对中学数学教学中几种常见“对称”问题的探讨

摘要：数学是社会科学中最基础的学科，在解答数学题目过程中会涉及很多方面的数学技巧问题，我们要善于总结、归纳。本文主要总结、归纳高中数学解题中常遇到的有关点的对称，有关直线的对称，曲线关于特殊点、线的对称，三角函数图象中的对称等几种对称问题进行探讨。

关键词：点对称 直线对称 图象对称

“对称”问题不仅是高中数学教学的重点和难点，也是历年来高考的热点。由于“对称”问题的形式较多，知识点较分散，学生对此都感到头疼。对此，笔者对高中数学教学中常见的几种“对称”问题进行归类总结，找出每种“对称”问题的特点和内在联系，以期使学生能够轻松地解决对称问题。

一、有关点的对称

1.点关于点的对称。点P（x，y）和P′（x′，y′）关于点M（a，b）对称，可把点M看做是线段PP'的中点，利用中点公式，得到它们坐标之间的关系，即a=■，b=■。

2.点关于直线的对称。点P（x，y）和P′（x′，y′）关于直线l对称，可以利用直l为线段PP′的垂直平分线的特点，即线段PP′的中点在直线l上，其坐标满足直线l所在方程，并且线段PP′与直线l互相垂直。

3.点关特殊点、线对称。可以省略中间推导过程，按照一定规律直接得到对称点坐标，如点P（x，y）关于x轴的对称点坐标为（x，-y），关于y轴的对称点坐标为（-x，y），关于原点的对称点坐标为（-x，-y），关于直线y=x对称点的坐标为（y，x）；关于直线y=-x对称的坐标为（-y，-x）。

例1.点M（8，9）关于x轴的对称点（8，-9），关于y轴的对称点（-8，9），关于原点的对称点（-8，-9），关于直线y=x的对称点（9，8），关于直线y=-x的对称点（-9，-8）。

例2.若函数y=f（x），在（-∞，+∞）上为奇函数，且当x∈[0，+∞）时有f（x）=x2-4x-3，求x∈（0，+∞]上的最大值。

解：由于奇函数关于原点对称，可直接得到x∈（-∞，0]的关系式。

-f（x）=（-x）2-4（-x）-3即f（x）=-x2-4x+3，当x=-■，即x=-2时，有f（x）max=f（-2）=-（-2）2-4×（-2）+3=7。

二、有关直线的对称

1.直线关于点的对称。直线l∶y=kx+b关于点M（a，b）的对称直线l′∶y=k1x+b1，它们之间具有如下两个特点：

（1）l∥l′。（2）d=d1。（3）k=k′。（其中，d为直线到点的距离，k为斜率）

2.直线关于直线的对称。直线l和l′关于直线M对称。

（1）当l∥M时，l′一定和它们都平行且直线M上任意点到l和l′的距离相等。

（2）当l与M相交时，一定有l与M的交点在l′上，且l′与M的夹角和l与M的夹角相等。

例3.求直线x-y-2=0关于直线3x-y+3=0对称的直线方程。

解：由x-y-2=03x-y+3=0？圯x=-■y=-■

即交点坐标为（-■，-■）

设所求直线的斜率为k，

则■=■

k=-7或k=1（舍去）

则所求直线方程为y+■=-7（x+■）

即7x+y+22=0。

方法二：取x-y-2=0上的一点A（2，0）设它关于3x-y+3=0的对称点为A′（a，b）

■=-■3·■-■+3=0？圯a=-■a=■

即A′（-■，■）。又由法一知交点为（-■，-■）所求直线方程为■=■即7x+y+22=0。

三、曲线关于特殊点、线的对称

它们的对称曲线可以按以下规律直接得到：曲线F（x，y）=0关于x轴对称的曲线方程为F（-x，y）=0，关于y轴对称的曲线方程为F（-x，y）=0；关于原点对称的曲线方程为F（-x，-y）=0，关于直线y=x对称的曲线方程为F（y，x）=0，关于直线y=-x对称的曲线方程为F（-y，-x）=0。

例4.求曲线C：y=（x+1）2关于y=x对称的曲线C′的方程。

解：设所求曲线C′上任一点M′（x，y）关于y=x对称点M（x0，y0）在曲线C上。

■=-1■=■？圯x0=yy0=x

又y0=（x0+1）2

x=（y+1）2为所求曲线C′的方程。

例5.求曲线C：x2+y2-4x+2y-4=0关于直线 x-3y+5=0的对称曲线C'的方程。

解：曲线C可化为：（x-2）2+（y+1）2=9，即它是一个以C（2，-1）为圆心，半径为3的圆。

设曲线C′的圆心为C′（a，b），则

■=-3■-3·■+5=0？圯a=0b=5

则所求圆C'的方程为x2+（y-5）2=9。

四、三角函数图像中的对称

在正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象上，它们与x轴交点处为其图象的对称点，它们的波峰和波谷点处为其图象的对称轴，正切y=tanx和余切y=cotx的函数与x轴交点处为对称点，但它们没有对称轴。

例6.函数y=sin（2x+■）图象的对称轴方程可能是（ ）

A.x=-■ B.x=-■ C.x=■ D.x=■

分析：若f（x）=Asin（ωx+φ）为偶函数，则当x=0时，f（x）取得最大或最小值。若f（x）=Asin（ωx+φ）为奇函数，则当x=0时，f（x）=0。如果求f（x）的对称轴，只需令ωx+φ=■+kπ（k∈Z），求x。

例7.函数y=sin（3x+φ）的图象关于原点成中心对称图形，则φ=________。

分析：如果求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ（k∈Z）即可。

（责编 高伟）