谈正确区分正比例和反比例的关系

【摘 要】正比例和反比例这部分内容学生在学习过程中,尤其是在练习时,往往容易弄错,混淆两者之间的关系。因此,正确区分正比例和反比例之间的关系,是非常必要的。

【关键词】正比例 反比例 关系

小学六年级的学生在学习正比例和反比例这部分内容时,尤其是在练习过程中容易混淆不清,经常弄错。下面,本文从不同的角度帮助他们正确区分这两者的关系,希望对他们的学习会有所帮助。

一、正确认识两者的意义

正比例和反比例的意义教材中是安排在从P39到P47来进行叙述讲解的,且都是通过对实验中的数据进行分析之后概括得出的结论,这样学生相对易于接受。

1.正比例的意义:教材中的表述是“两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。”

2.反比例的意义:教材中的表述是“两种相关联的量,一种量变化,另种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。”

二、 正比例和反比例的表达式

(一)正比例关系的表达式

如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系可以用下面的关系式来表示:

y/x=k(一定)或y =kx(k一定)

(二) 反比例关系的表达式

如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的乘积(一定),反比例关系可以用下面的关系式来表示:

X×y=k(k一定)或y=kx(k一定)

三、正比例和反比例的规律及实质

1.正比例关系中两种相关联的量的变化规律。正比例关系中两种相关联的量的变化规律是:同时扩大,同时缩小,比值(或商)不变。

例如:汽车每小时行驶的速度一定,所行的路程和所用的时间是否成正比例?

完成该题练习时,可以先写出路程、速度和时间三者之间的关系式:速度=路程/时间,已知条件中速度为一定(即常量),根据“速度=路程/时间”这一关系式,结合正比例的意义,即可知道所行的路程和所用的时间是成正比例关系的。也就是说,当速度一定时,走的路程越多,所花费的时间也越多,反之,亦然。换句话说,路程和时间是成倍增长或缩小的。

2.反比例关系的两种相关联的量的变化规律

反比例关系的两种相关联的量的变化规律是:一种量扩大,另一种量缩小,一种量缩而另一种量则扩大,积不变。

例如:当图上距离一定时,实际距离和比例尺是否成反比例? 因为实际距离×比例尺=图上距离(一定) ,所以,实际距离和比例尺是成反比例的。

四、正比例和反比例的异同点

(一)正比例和反比例的相同点

1.在事物关系中都包含有三个量,即有两个变量和一个常量(即定值)。

2.在相关联的两个变量中,当一个变量发生变化时(扩大或缩小),则另一个变量也随之发生变化。

3.它们相对应的两个变量的积或商都是一定的(即常量)。

也就是说,在正比例和反比例的两个相关联的变量中,均是一个量变化,另一个量也随之变化。并且变化方式均属于扩大(乘以一个数)或缩小(除以一个数)若干倍的变化。

(二)正比例和反比例的不同点

1.正比例的定量(或定值)是两个变量中相对应的两个数(即变量)的比值(或商)。反比例的定量是两个变量中相对应的两个数的积。

2.当用图象来表示正比例或反比例中两个变量之间的关系时,所画出来的图象是不一样的。正比例的图象是一条倾斜的直线(又叫斜线)。反比例的图象是一条曲线,且两端永远不会与两条轴线(即横轴和纵轴或函数中所称的x轴和y轴)相交。

(三)正比例、反比例之间可以相互转化

当正比例中的x值(自变量的值)转化为它的倒数时,由正比例转化为反比例;当反比例中的x值(自变量的值)也转化为它的倒数时,则由反比例转化为正比例。

需要说明的是,教科书中在“正比例和反比例的意义”的讲解中,并没有指出正比例和反比例关系表达式中常量和变量的取值范围。根据正比例的关系式y/x=k(一定)和反比例的关系X×y=k(k一定)可以知道,无论是正比例还是反比例,两个变量x、y和常量k均不能为零。试想,在正比例y/x=k(一定)中,如果x为0,式子无意义;如果y为0,x不为0,则x的值是不确定的(这时候k的值为0),此时x和y就不存在正比例的说法了。同样,在反比例X×y=k(k一定)中,如果x和y两个变量中,只要其中一个为0或两个都同时为0,则k的值都为0,x和y也无所谓反比例关系了。再说,如果x和y同时为0的话,那么x和y也不叫变量了,都不符合反比例的意义。所以,无论是正比例关系,还是反比例关系中,两个变量x和y以及常量k都不能为0。

因此,当正比例或反比例关系中其中一个变量用字母表示时,要求我们通过讨论确定另一个变量的取值范围的时候,我们就要注意正比例或反比例关系中两个变量的取值绝对不能为零,否则,就失去意义了。

【参考文献】

1.卢江、杨刚主编,义务教育课程标准实验教科书小学六年级《数学》下册[S],人民教育出版社出版。

2.谢鼓平主编,小学六年级数学《教案与设计》[S],新疆青少年出版社出版。

3.《贵州教育》[J]2012年第3-4期合订本第65页中《小学数学毕业复习建议》(王艳)