培养职高学生数学思维品质的教学探讨

思维是人类大脑的一种高级而又极其复杂的运动，它是大脑对外界事物的反映和信息加工。可以说，人类的一切创造性的活动，都离不开思维。职高学生在思考问题时思路经常打不开，只顾围着教师和书本转，解题生搬硬套，还容易出错，长此下去必然造成思维的定势状态，这对培养学生的思维能力会带来很大的消极作用。

通过教学，教师要引导学生的思维由封闭状态逐步转化到开放状态，使学生不仅能研究问题的本身，还能研究有关的其他问题。应当提倡立体思维，也就是多角度、多层次的思维，引导学生思考问题应当多方面地进行，如此既可开阔学生的思路，又可使学生得到新的启发。下面笔者结合教学实践谈谈培养职高学生思维品质的几点看法和体会。

一、一题多解

例1：如图，已知?荀ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，试将向量 用 和 表示。

解法一：由于 处于AEF中， = - 。

又由于 处于ADF中，

处于ABE中，

= + ， = + 。

所以 =（ + ）-（ + ）=（ +）-（ +）= （ - ）

这种方法是直接根据图中箭头的暗示得出的，解完后可让学生进一步思考 还处于哪个三角形中，引导学生重新画图解题。

解法二： 还处于CEF中，

例2：在20件产品中，有16件合格品，从中任取3件，其中至少有一件为次品的概率是多少？

解法一：正面思维。

设从20件产品中任取3件，其中至少有一件为次品为事件A，则至少有一件为次品的概率为P(A)= = 。

解法二：逆向思维。

设3件全是合格品为事件B，事件B发生的概率P(B)= = 。

事件B的对立事件可叙述为3件不全是合格品或至少有一件次品，则至少有一件为次品的概率为P( )=1- P(B)=1- = 。

实践证明，通过一题多解训练学生由多渠道、多角度求解同一个问题，这对开阔学生思路、活跃学生思维大有裨益，而且也有利于引导学生的思维向较高层次发展，去掌握解题方法的本质因素。

二、一法多用

运用解题思路，改变题目的条件和结论，使所学方法得到广泛的应用，而不限制在一个小范围内，就事论事式的解题。

例3：若x＞0，求x+ 的最小值。

利用平均值定理（若干个非负数的平均值不小于它们的几何平均值），将“和”的形式不等量地化为“积”的形式，将变量不放大为常量，并验证等号成立的条件是否合题意，可解得：当x=2时，有最小值4。

用同样的解题思路和方法,只要稍作处理，就可解下列各题:

求x + 的最小值；

若x＜0，求x+ 的最大值；

若x＞0，证明x+ ≥3。

例4：3个房间，现有4人投宿，有多少种安排方法？

分析：显然是一个可重复问题，用乘法原理解。由于关键是4人投宿，所以分为四步。第一步，第一个人投宿，3种安排。第二步，第二个人投宿，3种安排。第三步，第三个人投宿，3种安排。第四步，第四个人投宿，3种安排。

所以共有N=3×3×3×3=3 =81种安排方法。

类似题目：

3个邮筒，现要投4封信，有多少种不同的投法？

4个邮筒（空盒），现要投3封信（个球），有多少种不同的投法？

从山顶到山脚有3条不同的路，现有5位游客登山，每人可任意登山，则共有多少种不同方式登山？

三、提倡多思及变式应用等

对于某些较简单的题目，教师应引导学生进一步思考，提倡一式多问、变式应用等。对于较复杂的题目，教师可引导学生细化问题，分层考虑，各个击破。

例5：m为何值时，复数（m +3m+2）+（m -m-2）i是：

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？

对于职高学生来讲，这样的题并不容易，教师在讲（1）时可说明，是实数就不能有虚数单位，因此i的系数为零，即虚部m -m-2=0；在讲（2）时可说明，是虚数就要有虚数单位，因此i的系数不为零，即虚部m -m-2≠0，恰好和为实数的条件相反；在讲（3）时可说明是纯虚数首先得是虚数，因此（2）要满足，“纯”是实部为零，m -m-2≠0与m +3m+2=0联立成组求解。

讲完这道题后，教师还可进一步提问：（4）为零；（5）对应点在第一象限？

例6：求证：sin(α+β)sin(α-β)=sin α-sin β。

在证明时学生都能想到左边展开成

许多学生到此做不下去了，还是引导学生两边靠，cos β、cos α右边没有，要转化。怎样转化？根据特点，只有用同角平方关系了。

变式练习：已知：cos(α+β)cos(α-β)= ，求cos α-sin β。

例7：已知三个平面两两垂直且交于一点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3，4，5,求PO距离。

对于这个问题，学生们首先想到画图，三个垂直的平面总也画不好，因此我提议学生们想想墙角落（三面垂直交于一点）。有学生用手一比画，想到不就是“已知长方体三条棱长，求长方体的对角线吗”？PO= =5 。看来，三面垂直还得多看墙角落。

四、提倡对比和归纳

有些学生对概念一知半解，容易产生混淆与错觉。有比较才有鉴别，通过对比可以掌握各自的特点和本质，从而帮助学生深刻理解数学概念。

例8：例举下列几个典型例子进行鉴别：

自然数与正整数，正数和非负数

空集?和集合{0}，子集与真子集

锐角和第一象限的角

直线的倾斜角，复数的幅角与幅角主值

充分条件与必要条件等

两条直线：（1）相交，（2）平行，（3）异面，能确定一个平面吗？

在学完一个知识点时，有必要回顾并系统地总结一下学过的概念方法等。比如学完直线一节，要对几种直线方程进行总结；学完二次曲线，要对它们的定义、性质作比较，并归结出它们内部的联系和统一性。

职高教材虽然没有数学归纳法，但也体现了联想归纳的思想，比如推导等比、等差数列的通项公式。职高的教学更应注重数形结合思想，比如学习函数单调性，也许画一个图比进行证明更易判断。职高数学更注重实际应用，比如学习正、余弦定理，不能只是要求学生记住它们解三角形的适用范围，而是要用到零件加工切割等生产活动中去。其实教授职高数学，培养职高学生数学思维品质并不是一件容易的事，它要求教师的教学语言既要直白简练，又要有艺术性和启发性，教学内容既要细致周密，又要高度提炼，每一堂课都要精心设置，选择最优的教学方法，于无形中传授各种数学思想方法。只要我们努力，那么职高学生就能迸发出思维的火花，结出累累的硕果，将来在社会生产建设中发挥更大的作用。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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