简单的线性规划范文

简单的线性规划篇1

1.利用线性规划解决相关问题的关键是如何根据条件正确画出可行域。教材上总结了关于y＞kx+b与y＜kx+b所的表示的平面区域，学生在记忆与操作起来很不方便，我们在解决问题时可采用“直线定界，特殊点定域”的方法，即先画出相应的直线，注意是虚线与实线的区别，然后选特殊点定区域，常选用坐标原点（0，0）或点（1，0）把坐标代入不等式验证，若适合，该点所在的区域即为不等式所表示的区域，否则直线的另一侧区域即为所求。

例1：不等式x+4y-9≥0表示直线x+4y-9=0（）。

（A）上方的平面区域

（B）下方平面区域

（C）上方的平面区域（包括直线）

（D）下方平面区域（包括直线）

解析：注意到坐标原点（0，0）不在直线上，把其坐标代入不等式得-9≥0不成立，因此原点所在区域的另一侧为所求区域，如图所示。故本题选（C）。

2.利用线性规划求解目标函数的最值时，一定要明确目标函数的几何意义，否则就有可能求解错误。

例2：在线性约束条件 下如何探求目标函数p=2x+y的最大值。

解析：首先作出可行域，再考虑目标函数p=2x+y的几何意义。将目标函数p=2x+y变形为y=-2x+p，它表示斜率为2，在y轴上的截距为p的一条直线，故要求p的最大值，只需平移直线经过可行域，求直线y=-2x+p的截距的最大值即可。可知，当直线过A（1.25，5）时，p有最大值7.5。

大值时x、y值。

解析：z=x2+y2不是线性目标函数，求它的最值可利用其几何意义求解：x2+y2表示区域上的点到原点的距离的平方，显然它的最值应在区域的边界上取得。

作出满足以上不等式组的可行域（如图），易知在这个区域中，点C（2，3）到原点O的距离最远。即z的最大值是22+32=13，这时x=2，y=3。又过O作直线的垂线，垂足 ，在点D处z有最小值 。

3.在利用线性规划的图解法解决生产规划问题即如何合理地利用有限的资源（如资金、劳力、材料、时间等），以使消耗最小，利润最大时，首先要整理相关数据，抓住问题的主要因素设未知数，将实际问题数学化。运用图表可将复杂数据表达清晰，然后根据条件列出线性约束条件。不要忽略变量的实际意义，漏掉相关约束条件，如时间、人力等变量非负。

例4：制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投甲、乙两个项目。根据预测甲、乙项目可能的最大盈利率分别是100％和50％。

投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

解：设投资人用x万元投资甲项目，用y万元投资乙项目，由题意知:

目标函数z=x+0.5y。

上述不等式组表示的平面区域。如图阴影部分（含边界）即可行域。作直线l0:x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线z=x+0.5y，z∈R。与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M（4，6），且与直线l0：x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点。

可得x=4,y=6，此时z=4+0.5×6=7（万元）。

简单的线性规划篇2

【关键词】单纯形法；改进单纯形表；迭代

线性规划问题是运筹学的一个重要的分支，自1947年丹捷格（G.B.Dantzig）提出了一般线性规划问题的求解方法―单纯形法后，线性规划在理论上趋于成熟，在实用中日益广泛和深入。尤其是在电子计算机能处理成千万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划问题的适用领域更加广泛。从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用，广泛应用于合理下料问题、生产组织与计划问题、运输问题、生产工艺优化等问题，单纯形法已经是现代科学管理的重要手段之一。相信随着科学技术的发展和日益完善，单纯形法在今后有更科学实用的发展。

单纯形法作为线性规划主要的算法已经得到广泛的应有。使用单纯形法求解线性规划时，要求有一个初始基可行解，如果没有明显的初始基可行解时，现在常用的方法是引进人工变量构造初始人造基，再利用两阶段法或者大M法进行迭代求解。但是，人工变量的引入使得方程组的变量增加，进而使得计算工作量以及计算机的存储量大为增加，为此出现了很多基于高斯消元法求初始基的方法[1-2]，从而使得无需引入人工变量就可求解线性规划问题成为可能。

