超越方程根的问题解题策略

超越方程根问题是高考常考的知识点。这类问题涵盖知识点多，综合性强，能较好地考查数学思想方法，学生们求解起来往往颇感困难，本文就超越方程根问题常见类型结合平时教学中学生所问及高考中遇到的一些试题进行分析，探寻解题策略，以供参考。

一、判断方程根的个数问题

【例1】方程2sinθ=cosθ，θ∈[0，2π）的根的个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【解】因为方程有根，故cosθ>0，令sinθ=x（-1≤θ≤1），则问题转化为

在同一坐标系中画出它们的图像，如图所示，故选B。

【评】方程根个数与曲线交点个数是相同的。本例先对数式换元转化，再进行数形转化，再考查曲线交点的个数。

【解】f（x）和g（x）均为偶函数，它们的图像都关于y轴对称，依条件f（-x）=f（x），f（1-x）=f（1+x），知f（x）是以2为最小正周期的周期函数。

在同一坐标系中画出它们的图像（只画y轴右侧，因为它们均为偶函数），依对称性可知原方程的根为10个。

【评】本例是利用函数性质画图，再考查两图像交点的个数。

二、知方程根个数求参数取值范围问题

【例3】已知函数f（x）=2-x-1 （x≤0）f（x-1） （x>0），若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）

A.（-∞，0] B.（-∞，1） C.[0，1] D.[0，+∞）

【解】记C1：y=f（x），C2：y=x+a在同一坐标系中画出它们的图像，欲使原方程有两个不相等的实根，则a

【评】注意函数在（0，

+∞）上的性质，画出函数C1：y=f（x）的图像，又C2：y=x+a是一组平行直线，当a

【例4】设定义域为R的函数f（x）=|lg|x-1|| （x≠1）0 （x=1），则关于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的实数根的充要条件是（ ）

A.b0 B.b>0，c

C.b

【解】画出图像，若关于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0有7个根，令f（x）=t，则方程t2+bt+c=0必有一个根t1=0，另一个根t2>0。故b

【评】这类问题称为“复合方程”根问题，在解题时一是要注意关于t的方程t2+bt+c=0根与关于的x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0的根对应关系，二是要定性地画出图像。若设方程的7个根分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7，则依据的对称性知x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7的值为7。

【例5】已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点。

（1）求a；

（2）求函数f（x）的单调区间；

总之，对于超越函数方程根问题考查题求解主要策略是等价转化法，数形结合法，用导数法来研究函数的性质法。

（作者单位：安徽省颍上一中）