高考解析几何命题预测

“一样的数学基础，一样的学习时间，也一样的用功，但高考结果却分数差距较大，这是为什么？”为什么呢？你想知道吗？其实，高考说起来很神秘，但想起来也就那么回事，不就是解二十几个题吗？解好了，分数就高；解差了，分数自然就低.这些地球人都知道，问题是：如何解好？关键是考前复习，你听过“年年岁岁花相似、岁岁年年题不同”的说法吗？“花相似”如何理解？它告诉我们：特殊考点与重要技能是年年非考不可的.如果我们能用较少的题对这些必考内容进行有效覆盖，而我们又对这些题都能熟练掌握，那么，会“解差”吗？下面就按这个思路，让我们来看看解析几何可能如何考？

一、结合解几的基础内容，考查直线、圆等基础知识与基本技能

直线与圆是解析几何的基础内容，围绕这一内容设计的选择题与填空题相当多.此类题往往具有交汇性、灵活性，虽然难度不大，但涉及的基本方法与基本技能绝不单纯.

例1 已知圆x2+y2=1和直线y=2a+b交于A,B两点，且OA,OB与x轴正向所成的角分别为?琢,?茁，则sin(?琢+?茁)= .

解析 由y=2x+b，x2+y2=1?圯5x2+4bx+(b2-1)=0，设A，B两点坐标分别为A(cos?琢,sin?琢)，B（cos?茁,sin?茁），

那么cos?琢+cos?茁=-，cos?琢cos?茁=-， 又sin?琢=2cos?琢+b，sin?茁=2cos?茁+b，

得sin(?琢+?茁)=sin?琢cos?茁+cos?琢sin?茁=(2cos?琢+b)cos?茁+cos?琢(2cos?茁+b)=4cos?琢cos?茁+b(cos?琢+cos?茁)=4・+b・(-)=-.

点评 本题是一道填空题，涉及直线与圆的位置关系、三角函数的定义，求解时，既要用到解几的常规技能又要用三角的基本换化，不是很难，但有灵活性.

二、结合基本量之间的关系，考查某一参数的范围或最值

圆锥曲线方程中的a,b,c、离心率、渐近线方程等都是基本量，很多看似复杂的问题，其实就是这些量之间的关系问题，只要我们深入分析、透彻理解很快便迎刃而解.看看2011年浙江、天津、福建卷都在此处设计了试题.

例2 已知椭圆x2+=1(0

解析 设F、B、C的坐标分别为(-c,0)，(0,b)，(1,0)，则FC、BC的中垂线分别为x=，y-=(x-)，联立方程组，得x=，y=.

于是m+n=+>0，即b-bc+b2-c>0?圯(1+b)(b-c)>0?圯b>c，从而b2>c2即有a2>2c2， e20， 0

点评 本题是基本量之间的基本关系，首先通过焦点、顶点设出坐标，然后，产生圆心坐标，进一步得到b>c，由此产生离心率的范围.

三、结合几何性质，考查圆锥曲线的离心率

离心率是圆锥曲线的重要特征量，看看历年高考试题，在离心率上“作文章”的有多少？也许不看不知道，看了吓一跳.为什么它如此倍受命题人的青睐呢？它除了牵动着圆锥曲线方程中a,b,c的之间的关系以外，它还可以直接解释椭圆的扁平及双曲线的开口的大小.

例3 如下图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且AB∥CD.若双曲线C1以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最大时, 双曲线的离心率为___________.

解析 ∠BAC=?兹，作ＣＥＡＢ于点E，则BC=2Rsin?兹，EB=BCcos(90°-?兹)=2Rsin2?兹，CD=2R-4Rsin2?兹，梯形的周长：

l=AB+2BC+CD=2R+4Rsin?兹+2R-4Rsin2=-4R(sin?兹-)2+5R.

当sin?兹=，即?兹=30°时，l有最大值5R，这时，BC=R，AC=R，a=(AC-BC)=(-1)R，e==+1.

点评 本考查求离心率，但有一个条件，就是周长最大时，如何产生周长？何时周长最大？显然，除了要有圆锥曲线的基础知识之外，还要具有应用数学基础知识求解问题的能力.