单纯形法的表格繁杂，每一步迭代都需要重新创建新的单纯行表，占据很大的内存，而且效率低下。今在改进单纯形法的基础上，对单纯形表进行改进，创建改进单纯形法的表上作业法，过程直观，计算简便，只需记住一些迭代公式就可掌握其计算方法。引进参考文献中求解初始可行基的方法，更进一步的提高了改进单纯形法的计算效率，也缩减了数据所占据的内存量。

1.方法的引入

标准形式的线性规划问题：

这是线性规划问题的矩阵标准形式。对于（1）式我们通过加入松弛变量变成等式。

对于含有初始基的线性规划问题我们知道基变量的检验数一定为0，我们可以不用计算，而且它们的系数矩阵一定是单位矩阵，为此我们是否可以省略单位矩阵，从而简化单纯形表？

下面就对本方法进行介绍。

2.方法的介绍

2.1 主要思想

单纯形表中基变量的系数矩阵一定为单位矩阵，没有必要必须罗列出来，省略掉基变量的系数矩阵可以简化单纯形表，使得迭代的过程不会过于繁琐，简化后的单纯形表。使用参考文献中的求解初始可行基的方法，不必引进人工变量即可求得初始可行基，进一步简化计算。

2.2 计算步骤

（1）计算初始可行基，，-Z

（2）建立改进单纯形表

表1与单纯形表相似，只是对其进行了改进，下面是对表格的说明：

1）S行为第一行，此行为单纯形表中检验数一行，为了计算方便我们将检验数行提到了上面。

2）S列为基变量列，我们定义为第一列。

3）第二列为价值系数列。

4）从第三列开始的各列为各个非基变量的系数列。

（3）寻找迭代主元，进行迭代计算

与单纯形法寻找最好主元一样，初始改进单纯形表中已有，根据求解最大值线性规划问题的最大原则，确定迭代主元所在的列。价值系数列依次除以迭代主元所在的列中的大于0的各元素为，即：，确定出迭代主元。

在新的改进单纯形表中：

①原主元所在的位置取原主元的倒数，即

②原主元所在的行的其他元素取原表中该行对应元素与原主元的商，即：

③原主元所在的列的其他元素（主元素除外）取原主元素除原系数的商的相反数，

④其他的各行各列的元素，新元素=原元素-（对角之积÷主元），即：

经过若干次的迭代，对于求最大值的线性规划问题，直到全部小于等于0，即第一行除-Z外其他元素全部小于等于0，结束计算，得到最优解。

求解最小化的线性规划问题，我们只需在目标函数两端同乘以-1，按上述方法进行迭代即可。

下面举例计算。

3.举例计算

此处我们应用参考文献[1][2]综合在一起的一种方法求解初始可行基，得到初始的单纯形表。应用初始的单纯形表求解。，，为初始可行基，检验数一定为0，我们就不再计算。

第二步：将上面的数据填入初始改进单纯形表，得到表2

第三步：确定迭代主元，进行迭代计算

在表2中，S行为行，，根据单纯形法求解最大值问题原则，我们确定列为主元列。观察表2知，只有行中0，所以我们可以不用计算值即可确定其为迭代主元。下面以为迭代主元进行迭代计算。

1）行中主元取其倒数，即；

2）行中的所有元素（除主元外）都除以2；

3）所在列中的所有元素（除主元外）除以主元后取其相反数，并填于新的迭代单纯形表中；

4）其余元素的计算，在此只举一个为例，其他的计算可仿照此方法依次算出。如行中的第一个元素，填入表3中作为新的b2。

计算出其余元素，填入新表即得表3，仿照表3的计算步骤得到表4。

S行所对应的已全为负数，计算结束，得到最优解，最优值为。

4.结论

本方法综合使用了参考文献[1][2]中的求初始可行基的方法，无需引进人工变量即可获得初始可行基，相对于两阶段法或大M法计算量小而且容易操作，算法简便，改进单纯形表的使用实现了改进单纯形法的表上作业法，降低了改进单纯形法的复杂度，过程直观，对于不是很熟悉改进单纯形法的人来说也可以计算求解。改进单纯形法的表上作业法本质上是单纯形表的变形，所以本方法可以应用到单纯形表的计算过程中，使得求解线性规划问题更加简单方便。

参考文献

[1]吕林霞，茹少锋，申卯兴.线性规划模型的单纯想法初始可行基选择研究[J].西北大学学报（自然科学版），2011，41（4）.

