二次轮换对称问题的最值求法

摘 要：二次轮换对称问题的最值必在变量相等时取得，由此可非常快捷地解答一些高考题。

关键词：二次轮换对称问题；最值；高考题

《中学数学教学参考》2012第5期刊出陈云烽老师《二次约束条件下的最值求法》，读后深受启发，只有当二次约束条件对应的图形是椭圆时，x，y才能在限定的区间内，px+qy才有最大值和最小值。 文章给出了此类问题形象的几何直观。

如限定二次约束条件为轮换对称式，要求的问题也是轮换对称的，我们把它简称为二次轮换对称问题。 其实这也是对2011浙江文科16题所做的一种一般化研究。二次轮换对称问题有如下非常简明的结论：

定理：设x，y∈R，a（x2+y2）+bxy+c（x+y）+d=0，要求x+y（或xy）的最值（当a=0，要求xy的最值，要求x，y∈R+），其最值必在x=y时取得。

下面给出上面结论的一个证明：

由高数知识，轮换对称式可由x+y和xy表示，其实约束条件通过配方后，显然可以用x+y和xy表示，设配方后的式子为e（x+y）2+fxy+g（x+y）+h=0，可不妨设e≥0。

1. 求x+y的最值

设t=xy，s=x+y，上述问题变为：设es2+ft+gs+h=0，求s的最值。

2. 求xy的最值

设es2+ft+gs+h=0，求t的最值。

若f=0，es2+gs+h=0，此时s为常数，t=xy≤

2，t有最大值，当且仅当x=y时取得最大值。

若f≠0，e>0时，t=-s2-s-，t有最值，当s=-时，取得最值，此时亦可看做x=y取得最值。

若f≠0，e=0时，t=-s-，≥，x，y∈R+，≥，通过放缩求最值，如有最值，最值必在等号时取得，即必有x=y。

综上，二次轮换对称问题“设x，y∈R，a（x2+y2）+bxy+c（x+y）+d=0，求x+y（或xy）的最值”（当a=0，求xy的最值，要求x，y∈R+）必在x=y时取得。

二次轮换对称问题高考中经常出现，有了上面结论，可以非常快捷地给出答案。

3. 结论的应用举例

例1 （1998年全国理科22题）已知a+ab+2b=30（a>0，b>0），则ab的最大值是_______。

解：条件不是轮换对称式：如令a=s，2b=t，则问题变为：已知s+st+t=30，则st最大值是多少？这就是轮换对称问题了。当s=t时，s=t=6，即a=6，b=3，ab的最大值为18。

例2 （2010浙江文科15题）若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是________。

解：令2x=s，y=t，上式变为s+t+6=st，则st的最小值是多少？这是一个轮换对称问题。 当s=t=6时取最小值，即x=3，y=6，xy的最小值是18。

例3 （2006年重庆理科10题）若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2，则2a+b+c的最小值为 （ ）

解：关于b，c的轮换对称问题，当b=c时取最小值，由条件b=c=-1-a，所以答案为D。

例4 （2011年浙江文科16题）设x，y∈R，x2+y2+xy=1，则x+y的最大值_____。

解：当x=y时，x=±，所以最大值为。

对应的理科高考16题：设x，y∈R，4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______。

只要设s=2x，t=y，上式变为：s，t∈R，s2+t2+=1，则s+t的最大值是多少？问题变为轮换对称，易知最大值为。