四、结合定义，考查圆锥曲线中的数形结合思想

圆锥曲线的定义是圆锥曲线的基础，也是圆锥曲线基本技能与基本方法的生长点.看看我们的教材，在例题、练习、习题中有三分之一以上的题都与定义有关.无论高考命题的指导思想是“以能力立意”，还是“源于教材，而高于教材”，圆锥曲线的定义，都必将受到命题人的特别关注.

例4 已知点Q是圆M: (x+1)2+y2=64上动点（圆心为M），点N(1,0)，若线段QN的中垂线MQ交于点P.

（1）求动点P的轨迹E的方程.

（2）已知A(1,0),B(2,2)，T是轨迹E上的一动点，求TA+TB的最大值.

（3）在动点P的轨迹上是否存在点T，使,,成等差数列？若存在，求出TM与TN值；若不存在，说明理由.

解析 （1）由线段QN的中垂线交MQ于点P，得PN=PQ，

那么PM+PN=PM+PQ=8>MN，

所以动点P的轨迹是以N、Q为焦点，以8为长轴长的椭圆，

即2c=2，2a=8?圯c=1，a=4，得b2=16-1=15，

故P的轨迹方程为+=1.

（2）易知A为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，由a2=16知TA+TF1=8，因此TA+TB=8+TB-TF1问题转化为“求椭圆上一点到B,F1两点距离之差的最大值”；如图，连B,F1并延长交椭圆与T点.

此时，TB-TF1最大，其值为=，故TA+TB的最大值为8+.

（3）假设存在点T满足题设，由+=1，可知TM+TN=8，MN=2，结合=+，得TM・TN=8.

由TM+TN=8，TM・TN=8?圯TM=4+2，TN=4-2或TM=4-2，TN=4+2.

由于3≤TM≤5且3≤TM≤5，

而4-25,

故点T不存在.

点评 本题以2-1教材P49A组第7题（1-1教材P42A组第7题）为原形进行改编、深化，第一问直接考查椭圆定义的应用、第二问建立在定义的基础上考查数形结合思想的应用、第三问建立在定义的基础上考查方程思想及分析判断的能力.

五、结合实际应用问题，考查圆锥曲线的基础知识与应用技能

实际应用问题以前是函数、数列的“特产”，近年范围有所改变，有向解几“蔓延”的趋势.再加上，解几中确实存在着诸多实际应用的因素，它与现实生活中很多现象都有千丝万缕的联系，比如：神七的运行轨道、郭晶晶跳水的空中曲线、双曲线型冷却塔等.

例5 某热电厂积极推进节能减排工作，技术改造项目“循环冷却水系统”采用双曲线型冷却塔（如右图），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，从而实现热电系统循环水的零排放.

（1）冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，要求它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为20 m，且双曲线的离心率为，试求冷却塔的高应当设计为多少？

（2）该项目首次需投入资金4000万元，每年节能后可增加收入600万元. 投入使用后第一年的维护费用为30万元，以后逐年递增20万元. 为使年平均节能减排收益达到最大值，多少年后报废该套冷却塔系统比较适合？

解析 （1）如图，建立平面直角坐标系. 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0).由题意可知，a=12，e===，解得c=4.

从而b2=c2-a2=(4)2-122=400，

双曲线方程为-=1.

将x=13代入，解得y=. 将x=20代入，解得y=.

所以，冷却塔的高为+=m.

（2）n年后的年平均减排收益为：

==

-10(n+)+580≤-10×2+580=180，当且仅当n=即n=20时等号成立，即20年后报废该套冷却塔系统比较适合.

点评 本题可能又有似曾相识的感觉，是的，这是建立在2-1教材P58页例3（1-1教材P50页例4）为原形进行改编的.它将数列、不等式等尽收其中，试题不难，但却是难得的好题.

六、结合创新，考查圆锥曲线中的探索性问题

以解几的主干知识为依托，命制新背景、新定义、新运算、新性质等的创新题型，考查考生创新能力与创新意识，考查考生捕捉信息与处理信息的能力.近年湖南考查新定义，广东、陕西、山东考探索性问题，这些都是对创新应用的考查.

例6 O′过定点A(0,p)(p>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．

（1）当O′点运动时，MN是否有变化？并证明你的结论；

（2）当OA是OM与ON的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．

解析 （1）设O′(x0,y0)，则x20=2py0(y0≥0)，则O′的半径O′A=， O′的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2.

令y=0，并把x20=2py0代入得x2-2x0x+x20-p2=0，

解得x1=x0-p，x2=x0+p，所以MN=x1-x2=2p .