[2]金涛，刘三阳，孙小军.一种线性规划问题单纯形法的改进算法[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版），2007，27（4）：278.

简单的线性规划篇3

已知a11x1+a12x2+…+a1mxm≤b1(或“≥”或“=”)

a21x1+a222x2+…+a2mxm≤b2(或“≥”或“=”)

……

an1x1+a2n2x2+…+anmxm≤bn(或“≥”或“=”)

其中aij(i=1,2,…，n,j=1,2,…，m), bi（i=1,2,…,n）都是常量， xj(j=1,2,…,m)是非负量，求z=c1x1+c2x2+…+cmxm的最大值或最小值，这里cj(1,2,…，m)是常量。

它的应用：第一种类型：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务。第二种类型：给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

由于线性规划的题型比较固定，大多数同学都认为线性规划的题目十分简单。但是对于隐含性的问题，同学们只能感叹“想不到！”俗话说：“不识庐山真面目。”但是只要驱散它周围的云雾，揭开它的“神秘面纱”，你便会看到庐山真面目了。那么，如何来揭开这层“神秘面纱”呢下面是举例说明，希望对同学们有所启发。

在必修5中，有这样一个问题1：

已知1≤x+y≤3

-1≤x-y≤1′的取值范围。这一题，大多数同学都是把条件进行相加减。然后算出x和y的范围，最后确定取值范围，但是这样做会导致范围的扩大或缩小。但如果采用线性规划知识来做，这道题目则显得十分简单。那么有的同学会疑惑：到底怎么看出它可以用线性规划来解呢？我认为，做题时要保持清醒的头脑，仔细观察此类题目的特征与结构，若发现题目的条件是有关两个未知量的不等关系，并且求的是变量的线性组合的最值或取值范围之类，那就应该大胆地尝试用线性规划来探索解题思路（形），不能被题目的表面所迷惑了，以为只能采用不等式知识进行运算（数）。

带着这种想法去解题，往往可以达到事半功倍的效果。例如问题2：记等差数列前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值。乍一看，此题与线性规划无关，但只要把已知条件用a1和d表示出来，你就会豁然开朗。即已知4a1+6d≥10

5a1+10d≤15，求a4=a1+3d看作目标函数。显然这就是简单的线性规划问题了。此过程把数列问题巧妙地转化为线性规划问题是最大难点。如果有意识地带着上述讲到的想法去做，显然你就会发现一个上述的特征。

在 “希望杯”数学竞赛的培训练习中，问题3：若2sinα-cosβ=2，求sinα-2cosβ=2的取值范围。这题显然没有上一题那样具备了鲜明的线性规划问题的特征，但这个特征是隐含的，从-1≤sinα≤1，-1≤cosβ≤1隐含条件中，可以看出：如果把sinα设为x，cosβ设为y，从而可得：

已知可行域2x-y=2

-1≤x≤1

-1≤y≤1，求目标函数Z＝x+2y的范围。显然，这又可以用线性规划来解了。于是，这层“神秘面纱”就自然被揭开了。

从上述的三题中，可以发现：这些题目总是想把自己装饰起来，多添加些花样，迷惑大家。这样的题目还有许多，又如问题4：已知ABC的三边a，b，c，满足b+c≤2a，c+a≤2b，求ba的取值范围。从现有知识来看，即使通过求出a、b的范围来求ba的范围，容易导致范围的扩大或缩小，从而便干脆把b/a看成一个整体。这又转为一个线性规划的问题了。

简单的线性规划篇4

毋庸置疑，数学规划领域的重大突破总是始于线形规划。提到线性规划算法，人们最先想到的是单纯形法和内点法。单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法，而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的，内点算法的计算复杂度是多项式时间的。把两种算法相提并论，要么是这两种算法都已经非常完备，要么都有需改进之处。显然不属于前者，即两者都有需要改进之处。几十年来，研究者通过不断努力，在两种算法的计算上都取得相当的进展。

