，上课的课题是苏科版八年级下“反比例函数的图像和性质（1）”，由于是选拔比赛，课前不允许了解学生的情况，笔者充分利用我校的“两学一归纳”课堂教学模式进行了本节课的教学设计，受到了专家的好评。现将该模式的内涵、本节课的设想和实践后的思考书面整理之，供各位同仁借鉴，以期对大家的教学和研究有所启示.

一、“两学一归纳”教学模式的内涵

“两学一归纳”自主学习模式由“自学”、“互学”、“归纳”三个中心环节构成，即由学生的个人自主学习到小组或大组交流互学，最后由学生在同学或老师帮助下总结归纳、提炼升华。整个教学过程，在教师的引导下以“基于目标的问题、基于问题的解决和基于问题生成”为主线，发挥学生的主观能动性和创造性，促进学生掌握基本知识，建构知识体系，形成学习方法，培养学生学会学习的过程。这种模式下的课堂突出了学生主体地位，激发学生的精神动力，努力让教学迸发智慧光芒，推动学生自主学习、主动发展和创新发展，真正让课堂成为师生向往的地方，成为师生情感交融、精神对话的心灵乐园，成为助长生命、实现生命价值的生命场。

二、教学设计

1.教材分析。本节课内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“数与代数”领域，是继一次函数后的又一种基本初等函数。反比例函数的图像是对函数图像及其性质知识学习的深化和提高，图像由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，是知识与技能上的一次拓展、理解与认识上的一次升华，也是思维与方法上的一次飞跃，是学生后续学习各类函数的重要基础，起到承上启下的作用。反比例函数的图像和性质的核心，是函数“特性”、图像“特征”以及它们之间的相互转化关系。

本节教学内容是：先结合反比例函数的解析式探究其图像的一些特征，构思函数图像的大致位置、轮廓、趋势，以数想形；再经历列表、描点、连线画出反比例函数的图像，进而观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的图像及初步的性质，可以进一步加深对函数三种表示方法（列表法、解析式法和图像法）的理解，此类知识与技能比较适合学生进行自主学习与探究。

2.学情预测。从学生的知识起点方面来看，经过第一节《反比例函数的基本概念》的学习后，他们已经能够判断什么是反比例函数，知道反比例函数的三种形式；而且经过前面正比例函数、一次函数的图像绘制，也基本掌握了函数图像的绘制方法，具有一定的图像绘制能力。但是，反比例函数的图像是双曲线，与前面的一次函数图像不同，学生在绘制过程中会“类比一次函数图像的画法”， 受到一些“负迁移”的干扰，可能会出现多种问题。因此，在运用“类比”的方法研究反比例函数的图像过程中，还应注意关注反比例函数的图像与一次函数的图像之间的“差异性”，加以对比，加深理解。

教学重点：探究反比例函数的图像，以及本课内容所蕴含的思想方法。

教学难点：反比例函数的图像特征。

3.教学目标。

（1）经历由反比例函数的解析式估计其图形基本概貌的过程和运用描点法画反比例函数图像的过程，初步了解反比例函数的图像和性质。

（2）感悟“数形结合”、“变化与对应”和“转化”的数学思想，并能应用数形结合和转化思想，根据反比例函数的解析式和反比例函数的图像探究其性质。

（3）在探究反比例函数图像的过程中，让学生经历观察、分析、猜想、操作、探究、归纳、概括的认知过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验，体验数学活动，培养学生良好的思维品质和严谨的科学态度，提高学生的思维能力。

4.教法学法。根据本节课教材内容的特点，采用“两学一归纳”教学法，先让学生自主学习、操作探究、合作交流，再借助信息技术工具，以《几何画板》为平台，绘制反比例函数图像，同时辅之以“点跟踪”等手段，通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图像的变化趋势，抽象概括当自变量变化时，对应的函数值的变化规律，进而探究反比例函数的图像的特征。

5.教学过程的设计。

（1）第一环节――自学。这一阶段包括师生共同确定自学目标、任务和要求，学生自主学习。教师设计问题串，把知识中的基本概念、原理、方法和过程渗透其中，以问题驱动学生的“自主学习”，学生在自学时，初通生疑，为下一环节的互学作足准备。

第一，创设情境，引入新知。

问题1：请你回忆一次函数的图像的绘制过程和图像具有的性质（以一次函数y=-2x+1为例。）

问题2：上一节课，我们学习了反比例函数的概念，它有哪些形式？接下去应该学习什么？（板书课题：反比例函数的图像）

【设计意图】通过复习一次函数的图像和性质，帮助学生构建研究函数图像的基本方法是列表、描点和连线，研究函数的图像一般是从形状、位置、变化趋势3个方面去研究，为研究反比例函数的图像和性质做好铺垫。

