以反比例函数为例谈数学思维的培养

在中小学教育科研领域，课堂教学研究有着特殊的重要性。课堂教学是素质教育的主渠道，也是教育改革的原点。要摆脱教师“高投入，低产出”的局面，在数学教学中就要采取以学生为主体，教师主导课堂教学的教学方法，对学生进行数学思维训练，让学生养成良好的思维习惯，对数学不再产生“惧怕”。笔者结合自己的教学实践，就如何在数学教学过程中培养字生的数学思维谈几点看法。

一、营造有利的教学环境

情境具有强烈的吸引力，对培养学生的数学思维及创造能力有着至关重要的作用。要形成学生主动学习、积极动脑、踊跃参与的课堂教学氛围，教师就必须深入研究教材，突出学生的主体地位，尊重学生的不同观点，鼓励学生想象、质疑甚至标新立异，给予每位学生发表自己见解的机会，最大限度地消除学生的心理障碍。

如讲到“反比例函数的图像上有点A（3，2），求k的值”时，学生通过代入计算，可以求出k的值。如果教师停留在此不再深入讲解求解的技巧，对下面的反比例函数图像中关于面积的题目的讲解起不到帮助作用。所以可以提问：如果A坐标改为（，），赛一赛谁能最快求出k的值？引导学生探索，最终得出：用去分母的办法可得xy=k，即只要是反比例函数图像上的点（x，y），都满足k=xy。

要求学生充分利用这个等式，接下来就可以出题，如：

若反比例函数的图像过点（2，5），则点（ ）也在这个反比例函数的图像上。

A.（10，-1） B.（5，2） C.（1，13） D.（2，-5）

有了上面的引入，这题无需求m的值，即可选出答案B。

二、充分揭示数学思维过程

在反比例函数图像上的点，满足xy=k，在平面直角坐标系的第一象限中可随便描几个在同一反比例函数图像上的点，如图1所示。

图1 图2

在描点的过程中，学生可以看出点A（a，b），B（s，t），ab=k，st=k，就是两个矩形的面积。如果把矩形的一条过原点的对角线连接（如图2所示），则可发现SAOD =SAOE =SBOC =SBOF=。进而让学生考虑：如果画在其他象限内的点，是否也有如上的规律？如果把这条对角线与双曲线的另一支交点也画出，那么这条直线和双曲线构成的是什么图形？这个结论对以后的解题是否有帮助？

教学中引导学生运用逻辑思维、形象思维以及直觉思维等多种思维方式，使题目中的相关信息有序化，通过学生的自主思考产生积极的效果或成果，这种创造性思维能力是正常人通过后天的思考、培养就可以具备的。

三、精选练习，紧扣重点

要培养学生的数学思维能力，教学中就必须采用开放式的教学方法，充分揭示解题的思维过程。因为学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的成果，但是学生作为学习的主体处于再发现的地位，学习活动本质上仍然具有发现和创造的性质，因此解题的思维过程比题目答案本身更应值得重视。

如图3所示，直线l和双曲线（k>0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连接OA，OB，OP，设SAOC=S1，SBOD=S2，SPOE=S3，试比较S1，S2，S3的大小： 。

解答：经过上面知识的学习，如图4所示，因为点A、B在双曲线上，所以S1=S2=。而点P不在反比例函数的图像上，所以S3≠，设PE与双曲线交点为F，连接OF，SOEF=。所以S3>，答案是S1=S2

图3 图4 图5

如图5所示，正比例函数y=x与反比例函数的图像交于A、C两点，ABx轴于B，CDx轴于D，则ABCD的面积= 。

分析：由上面的讨论，直线、双曲线都是中心对称图形，如果一条经过原点的直线和双曲线相交则还是构成中心对称图形，因此A、C两点关于原点成中心对称，即AB与CD平行且相等，则四边形ABCD为平行四边形，那么对角线AC、BD则把ABCD面积四等分。

解答：SABCD是4个AOB的面积，SAOB==，答案是4×=2。

著名德国数学家希尔伯特在哥廷根大学任教时，常常在课堂上即兴提出一些新的数学问题，并立即着手解决。虽然他并非每次都能得到圆满的解答，甚至有时把自己“挂”在黑板上，但他发现的思维过程却使学生受益匪浅。我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中，也一向重视概念产生、命题形成及思路获得的思维过程的教学，并着意回答学生提出的“你是怎样想出来的”一类问题。这些事例充分说明了展现数学思维过程对于培养学生数学思维的重要作用。

四、激发学生的好奇心、求知欲

李政道说：“好奇心很重要，有了好奇心，才敢提出问题。”教师最重要的一项职责就在于，要把学生的好奇心引导到探求科学知识上去，使这种好奇心升华为求知欲，从而激发学生自主学习的积极性。

经过上面几道求面积的题目训练后，对于下面几题，学生们应该跃跃欲试了。

图6

如图6所示，在反比例函数（x>0）的图像上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4。分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3= 。

解答：可利用面积割补法，把S1，S2，S3放到由P1与x、y轴构成的矩形中，而由P4与x、y轴构成的矩形被四等分，得出S1+S2+S3=SAP1BO=2-0.5=1.5。

如图7所示，两个反比例函数和（其中k1>k2>0）在第一象限内的图像依次是C1和C2，设点P在C1上，PCx轴于点C，交C2于点A，PDy轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为_________。

图7

解答：构成的阴影部分面积，正好是矩形面积减去两个直角三角形面积，即k1-k2。

教学过程中，只有通过选择和安排合理的、有引导性的问题，才能不断激发学生的好奇心与求知欲。一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦，奏出一曲耐人寻味，甚至波澜起伏的大合唱。因此善问是数学教师的基本功，也是所有数学教育家十分重视并长期研究的一项课题。

五、结束语

数学教学中只有培养学生的“爱学”态度、“乐学”情绪、“会学”技巧、“自学”能力，突出“优化思维品质，培养思维能力”，开阔视野，理论联系实际，培养解决问题能力，才能使学生更适应社会发展。

参考文献

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