1数学模型

线性规划问题通常表示成如下两种形式:标准型、规范型。

设jj(2…，n)是待确定的非负的决策变量；认2…，n)是与决策变量相对应的价格系数；K2…mj=l2…n)是技术系数；b(i12…，m)是右端项系数；

线性规划是运筹学最基本、运用最广泛的分支，是其他运筹学问题研究的基础。在20世纪50年代

到60年代期间，运筹学领域出现许多新的分支：非线性规划（nonlinearprogranming、商业应用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)随机规划（stochasticPKgiamniig)、整数规划(ntegerprogramming)、互补转轴理论（amplmentaiyPivotheor)多项式时间算法（polynomialtjneagatm)等。20世纪70年代末，上述分支领域都得到了极大发展，但是却都不完善。而且数学规划领域中存在许多Nfkhard问题，如TP问题，整数规划问题等。这些问题的基本模型都可以写成线性规划形式，因此通过对线性规划算法的进一步研究，可以进一步启发及推动数学规划领域内其他分支的发展。

2边界点算法

由于单纯形法与基线算法都是在可行集的边界上取得最优值，故合称单纯形法与基线法为边界点算法。单纯形法是线性规划使用最早也是目前实际应用中最流行和求解新型规划问题最有效的算法之一。它实施起来相当简单特别对中小规模问题效果显著。单纯形法最早是由Damzg于1947年夏季首先提出来的。1953年Dantzig为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法12。1954年美国数学家CELmH3针对对偶问题提出一种在数学上等价于用改进单纯形法求解的对偶线形规划。1974年CuretN41提出了求解一般线性规划问题的原对偶单纯形法，该算法与对偶单纯形法类似，但是原对偶单纯形法允许我们从一个非基础对偶可行解开始算法求解。

1972年Klee等举例证明了单纯形算法的时间复杂性有可能是指数型。1973年，Jeoslowoi和Zdeh7又分别进一步指出常用的对偶单纯形法、原一对偶单纯形法等都是指数级的。

这就让人们产生两个疑问:①是否存在单纯形法的某种改型，用它求解线性规划问题是多项式时算法。

对于问题①，研究者们对单纯形法采用了一系列改进技术如数据的预处理方法、更好的退化性处理、更好的局部价格向量计算、原一对偶最速下降边算法的应用、更快和更稳定的矩阵分解、更好的Cach存贮的应用、以及阶段1和阶段2的组合算法等。但是仍未能从理论上证明线形规划算法是多项式时间的。

近年来国内也出现了一批致力于线形规划算法研究的学者，但是国内学者的研究主要集中在对单纯形法的突破研究上，如基线法|8_'最钝角原理1111等。

最钝角及投影主元标算法都是针对单纯形算法存在退化现象就如何选择最优入基、离基做出的一系列研究及改进。退化现象是单纯形法一直以来需解决的难题，为了克服退化问题许多学者提出了有限主元规则：扰动法、字典序规则、Blad规则1171等，其中Bind规则由于其简单而备受关注，但是这些有限主元规则的实际应用方面并不令人满意，甚至都不能和Dantzg规则相比。1990年，潘平奇教授在文献[11]给出了线性规划问题最优基的一个启发式刻画特征:最钝角原理。最钝角原理是引人反映目标梯度与约束梯度夹角大小的“主元标”乍为确定变量进基优先性的依据，潘教授的数值试验11819表明此规则明显优于Bland规则。然而潘的方法仅适用于只含不等式约束的线性规划问题。为便于求解标准线性规划问题，许多学者在其基础上又提出了对偶主元标法。由于对偶主元标法是利用严格互补松弛来推导过度的，针对这一问题，又有学者提出了投影主元标法。