第二，揭示目标，明确任务。

（多媒体展示学习目标）

第三，由数想形，初探新知。

问题3：反比例函数的图像是什么样的？请你根据反比例函数表达式y=-，猜一猜这个函数的图像具有哪些特征。试结合下列问题来说明：

①x、y的值可以为0吗？这个函数的图像与x轴、y轴有交点吗？

②x、y所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？

③当x>0时，随着x的增大，y怎样变化？当x

④你能根据反比例的解析式，大胆猜想并画出反比例函数图像的轮廓吗？

【设计意图】由于反比函数y=-的图像是曲线型的，又分成两支，学生第一次接触有一定的难度，因此设计“由数想形”的思考活动，让学生独立自主探究，再进行小组或大组交流，初步估计图形的基本概貌，从而获得自主探究未知函数的性质与图像时又一种方法。

（2）第二环节――互学。这一阶段包括师生共同呈现问题、交流问题、讨论问题、解决问题、检测问题。

第一，描点画图，再探新知。

问题4：请你在助学稿上画出函数y=-的图像，比谁画得既快又准确！

【设计意图】图像是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图像的基本步骤，可以使学生对反比例函数有了进一步的感性认识。教师引导学生自主经历列表、描点、连线的过程中，关注几个细节的引导、点拨和追问。列表时，自变量x的取值要注意在取值范围内（x≠0）、要有代表性（兼顾正、负数）和大小要适度（描点时好操作）；描点时，一般情况下，所选的点越多图像越精确；连线时，引导学生要按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线必须是光滑的。注意曲线的两支是分开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但不会与坐标轴相交，从而得到反比例函数的图像。

第二，合作交流，三探新知。（展示学生画图中常见的两种图形，抛出问题5，引发学生深层的思考和交流）

问题5：在用描点法画函数y=-的图像时，相邻两个点之间的部分图像是如图1所示的直线型，还是如图2所示的曲线型？你是如何验证的？

【设计意图】“连线”时，由于一次函数图像是一条直线，容易使学生产生认知上的负迁移，从而把双曲线画成折线型。因此，探究相邻两点之间的图像的形状既是反比例函数图像探究的重点也是难点。通过展示学生的中的两类作品，引发学生思考、讨论、交流，再通过几何画板演示反比例函数图像的生成过程，让学生感受“曲线”的形状和延伸趋势，加深对反比例函数的图像的认识和理解。

问题6：观察反比例函数函数y=-的图像，有哪些特征？

【设计意图】通过类比一次函数，引导学生观察图像的形状、位置、变化趋势，感受“形”的特征，归纳说出反比例函数函数y=-图像的形状、位置、变化趋势及函数的增减性。感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生从形的角度对反比例函数的图像和性质形成初步的印象，与问题3前后呼应，使学生初步感受研究函数图像问题的思想方法，即“以数想形”和“以形助数”。

第三，对比探究，深化新知。

问题7：是不是所有的反比例函数的图像都具有这样的特征呢？请同学们根据反比例函数函数y=--的表达式，说出它的图像具有的特征，并在图中画出它的图像。

【设计意图】通过再次画出反比例函数的图像，帮助学生巩固前面已获得的作图经验，提高学生利用描点法画出函数图像的能力。同时，在总结、说出反比例函数的图像特征的过程中，增强学生对图像的观察、感知、分析、概括的能力。

问题8：反比例函数y=--与y=-的图像有哪些共同特征？有哪些不同点？是由什么决定的？

【设计意图】教师引导学生观察、总结这两个反比例函数图像的特征，关注反比例系数“k”的作用。在活动中，让学生积极探究新知、发现新知，为下一节课探究反比例函数的图像的性质做好铺垫。

（3）第三环节――归纳。这一阶段包括师生归纳小结、整理、反思、应用、拓展。在教师的引导下学生自我归纳，完善自学、互学时建构的知识体系，形成方法体系，进行整理反思，内化升华。

第一，巩固提高，应用新知。

请你画出反比例函数y=-、y=--的图像

【设计意图】通过学生自主画出两个反比例函数图像的练习，实现知识向能力的转化。

第二，归纳反思，完善新知。

问题9：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？有哪些收获？（请在组内交流你的收获，每位同学至少说一条，并把你认为重要的在书上标出来）。