这说明MN是不变化，其为定值2p．

（2）不妨设M(x0-p,0)，N(x0+p,0)．

由题2，OA=OM+ON，得2p=x0-p+x0+p，所以-p≤x0≤p．

O′到抛物线准线y=-的距离d=y0+=，

O′的半径O′A===．

r>d?圳x40+4p4>(x20+p2)2?圳x20

又x20≤p2 0)，所以r>d，即O′与抛物线的准线总相交．

点评 本题两问的结论都具有探索性，但难度不大，只要抓住圆锥曲线的常规运算技能与技巧都能较好地完成本题求解.

七、结合多种圆锥曲线，考查圆锥曲线常规技能的应用

多种圆锥曲线联合进行设计试题是广东近年高考命题的一大特色，2007年是圆与椭圆、2008年椭圆与抛物线、2009年圆与抛物线、2010年双曲线与椭圆、2011年圆与双曲线，看看从新课标实施以来哪一年考题是单独考查某一种曲线？因此，注重多种圆锥曲线联合是必须的也是应该的.

例7 已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P(-4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A,B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足PA・PB=PC2．

（1）求双曲线G的方程；

（2）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.

解析 （1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，则由已知可得，所以k=±，即双曲线G的渐近线的方程为y=±x．

设双曲线G的方程为x2-4y2=m．由y=(x+4)，x2-4y2=m?圯

3x2-8x-16-4m=0， 则xA+xB=， xAxB=-（＊）.

PA・PB=PC2，P,A,B,C共线且P在线段AB上，

(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2，整理得：4(xA+xB)+xAxB+32=0，将（＊）代入上式可解得m=28．

所以，双曲线的方程为-=1．

（2）由题可设椭圆S的方程为： +=1(a>2)．下面我们来求出S中垂直于l的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，MN的中点为P(x0,y0)，则+=1，+=1?圯+

=0.

由于=-4，x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，所以-=0，

所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线-=0截在椭圆S内的部分．

又由于这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以=，即a2=56，椭圆S的方程为+=1．

点评 本题建立在圆、椭圆与双曲线的基础上进行设计，求解时用到了圆锥曲线中很多基础知识与基本技能，如：点到直线的距离公式、通过渐近线方程设双曲线方程、将线段的长度关系转化为坐标关系、韦达定理、点差法等，虽然难度不大，但从知识点的覆盖上看是一道好题.

八、结合函数、不等式、导数、数列考查圆锥曲线基本技能的灵活应用

在广东命题的历史上，曾有过将圆锥曲线问题置于函数、导数、不等式之中，求解中不仅要拥有解几的基础知识与常规技能,还要熟练运用导数、函数、不等式.想想今年这种设计会不会再现，我们还是从“宁可信其有”的角度去作好准备吧！

例8 已知一列椭圆Cn：x2+=1(0

（Ⅰ）试证：bn≤(n≥1)；

（Ⅱ）取bn=，并用Sn表示PnFnGn的面积，试证：S1

解析 （Ⅰ）由题设及椭圆的定义，得2dn=PnFn+PnGn=2?圯dn=1.设点Pn的坐标为(xn,yn)，得-xn=1?圯xn=-1?圯-1≤-1≤1?圯≤

从而对任意n≥1，bn≤.

（Ⅱ）设Ｇn(cn,0)，则c2n=1-b2n，由（Ⅰ）得xn=-1即xn=-1，那么y2n=b2n(1-x2n)=(1-c2n)[1-(-1)2]，即yn=，

因此Sn=×2cn・yn=，

由Sn′=，令Sn′=0，得cn=（负数舍去）；由于Sn在cn∈(,)时为增函数；在cn∈(,1)时为减函数.

由题意，取bn=，则cn==是增数列，又知c2=

点评 本题涉及椭圆的定义、椭圆的几何性质、导函数在函数中的应用及数列的基础知识等，在求解过程中有一点必须提出，也就是引入右焦点的坐标，利用半焦距进行运算，这是本题求解中的一大运算策略，离开这一点可能本题的第二问就无法解答.

圆锥曲线在高考中的命题通常是“一大一小”，今年到底如何？试题是否按我们的设想进行设计，我们将拭目以待.

（作者单位：中山市第一中学）

责任编校 徐国坚