除此之外还有一系列最钝角原理在非人工变量两阶段算法1M21及亏基情况下的应用研究。这些研究表明，最钝角原理是克服单纯形法退化的一种有效方法。

基线算法的概念是1996年阮国桢教授提出来的1891，这种算法是单纯形法的发展，名字由来一方面是相对单纯形法（基点法）提出，另一方面是使用

基线算法的主要思想是：

其中疋FTX1;eRbERm为一个m阶单位矩阵。n是问题的维数，m是约束个数。把目标函数v=ff作为一个约束，看作参数。

Stef!以任意：>0所对应的变量作为进基变量，则x所在的列与单位矩阵一起构成了一个可行基B改写八=[N马，相应地改写X为[xrxo’，x为非基变量，x为基变量。于是方程组AX=[vb’可以写成Nx+Bx^Evl]’=a0+^0VStep求B1，以B1左乘，得B^1N^N+3B=B1[v]’=矿a0+B1⑷v

(2.1)

令a=B1a。，p=B-1仏则式（21河写作

Sep对任意巨{01，…，m}，令aA^vs0

计算出当前基线表对应的可行值区间[J-”。若h

…，n-L贝IJv为最优值，或者转SteP4

Sep旋转基表，更新BaP旋转基表时通常只使用有限软上界行的负可旋主元。对于负可旋主元的选择主要实现方法有：最大负主元算法[221，行列最好主元算法[231,保硬主元算法[24251等。

基线算法操作简单迭代次数少，求解速度快。相对单纯形法来说，单纯形法最多能搜索与当前极点相邻的n个极点，而基线算法能搜索11个二维面，这是基线算法能够快速求解LP问题的关键所在。

发展至今，基线算法已有其对偶算法[271，群部分算法['目标规划[29301,锥上算法[311等一整套的理论基础和一系列具体的快速实现算法12632,围绕着是否存在着多项式的基线算法，在计算复杂度方面作深入的研究将对线性规划的发展具有十分深远的意义。

3割平面法

线性规划算法中割平面思想的应用主要是指椭球法。1979年Khanchiaii33!改进Yudin和Nan-

ovski等[34]为凸规划开发的椭球法，获得了一个求解线形规划的多项式时间算法:椭球法。对问题②做出了明确回答。不同于单纯形法从一个基础可行解开始迭代，椭球法的特点是求解过程的每一阶段都有一个以某一点为中心的椭球，迭代是从一个包含最优解的较大的椭球迭代到包含最优解的较小的椭球直至逼近最优解。

为线性规划问题式（1.2)的规模。其中，lg]是以2为底的对数，「?]表示刚刚大于括号值的整数。则椭球法的时间复杂度为OML)

Khachiar椭!球法的主要思想是：

根据线性规划的强对偶定理，线性规划问题式(1.2)可以转为下列求可行域问题：

2)从球开始，这个球大到包括式（3l1)的所有可行集X不断构造一系列椭球，第k次迭代的椭球为Ek检验椭球中心&是否满足约束条件；若满

足则停止，否则利用割平面球的半椭球$Ek=EH

{aTA构造新的椭球更新椭球Ek+1为包含半椭球的最小体积椭球。按照这种算法下去直到椭球中心位于目标集内，椭球中心即为问题式（31)的解;否则椭球体积太小以至不含问题式（31)的可行解。

由于Khachiarn椭球法从构造包含可行域的大

的椭球出发，初始椭球体积有可能是天文数字，而且KhanCir椭球法利用K-K-T条件将原规划问题转

化为可行域求解问题，扩大了求解规模的同时加入了等式约束，使得可行集体积为零。虽然求解时，对等式进行摄动，可行集体积仍然很小。初始椭球体积太大，最终椭球（包含可行集的最小椭球）体积又几乎为零，算法可能需要经过非常大的迭代步数才能收敛。而且如果对偶问题无界则原问题不可行，因此当计算结果无解时不能判断是原问题无界呢还是原问题不可行。

不少研究者从加大每次迭代后椭球缩小比出发，提出了许多KhanCirn椭球法的改进算法:深切害J(deepeus)35-37、替代切割（surrogatecuts)381、

平行切割（paUMeus)|39-411等。最新成果是杨德庄等人提出的新的椭球法142,其优点在于引入目标束不等式及目标不等式组成，与原椭球法相比一方面大大缩小了算法求解规模，另一方面扩大了可行集的体积。而且新算法中可行集切割及目标切割交替进行，加速了椭球体积的缩小。不过令人失望的是即使最好的椭球法实施在计算上都难以与已有的单纯形法相比。因此，实际中很少作为一般方法使用1431。