【设计意图】教师引导学生梳理、概括、归纳本节课主要的学习内容，建构知识体系，使学生对反比例函数的图像和性质有一个较为整体、全面的认识，体验从一次函数到反比例函数的类比的学习方法、从特殊到一般的具体研究思路以及研究函数的数形结合的思想等，使学生对知识、技能、思想方法的总结融为一体，使思想方法有了载体，知识技能有了灵魂。

第三，拓展延伸，活化新知。

问题10：课后，请同学们根据反比例函数函数y=-的表达式，说出它的图像具有的特征，并画出它的图像。

【设计意图】通过设置有一定思维价值的课后思考题，促进学生开动脑筋，积极思维，展开丰富的联想，深化理解数学知识，体验和感悟数学思想方法，形成探索的意识、思考的习惯，使学生的创新能力和实践能力得到发展。

三、教后反思

笔者运用《反比例函数的图像和性质（第一课时）》教学设计方案在这次选拔赛中进行了尝试，取得了良好效果。这节课的教学既关注了数学活动的结果（反比例函数的图像的画法和性质），也关注了数学结果的形成、发展与应用的过程及蕴涵的数学思想方法（数形结合、类比等），能使学生在“过程”中理解反比例函数的图像的本质特征，掌握根据反比例函数的解析式和描点画图探究其图像特征的研究方法，体会以数想形、以形助数的数形结合的思想方法，获得数量分析（定量分析）和画图探究（定性分析）解决问题的经验，通过组织学生观察、操作、猜想、学习和体验活动，让知识内化、让理解深入、让学习发生，整个过程充分体现了“学生自主学习”与“教师必要指导”的相互渗透和互相促进的理念，但也存在一些问题，具体体现在以下几点。

1. 学为中心是“两学一归纳”课堂教学模式的核心理念。在实际授课过程中，笔者努力尝试问题让学生提，方法让学生悟，思路让学生讲，错误让学生析。在学生自学的基础上，以出现的问题为课堂教学的起点，以学定教；努力组织学生进行互学，让学生的思维动起来，拓展思维空间，提升思维高度，培育创新思维；整个教学过程，突出学生的主体地位，使学生真正成为“学习的主人”，主要表现在以下两个方面。

一是培养学生自主学习的能力。如在“由数想形，初探新知”这一环节，学生主要困难是不知道如何去探究，不知道如何确定思考的方向，这时，笔者通过设计一些提示性的问题，引导学生积极开展数学思维活动，帮助学生弄清前进的方向。针对不同的问题，学生采用不同的数学活动，形成多样化的学习方式，真正把课堂还给了学生，改变了传统数学教学中教师主宰课堂的局面。

二是培养学生交流合作的意识。如在“描点画图，再探新知”这一环节，笔者抛出了这样一个问题“在用描点法画函数y=-的图像时，相邻两个点之间的部分图像是如图1所示的直线型，还是如图2所示的曲线型？你是如何验证的？”引导小组讨进行合作交流，比哪一个小组先想到解决问题的方法。学生争先恐后到讲台上进行展示，其中一个学生说：“假设两点之间的部分是线段，取其中点，该点的坐标不满足反比例函数的解析式，所以两点之间的部分不是直线型，一定是曲线型。”另一个学生说：“假设在描点（1，6）、（2，3）、（3，2）时，中间的点（2，3）没有描出，如果两点之间的部分是直线型，那么点（2，3）显然不在经过点（1，6）和（3，2）的直线上。”像这样，让学生去体验、去发现、去探索、去争论、去交流，激发灵感、催生灵性，提高学生的自主合作意识。

但是本节课中也有几处不如人意的地方：在开始的自主学习这一环节，部分学生不能主动学习，成了“陪学生”；在合作交流时，部分学生不能积极参与，成了“陪听生”；最后，归纳提高时，部分学生不能完整建构，成了“陪思生”，这些现象的背后深层的原因值得思考。

2.科学建组是“两学一归纳”课堂教学模式的组织基础。由于笔者是异地借班上课，课前又不允许接触学生，所以在上课前，笔者快速地以前后两排组成4人小组，但具体分工和评价制度未建立好，所以无论是自主学习还是合作学习，大部分学生不敢展示或者不会展示，团队精神、合作意识不强。因此，科学的学习小组，是课堂开展自主学习的保证。我们遵循“组内异质，组间同质”的原则建立“异质型合作小组”为主要合作方式，以5到6人为宜。同时可以根据上课的内容、学生的特点考虑选用“同质型合作小组、异同混合型合作小组、自由组合型合作小组、随机组合型合作小组”作为补充。建立小组捆绑评价机制，使个人荣誉与集体荣誉紧密联系，培养良好的交互研讨习惯，有效保障学习小组的长效发展。

