从高考看抽象函数性质的研究

高考一直比较关注学生理性思维发展，这使得抽象函数成为高考的考查热点之一。抽象函数没有具体表达式，研究起来就比较困难；加之在目前教学实际中有关抽象函数周期性、对称性、单调性、奇偶性的学习常停留在对一些教辅资料公式的背诵和套用上，使得学生研究起来更加“抽象”。

抽象问题的解决关键是使其具体化，纵观抽象函数问题，它们的共同点是关注某个具体概念的生成，因此关注概念的理解往往使得做抽象函数问题事半功倍。为了中学生更容易理解，本文从周期性、单调性等性质给出抽象函数研究的策略：凑定义。

一、周期性

函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

例1 （2009年全国卷I理科11题）改编：函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则函数f（x）周期是______

说明：由于本题涉及的抽象函数没有相关的图像信息，不好画图解决，抽象表达式也更复杂。

我们知道函数的周期性定义：f（x+T）=f（x）对定义域内任意的x均成立；把（x+T）看做一个整体如x1，把x看做x2，它也可以表述为：x1，x2每相差常数T时，函数值总相等，这个正是函数周期性的图象特点。于是类似的问题如：对定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x-4），令x+2=x1，x-4=x2，则x1，x2每相差6个单位，函数值总相等，于是读出周期是6；若改为f（x+2）=

-f（x-4），则x1，x2每相差6个单位函数值互为相反数，那么再差6个单位函数值又相等，因此读出函数周期是12。综上对于抽象函数读取周期关键就是凑定义。

下面请看本题解析：因为f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，由奇函数定义得到f（-x+1）=-f（x+1）；f（-x-1）=-f（x-1）两个式子均看不出周期，我们以方程的角度将两个式子化简为一个式子，凑出周期定义的特点即可。

将f（-x+1）=-f（x+1）中所有的x用x-2代换，则原式变为f（-x+3）=-f（x-1）与第二个式子联立方程，解得：f（-x-1）=f（-x+3）读出周期：4。

二、单调性

例2 已知函数f（x）对于R内任意的x，y，总有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x>0时，f（x）

我们知道函数的单调性定义：对于定义域的某区间D内的任意x1，x2令x1

构造x2-x1>0，再凑定义f（x2）-f（x1）

在R内任取两个数x1，x2令x10，又因为f（x+y）-f（y）=f（x），得到f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1），由题知：当x>0时，f（x）

由此不难发现，复杂的抽象函数问题解决关键就是凑定义，所谓万变不离其宗即如此。

（作者单位：河南省新乡市第一中学）