引领学生思维向纵深发展

【教学片段】

这是一节关于“圆的面积”计算的练习课，在基本练习之后，教师依次出示一组练习题课件。

1.一张正方形纸的边长是10厘米，把这张纸剪成一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？（如下图所示）

2.一张正方形纸的面积是144平方厘米，把这张纸剪成一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？

3.一张正方形纸的面积是80平方厘米，把这张纸剪成一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？

学生对第1题都能用常规的方法解答。

师：谁能说说第1题的解题思路与方法？

生：这个圆的面积是3.14×（）?=3.14×25=78.5（平方厘米）。我是这样想的：要求圆的面积必须知道圆的半径，正方形的边长与圆的直径相等，先用正方形的边长除以2算出圆的半径，然后再运用公式算出圆的面积。

第2题按照一般的解法，需要知道正方形的边长，可是题目中提供的是正方形的面积。虽然144是一个完全平方数，但是对于学生来说却也不容易凑出，学生的思维受阻。这时，教师进行了提示。

师：正方形的面积是144平方厘米，你能算出它的边长吗？

生：正方形的面积是144平方厘米，144等于一个数的平方。

生：也就是144是两个相同数的乘积。

生：我用了凑数法，10×10=100，11×11=121，12×12=144，所以这个正方形的边长是12厘米。

生：我用了分解质因数法：144=2×2×2×2×3×3，所以144=12×12，这个正方形的边长是12厘米。

有了正方形的边长，学生很快地解决了第二个问题，圆的面积是3.14×（）?=3.14×36=113.04（平方厘米）。

有了第2题的解题经验，学生认为第3题只要根据正方形的面积找出正方形的边长就可以了。可是80并不是一个完全平方数，用凑的方法是凑不出正方形的边长了，学生陷入了思维的困境。

这时教师适时点拨：是啊，80不是一个完全平方数，用我们现有的方法求不出正方形的边长是多少。那么如果不求出正方形的边长，能求出圆的面积吗？

经小组讨论交流，学生渐渐有了自己的想法。

组1：我们组是这样想的，设圆的半径是r，那么这个圆的面积是3.14r?；正方形的边长是圆的直径，也就是2r，所以正方形面积是4r?，由此可以知道圆的面积是正方形的。圆的面积就等于正方形的面积乘，圆的面积=80×=62.8（平方厘米）。

组2：我们组是这样想的，设正方形的边长是a，那么圆的半径是，正方形的面积是a?，圆的面积是3.14×（）?=a?，因为正方形的面积是80平方厘米，所以圆的面积是80×=62.8（平方厘米）。

师：你们两个小组真棒，用字母表示正方形的边长和圆的半径，找出了它们与面积之间的关系，也就能求出圆的面积。如果正方形的面积是200平方厘米，你能算出圆的面积吗？正方形的面积是a平方厘米，圆的面积是多少呢？

学生发现，这里的圆的面积其实就是正方形面积的。

【反思】

小学生学习数学和解决数学问题的过程，是思维活动的过程，更是促进其思维发展的过程。在上述片段里，层层递进的题组设计，不断打破平衡的思维冲突，在教师的点拨下不断提升了学生的思维品质。

一、打破平衡，激活学生的数学思维

在进行了一定量的常规练习后，学生对圆周长的计算方法已基本掌握并形成了一定的技能，如果再继续做一些常规性的练习，其作用也只能是机械重复，学生的思维只能停留在原有的认知层面上，甚至对练习失去兴趣。因此只有打破学生已有的平衡，让学生在对富有挑战性的问题的思考中不断建立平衡。

第一个问题无疑是基本的问题，学生根据已有的圆的面积公式就能较容易地求出，此时虽然圆的半径没有直接给出，但是示意图中的正方形的边长是学生寻求平衡的拐杖；第二个问题出现时，打破了学生已有的平衡，根据第1题的经验，要先求出正方形的边长，学生根据正方形的面积是144平方厘米，运用列举、分解质因数等方法求出正方形的面积，实现了平衡；对于第三个问题，学生根据已有的知识不能求出正方形的边长，又一次打破了平衡。这时圆的面积该怎样求呢？学生在分组讨论、交流中，借助字母再次实现了平衡，发现根据正方形与圆的面积关系同样可以求出圆的面积。

这三个问题的层次是不一样的，在层层深入的思考中，不断激发学生的思考热情，激活了学生的思维。

二、建构模型，提升学生的思维品质

练习的终极目标不是就题讲题，学生会做题不一定就完成了教学任务。数学练习的关键是看学生的思维品质是否得到提升。上述片段中，教师不满足于解题，还渗透着数学模型的思想，帮助学生在解题过程中实现知识模型的建构。

教师借助题组训练，改动题中数据，从特殊（完全平方数）到一般（非完全平方数），让学生通过观察、分析发现了圆面积与正方形面积之间的关系，成功建立起数学模型。在建立数学模型后，教师又在此基础上稍作修改，促使学生运用数学模型解决实际问题，此举大大提高了学生建立数学模型、应用数学模型的自觉性和主动性，从而发展了学生的数学思维，提高了学生的数学能力。

纵观整个学习过程，学生经历了从简单到复杂的学习过程，经历了逐层抽象，运用列举、推理等方法建立了数学模型，利用模型解决问题的过程，在解题过程中提升了思维品质。

三、适时启发，引领思维向纵深发展

由于学生的知识水平和阅历都有限，在多数情况下学生的思维不可能自发地得到提升和完善。在他们学习困惑处，似懂非懂、欲言难言时，恰恰最需要教师的启发。

在上述片段中，第1题，无疑是解决圆的面积的基础，然而在第2题出现时，学生出现了困惑，教师给出了提示：“你能算出正方形的边长吗？”在第3题学生无法找寻出正方形的边长时，教师适时提示：“那么如果不求出正方形的边长，可以求出圆的面积吗？” 随着条件的变化，在学生越来越觉得根据正方形的面积求不出边长时，教师适当的点拨，激起了学生强烈的探究欲望。在学生用字母假设正方形的边长或圆的半径后，发现了这类问题中圆的面积与正方形面积之间的关系。

这些有价值的引领，引导学生冷静思考。如果没有教师的启发，学生的推理与想象、概括与发现怎么可能自发地产生？发展学生的思维也就成了一句空话。在教师有目的的引导下，学生的思维一步步走向深入。

（浙江省杭州市余杭区育才实验小学 311100）