圆锥曲线部分高考备考要点
时间：2022-10-20 03:29:08
圆锥曲线部分是高中数学的重要部分，在高考中占有重要的位置.圆锥曲线部分的特点是思维容量大、运算量大，所以作为解答题，一般会出现在第21、22题的位置，属于中高档题；作为选择填空题，通常考查圆锥曲线的几何性质，属于中低档题.
那么，如何复习备考圆锥曲线部分呢？我认为应注意以下几点.
一、重视圆锥曲线的基本概念和几何性质
圆锥曲线的定义本身就是解题的重要方法，要注意定义的运用.比如椭圆的定义：平面内到两定点F、F的距离之和等于常数2a（大于|FF|）的点的轨迹是椭圆.对于它的定义我们要从两个方面来理解：一是如果有一个点P满足|PF|+|PF|=2a（大于|FF|），则点P的轨迹是椭圆；二是如果点P是椭圆上的一点，则它到两焦点的距离等于2a.举例如下.
例1：一动圆与已知圆O：（x+3）+y=1外切，与圆O：（x—3）+y=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.
解：两定圆的圆心和半径分别为O（—3，0），r=1；
O（3，0），r=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R，
则由题设条件可得|MO|=1+R，|MO|=9—R.|MO|+|MO|=10.
由椭圆的定义知：M在以O、O为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.
b=a—c=25—9=16，故动圆圆心的轨迹方程为+=1.
（点评：通过分析两圆的位置关系，得到|MO|+|MO|=10（大于|OO|），满足椭圆的定义，所以点M的轨迹是以O、O为焦点的椭圆.）
例2：已知ABC的顶点B、C在椭圆+y=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（C）
A.2 B.6 C.4 D.12
（点评：因为点B、C在椭圆上，A是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为D，则|BD|+|BA|=2a=2，|CD|+|CA|=2，所以ABC的周长是4.）
二、注意基本公式与基本方法的熟练应用
在圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点，将直线方程与圆锥曲线方程联立整理得关于x（y）的一元二次方程，以及韦达定理、弦长公式、点差法等是需要掌握的基本方法.现举例如下.
例3：已知双曲线C：—=1（0
解：设M（x，y），N（x，y），由已知易求B（1，0），
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，
设M（1，y），N（1，—y），（y>0），由·=0，得y=1，
M（1，1），N（1，—1）.
又M（1，1），N（1，—1）在双曲线上，
—=1?λ+λ—1=0?λ=，
因为0
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x—1）.
由
—=1
y=k（x—1），得[λ—（1—λ）k]x+2（1—λ）kx—（1—λ）（k+λ）=0，
由题意知：λ—（1—λ）k≠0，所以x+x=，xx=，
于是yy=k（x—1）（x—1）=，
因为·=0，且M、N在双曲线右支上，
所以
x
x
+y
y=0
x
+x>0
x
x>0?
k
=
k
>?
>
λ+λ—1>0?
由①②，知≤λ
（点评：直线和圆锥曲线相交时，将两方程联立，要注意交点的位置，以及Δ的应用，以确定式中量的取值范围，再就是直线的斜率问题，要注意题中条件是否应加以讨论.）
三、注意近年来高考题目中对圆锥曲线问题考查的题型的一些新变化
高考对于圆锥曲线的考查主要是从四个方面，即：定点、定值问题，最值极值问题，参数的取值范围问题，以及开放性问题即是否存在的问题的考查.解决这类问题的关键是对题目中条件的转化.现举例如下.
例4：如图所示，倾斜角为α的直线经过抛物线y=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.
（1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；
（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|—
|FP|cos2α为定值，并求此定值.
解（1）由已知得2p=8，=2，抛物线的焦点坐标为F（2，0），准线方程为x=—2.
（2）设A（x，y），B（x，y），直线AB的斜率为k=tanα，则直线方程为y=k（x—2），
将此式代入y=8x，得kx—4（k+2）x+4k=0，
故x+x=，
记直线m与AB的交点为E（x，y），则
x==，y=k（x—2）=，
故直线m的方程为y—=—
x—，令y=0，得点P的横坐标x=+4，
故|FP|=x—2==，
|FP|—|FP|cos2α=（1—cos2α）==8，为定值.
（点评：该题第二问为定值问题，转化的思路为表示出点P的横坐标，然后表示出|FP|，以及二倍角的余弦公式把2α化为α的三角函数.）
例5：已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F（—3，0），一条渐近线的方程是x—2y=0.（1）求双曲线C的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围.
解（1）设双曲线C的方程为—=1（a>0，b>0）.
由题设得
a
+b=9
=，解得
a=4
b=5.所以双曲线C的方程为—=1.