然而线性规划的其他解法如单纯形法、内点法都需要从一个基础解出发，然后确定迭代方向、迭代步长，因此每次迭代都需要计算目标函数和所有约束函数。而椭球法的计算则简单得多，理论上来说椭球法对于约束条件多的问题更有效。

4内点法

1984年KamarH441提出了一个比Khanchian法好的多项式时间算法的内点法，称为Kamaikar法。由于该法引用了非线性规划中的牛顿投影，因此又称K_aka牧影法。

K_aka袪的提出在线性规划领域具有极大的理论意义。与椭球法不同，这个新算法不仅在最坏情况下在时间复杂度上优于单纯形法，在大型实际问题中也有潜力与单纯形法竞争。

这一方法的提出掀起了一股内点法的研究热潮。鉴于Kamaka?法的难读性，一些研究学者?对Kamaika袪进行了适度的修改，使其简便易读。然而直接用该方法编程解题的测试表明，与目前基于单纯形法的商用软件相比，并没有明显的优势1491。因此很多研究者在Kamarka法的基础上深入研究并提出了各种修正内点法方法：仿射尺度法，对数障碍函数法，路径跟踪法算法等。

仿射比例调节法又分为原（Ptme)仿射比例调节法和对偶（Dua)方射比例调节法。原仿射比例调节法是从原问题出发，用一个仿射变换代替投影变换，把坐标系从一个非负象限不是单纯形）映射到其本身。该法1967年由前苏联学者Dkii5(0提出，但他的工作直到Bame1]等人再次研究该法后才被法，另一方面作了完全的收敛性的证明。此外，1989年AdleP等发表了从原问题的对偶问题出发的对偶仿射比例调节法。

1986年G1531等人第一次把用于非线性规划的对数障碍函数法用于线性规划，并证明了对数障碍函数法和Kamarka投影法是等价的。以后的研究表明kamaikaf法实际上是广义对数障碍函数法的一个特殊情形。由于其计算方面的优越性，因此该法得到更多的研究和发展，该法也分为原对数障碍函数法和对偶对数障碍函数法。

原对偶（PrimaDua)各径跟踪法，实际上是原对偶障碍函数法，是MeidG19M541年提出的。他将包含对数障碍函数问题的障碍参数的唯一的最优解所构成的曲线称为一条路径或中心轨迹，当障碍参数趋近零时，中心轨迹的极限即为原问题的最优解。Kojma55'等最早（1987)提出收敛的算法，之后其他研究者对算法作了进一步的改进。为了找到起始可行解算法都要引进人工变量和附加约束条件，分别以适当的大数作系数和右端值，但算法对这些大数的选择很敏感易导致算法中数值的不稳定性。因此LustiTi等考虑使这些大数同时变为无穷大时坐标增量的“极限可行方向”该方向只改变了求最优解的方向，并不改变确定轨迹中心的方向，因而问题解法成为不可行问题原对偶牛顿法，其优点是对初始解不必引入人工变量。该法也可用类似形式应用于不可行原问题或对偶问题的方法中[57581。该法还便于处理有界变量问题。然而这个方法的计算复杂性尚未确知，没有一般收敛的算法的证明。此外，在方法的改进方面，出现了全面收敛不可行内点算法和预计改正法。

势函数下降法有基于Gezaga等人提出的原势函数下降法和Ye等人提出的原对偶势函数下降法,计算复杂性都达到较好指标。前者算法包含了两个搜索方向，且所有仿射变换方法都采用了最速下降方向。这方面的改进还有Kajmm等的原对偶势函数下降法等。由于上述势函数下降法的各种算法是基于一系列严格的可行解上，方法都要求说是难以做到的。显然直接采用不可行内点算法是最好的解决办法，因而Y，eTOdd和Misunol994年提

