例谈区间二次函数的值域求法

摘 要：在对二次函数值域的实际考查或应用中，更多的是以区间二次函数的面目出现，而所谓的区间二次函数就是其函数表达式是某个二次函数，但其定义域不再是一般二次函数的定义域R，而只是其一个子区间，其根据定义域区间的类型可分为“单界型”和“双界型”，前者通法有“单调性法”“对称距法”“比较大小法”，而后者只能用“单调性法”。但不管是哪一个类型问题，还是哪一种解决方法，都必须从求对称轴以及判断对称轴与定义区间的关系入手，从而对问题的求解做出更精准的处理.

关键词：二次函数；区间二次函数；值域；值域求法

所谓的区间二次函数就是其函数表达式是某个二次函数，但其定义域不再是一般二次函数定义域R，而只是其一个子区间，其根据定义域区间的类型可分为“单界型”和“双界型”.

一、双界型区间二次函数及值域求法

1.概念

定义域区间既有上界又有下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数，称为双界型区间二次函数.

2.值域的求法

例1.求函数y=x2-4x+1，x∈[0，5]的值域.

解法1.对称轴为x=-■=2∈[0，5]，且有当x=2时，y=-3；当x=0时，y=1；当x=5时，y=6；

ymin=-3，ymax=6.

原函数的值域为[-3，6].

点评：当对称轴在定义区间上时，函数有三个关键点，即顶点和两个区间端点，这三个关键点的函数值中最大者一定是函数的最大值，最小者一定是函数的最小值，因此，可以利用已知函数的解析式直接求出三个关键点的函数值，然后比较大小，求出两个极值（最大值和最小值），进而确定值域，此种方法可称为比较大小法，是求双界型区间二次函数值域的有效通法。

解法2.对称轴为x=-■=2∈[0，5]，

原函数在[0，5]上的值域和在[2，5]上的值域是相同的.

又a=1>0，

y在[2，5]上为单调递增函数.

当x=2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6.

原函数的值域为[-3，6].

点评：一般来说，若二次函数的对称轴x0∈[a，b]，此时函数在定义区间不是单调函数，但其值域等价于在单调区间[x0，c]（其中c为a、b中的较大者）上的值域，于是可利用函数的单调性来求解问题，这种办法不妨称之为“单调性法”，也是求双界型区间二次函数值域的一种有效方法.

解法3：对称轴为x=-■=2，

5-2>2-0>2-2.

当x=2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6.

原函数的值域为[-3，6].

点评：一般的，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）而言，有当a>0时，离对称轴越远函数值越大；当a

例2.求函数y=-t2+4t+2的值域，其中t∈[-1，1].

解法1.对称轴t=-■=2■[-1，1]，且a=-1

y在[-1，1]上单调递增.

当t=-1时，ymin=-3；当t=1时，ymax=5.

原函数的值域为[-3，5].

点评：这里用了“单调性法”，但是直接使用而不需要先等价转化.

解法2.对称轴t=-■=2■[-1，1]，且当t=-1时，y=-3；当t=1时，y=5.

ymin=-3，ymax=5.

原函数的值域为[-3，5].

点评：这里用了“比较大小法”，但无需顶点参与.

解法3.对称轴t=-■=2■[-1，1]，且-1-2>1-2，

当t=-1时，ymin=-3；当t=1时，ymax=5.

原函数的值域为[-3，5].

点评：这里用了“对称距法”，但无需顶点参与.

小结：

（1）双界型区间二次函数的值域问题可分为两种类型：一种是对称轴属于定义区间，另一种是对称轴不属于定义区间.

（2）双界型区间二次函数值域的求解有三种通法，分别是“单调性法”“对称距法”“比较大小法”.但不管哪一种方法都是从求对称轴和判断对称轴与定义区间的关系入手，以便确定顶点是否参与比较.

（3）双界型区间二次函数的值域也一定是双界型区间.

二、单界型区间二次函数及值域求法

1.概念

定义域区间只有上界或下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数，称为单界型区间二次函数.

2.值域的求法

例3.求函数y=x2-2x-3，x∈（-∞，-1]的值域.

解：对称轴x=-■=1■（-∞，-1]，且a=1>0，

y在（-∞，-1]上为单调递减函数.

y≥（-1）2-2・（-1）-3=0.

函数值域为[0，+∞）.

点评：一般来说，若二次函数对称轴x0■[a，+∞）（或（-∞，a]）时，此时函数在定义区间是单调函数，于是可直接用“单调性法”来求解问题.

例4.求函数y=3+2x-x2，x∈（-∞，3]的值域.

解：对称轴=-■=1∈（-1，3]，

原函数在（-∞，3]上的值域和在（-∞，1]上的值域是相同的.

a=-1

y在（-∞，1]上为单调递增函数.

y≤3+2・1-12=4.

函数值域为（-∞，4].

点评：一般来说，若二次函数对称轴x0∈[a，+∞）（或（-∞，a]）时，此时函数在定义区间不是单调函数，但其值域等价于在单调区间[x0，+∞）（或（-∞，x0]）上的值域，于是可用“单调性法”来求解问题.

小结：

（1）单界型区间二次函数值域问题可分为两种类型：一种是对称轴属于定义区间，另一种是对称轴不属于定义区间.

（2）单界型区间二次函数值域的求法，只有“单调性法”，同样必须从求对称轴和判断对称轴与定义区间的关系入手，以便确定是直接使用单调性求解，还是等价转化后再利用单调性求解.

（3）单界型区间二次函数值域也一定是单界型区间.

（作者单位 陕西省渭南白水中学）