浅谈焦点三角形的面积公式及其应用

解析几何中的“焦点三角形”是指椭圆或双曲线上的动点与两焦点构成的三角形，与此有关的题型变化多端、灵活性大，有一定的难度，并且每年数学高考题中常有其“影子”，本文仅对焦点三角形的面积公式及其有关应用作如下探析，供同学们学习时参考。

一. 焦点三角形的面积

1、公式一：

①若P是椭圆上一点,F1、F2分别为焦点, 设∠F1PF2=θ,则F1PF2的面积S=b2tan。

②若P是双曲线上一点,F1、F2分别为焦点,设∠F1PF2=θ,则F1PF2的面积S=b2cot。

(其中b为短(或虚)半轴长)

下面仅对公式②进行证明，公式①请仿此证明。

证明：由双曲线的定义有 |PF1|-|PF2|=±2a,在PF1PF2中，由余弦定理有4c2=|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ,对定义式平方，|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|=4a2，由两式解出关系：

4c2=4a2+2|PF1||PF2|=4a2，即：4c2=4a2+2|PF1||PF2|(1-cosθ)， S=|PF1||PF2|sinθ=b2，S=b2cot。

评：本题证明用了双曲线第一定义，余弦定理，三角形的面积公式这些知识点，要求掌握推导过程。

2、公式二：

若P是椭圆（或双曲线）上一点, F1、F2分别为焦点,则F1PF2 的面积S=c|yp|。

(其中c为半焦距长，yp表示点P的纵坐标)

说明：公式二容易证明，当已知条件中有角∠F1PF2时或与之相关时，选用公式一，当已知条件中能求出直线PF1或PF2的方程时，选用公式二，且两公式常一起运用。

二、焦点三角形面积公式的应用

1、求焦点三角形的面积

例：若F1和F2为双曲线-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=，求F1PF2面积。

解析：由焦点三角形面积公式一：S=b2cot=1×cot=1。

2、求点P坐标

例：若P是双曲线x2-=1上的点，F1，F2是两焦点， PF1•PF2=0，则点P到x轴的距离为________ 。

解析：本题的实质是求点P的纵坐标， MF1•MF2=0，∠F1MF2=900，由焦点三角形面积公式：S=b2cot=c•|yp|， ，2cot450=|yp|h=|yp|= .

3、求双曲线方程或焦点三角形的边所在直线方程

例：已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为：x-2y=0，点P是双曲线上的一点，且PF1与PF2的夹角为60°，且SF1PF2=，则双曲线的方程为：_____.

解析：设双曲线的方程为：-y2=λ(λ>0)， SF1PF2=b2cot300=λcot300=λ=1，故所求双曲线的方程为：-y2=1。

4．求参数范围

例：设椭圆+y2=1的两个焦点是F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PF1和PF2互相垂直.求实数m的取值范围。

解析：由焦点三角形 S=b2tan450=c|y|，m>0,c= |y|=≤1实数m的取值范围为m≥1。

5．求离心率或其范围

例：设F1，F2是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，若椭圆上恒存在一点P，使得过∠F1PF2=90°，试求此椭圆离心率的取值范围。

解析：由焦点三角形 S=b2tan450=c|y|，b2=c|y|≤bc

b≤c， a2=b2+c2≤2c2+c2=3c2，e≥

故此椭圆离心率的取值范围为：≤e

6．求与焦三角形有关的最值

例：已知P是椭圆+=1上的一点，F1，F2是椭圆的两焦点，设k=|PF1||PF2|，则k的最大值与最小值之差为_______ .

解析：由焦点三角形公式：S=b2tan=b2=|PF1||PF2|sinθ，k=|PF1||PF2|==，设B为椭圆短轴的一端点，由sin∠OBF2==，∠OBF2=300，故∠F1BF2=2∠OBF2=600， 00≤θ≤600，kmin=3,kmax=4。

k的最大值与最小值之差为1.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文