出了构建“齐次自对偶问题”的方法，该齐次自对偶问题的解则可以用Kajjna等的原对偶势函数下降法来解出。

在20世纪90年代内点法理论发展成一个相当成熟的原理。这一时期，对内点法理论的一个主要贡献来自YENesterov和八SNmirovski两位数学家[69。他们创建的Self-Cocrdant函数理论，使基于对数障碍函数的线性规划内点法很容易推广到更为复杂的优化问题上，如非线性凸规划、非线性互补、变分不等式、半定优化以及二阶锥优化等。目前自协调函数形式主要有：对数函数和商函数形式。

今天，内点法的研究热点主要转向于半定优化、半定互补、非凸优化及组合优化问题上。

5自协调函数理论

自协调函数可谓是线性规划算法研究的一个重大突破，也是我们后续研究的重点。自协调函数理论又名自协调障碍函数理论，为解线性和凸优化问题提供了多项式时间内点算法。根据自协调障碍函数的参数就可以分析内点算法的复杂性。

自协调函数定义：

一个凸函数fR-R对定义域内的任意x满足Lf"(x)<2f(x3/2,我们就称它为自协调函数。如果函数(Rn-R对于任意直线满足自协调条件，我们称函数§(9是自协调函数。

自协调函数理论的关键是算法的复杂性由自协调函数的两个参数决定，只要这两个参数可以推导出，则可求得算法的复杂性。

然而目前常用的自协调函数形式只有对数障碍函数形式:负对数函数：f=一Igx及负商函数加上负对数函数：f=xgx^lgP]。

最近CReas等m指出有些内核函数尽管没有全局自协调性，却能在局部自协调。而且，CR?s

部值也可以较好的求得算法的复杂性。基于CRQ0S的思想，金正静等1711提出了一个局部自协调函数，其形式如下

自协调函数理论的提出，为我们分析算法复杂性带来了极大的便利。然而以上的自协调函数形式都要求核函数为正，这为我们的研究带来了极大的限制。那么自协调函数是否存在不要求核函数为正的形式为我们研究自协调函数提供了方向。

6结束语

除了边界点算法，椭球法，内点法，线性规划还有有效集法等经典算法、杨德庄教授的新算法及遗传算法，神经网络等求解线性规划的智能计算方法，有兴趣者可参看有关文献。

本文对线性规划典型算法的研究成果做了简要的介绍及分析，大致讲述了线性规划算法研究的最新进展，为后续研究提供了一个借鉴方向。

简单的线性规划篇5

【摘要】建筑是城市建设中的重要部分，做好建筑设计工作对整个城市规划起着十分重要的作用，本文将对建筑设计如何与城市规划相协调进行简要探讨。

【关键词】建筑设计 城市规划

1.引言

城市是由一个个建筑组成的。城市要想可持续发展，必须要进行规划设计，因此城市规划与建筑设计的关系就显得十分微妙。如何处理好二者的关系是摆在我们面前的一项重要任务。本文就城市规划设计与建筑设计如何协调发展阐述了自己的看法。

2. 建筑设计应服从城市规划

随着经济快速发展，人口的不断增长，因而城市越来越多，规模越来越大 ，而城市以空间与环境利用为基础，由建筑、绿化、道路、水系、人文风景等共同组成的服务于人的空间地域系统。人在任何时候都在领会城市，城市提供给人们的各方面感受便是城市空间，我们对城市空间进行分析及设计，使人活动的区域空间和各区域空间之间的关系协调，就是城市规划。而城市规划是动态地解决和协调各类建筑之间的联系、建筑群的整体形象 ，以生态的、可持续的观点延续城市的历史，展望城市的未来，因此在城市的发展过程中城市规划对城市的有序发展起着重要作用。建筑作为城市构成的基础要素之一又必须服从于城市内容，他们之间在空间上是点与面的关系，好的建筑如同凝固的音乐，是城市的灵魂，但建筑也不能脱离城市环境，必须与城市环境相融合，因此建筑设计与城市规划同等重要。建筑师在设计单体或群体建筑时，必须考虑建筑的大环境和开发地盘红线内的小环境问题。在新的市场环境下，随着我国经济的飞速发展，建筑设计也得到了长足发展。在建筑创作繁荣的同时，也存在着令人担忧的问题，在快速发展中，建筑师在建筑创作时对人文的关注、对环境的关注显然不够，存在着一味追求“新、奇、特”而不考虑建筑物所处的环境问题。如北京的长安街，虽然每栋建筑单体都采用了中国最好的设计院和最优秀的建筑师的作品，而且在建筑造价上也毫不吝啬，就其艺术价值本身而言，仍然是业界人士批判的焦点，究其原因，主要不在于建筑本身造型，而在于对周围环境的忽视，以及强烈的个体表现欲所造成的整体不和谐；再如希腊的爱琴海上有一座叫伊特拉的小岛，每年都吸引大量的游客，尤其是摄影家和画家，被称为“艺术家之岛”，整座岛上布满了十分简单的希腊式的民居，连警察局、医院、饭店都化整为零 ，成为民居式建筑尺度。几百年来，岛上的居民始终恪守一个规则，就是所有建筑均不超过三层，所有外墙均为白色，这种热爱自然、相互协调的观点，已经形成了一种设计理念。可见，在城市规划设计的指导下，注重周围环境的协调，即使是最简单的建筑设计也能取得好的效果。