3.问题驱动是“两学一归纳”课堂教学模式的重要手段。问题是数学的心脏，也是思维活动的起点。教学活动中需要组织学生进行自主学习、合作交流、归纳提升，对学生的能力有较高的要求，而初中生在这方面的能力和经验还比较欠缺，因此可以设计问题串唤醒自主意识，引发学生思考，提高课堂自主度。引入的问题要具有“启发性”，应当能够真正起到引导学生的作用；追问的问题要具有“探究性”，应当有助于学生更好地把握相关知识的核心，或者有助于学生通过问题的思考逐步学会数学地思维；设计的问题要具有“可接受性”，也即应当善于将数学知识由原来的“学术形态”转化为适宜学生学习的“教育形态”，通过问题来驱动学习，往往是实现夯实知识基础、揭示本质特征、提炼数学方法、提升思维水平的有效手段。

4.“两学一归纳”课堂教学模式是一个循序渐进的发展的过程。初期――“扶着学”，学生需要在教师的示范引领下进行学习，即由教师提出探究目标、进行学习指导、组织自学、互学、归纳，学生按老师“指令”一步一步进行学习。中期――“引着学”，学生在教师的组织下，彼此之间通过互动、研讨而进行学习。即学生在教师成功引领下，学会了一定的学习方法后，合作确定学习目标、学习策略、训练内容，最终按研讨确定的“指令”进行学习。后期――自主学”，学生个体在教师的组织下按照“两学一归纳”的思想与实质进行的自由自在的学习。即学生个体根据已获得的知识与形成的能力，自定学习目标、学习策略、训练内容，按自己确定的“指令”进行学习，达到了叶圣陶先生所讲“教，是为了不教”的境界，这是学生学习的高级阶段。

经过多年的探索实践，我们深深地感到“两学一归纳”课堂教学这一模式，遵循课堂时间以学生为主，问题探究以学生为主，操作实践以学生为主，总结提炼以学生为主的原则，倡导给学生一些权利，让他们自己去选择；给学生一些机会，让他们自己去体会；给学生一点困难，让他们自己去解决；给学生一个问题，让他们自己去找答案；给学生一种条件，让他们自己去锻炼；给学生一片空间，让他们自己去探索。充分关注了课堂上学生的需求，把课堂还给了学生，让课堂充满了活力，教会了学生观察、分析、概括、提炼的能力，培养了学生的问题意识、归纳建构的意识，真正体现学生是学习和发展的主体这一宗旨。我们觉得，“两学一归纳”的课堂教学模式的研究没有终点，永远行走在路上，唯有依靠学生、促进学生发展的“学”，才是最有智慧的学法；唯有生长于课堂、源于教师真实感悟的“教”，才是最有智慧的教法。

参考文献：

[1] 曾军良.“魅力课堂”助推生命成长[J].人民教育，2014，（5）：66-67.

[2] 郑毓信.关于“以学为中心”的若干思考[J].初中数学教与学，2014，（4）：1-7.

反比例函数的应用篇8

关键词：反比例函数　教学设计　改进

反比例函数是初中数学的重点内容之一，从教学要求看，一是理解反比例函数的定义，二是掌握反比例函数的图像与性质。在公开教学中我对反比例函数教学设计的引入提出了三处改进。

反比例函数引入的改进：

一、原始设计

1、复习旧知:

在小学里，我们已经知道，如果两个量x、y满足xy=k（k为常数，k≠0），那么x、y就成反比例关系。例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt=s，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比例关系。

汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化。

问题：① 你能用含有v的代数式表示t吗？

② 利用（1）的关系式完成下表：（表略）

随着速度的变化，全程所用时间发生了怎样的变化？

二、改进设计

用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：

（1）一个面积为6400m2的长方形，长a（m）随宽b（m）的变化而变化。

（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化。

（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需的时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化。

（4）实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化。

问题：

（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？

（2）它们有一些什么特征？

（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？

一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。

反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

［说明］这个情境先引导学生审题列出函数关系式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，进而发现特征为：（1）自变量x位于分母，且其次数是1；（2）常量k≠0；（3）自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）函数值y的取值范围是非零实数。然后引导归纳出反比例函数的概念，紧抓概念中的关键词，使学生对知识认知有系统性、完整性。在概念揭示后要强调反比例函数也可表示为y＝kx-1（k为常数，k≠0）的形式，并结合旧知验证其正确性。

三、教学反思