3.建筑设计与场地设计应协调

建筑设计不仅仅是对单个建筑物体的设计，还牵涉到场地设计问题。场地设计是为满足一个建设项目的要求 ，在基地现状条件和相关的法规、规范基础上，组织场地中各组成要素 （建筑、交通系统、室外活动设施、绿化景园设施、工程系统）之间关系的设计活动。其根本目的是通过设计使场地中各要素和谐，其中，建筑物是场地设计中的核心内容，与其它要素能形成一个有机的整体。分析如下：

（1）从工作内容上看。场地设计即是整个建筑设计中除建筑物单体的详细设计外所有的设计活动，一般包括建筑物、交通设施、绿化景园设施、场地竖向、工程设施等的总体安排以及交通设施 （道路、广场、停车场等）、绿化景园设施 （绿化、景园小品等 ）、场地竖向与工程设施（工程管线 ）的详细设计。

（2）从建设流程来看。实际建设流程中，一般首先是业主确定一个建设项目，并取得了相应的用地 ，然后再委托建筑师来设计，建筑师是在业主所提出的设计任务和基地条件的基础上开始工作的。设计者在进行具体的设计前要做细化和完善设计任务的工作，包括项目的组成内容 ，并对这些内容的规模、形式等一些有关问题做出较为明确的认定，同时要与业主协商，以取得一致的意见。

4.场地设计应服从城市规划

城市规划对场地设计的要求 ①体现在城市总体规划对于城市用地的发展方向和布局结构的控制上；②体现在控制性详细规划中。因控制性详细规划的要求是具体性的，对场地设计有更直接的影响，场地设计对控制性详细规划之中的土地使用和建筑布置等各项细则必须做出恰当的切实反应。这些要求一般包括：“对用地性质和用地范围的控制，对于容积率、建筑覆盖率、绿化覆盖率、建筑高度、建筑后退红线距离等方面的控制，以及对交通入口的方位规定等”。它们会对场地设计尤其是布局形态的确定构成决定性影响，分析如下：

（1）对用地性质的规划。具体建设项目的选址上，控制性详细规划限定这一项目只能在某一允许区域内选择基地地块；对用地进行开发的场地设计，控制性详细规划限定该地只能做一定性质的使用。

（2）对用地范围的控制。规划是由建筑红线与道路红线共同完成的。

（3）对用地强度的控制。是通过容积率、建筑覆盖率、绿化覆盖率等指标来实现的，通过对容积率、建筑覆盖率最大值及绿化覆盖率最小值来限定，可将基地使用强度控制在一个合适的范围之内。

（4）对建筑用地范围的控制。由建筑范围控制线来限定，即基地允许建造建筑物的区域。规划中一般都要求建筑范围控制线从红线退后一定距离。

（5）要求规划中对建筑高度、交通出入口的方位、建筑主要朝向、主入口方位等方面的要求，在场地设计中也应同时予以满足。

4.立足建筑设计，做好城市规划

建筑是基础，城市规划对建筑设计起着引导作用，通过规划将建筑组合形成有机的建筑群体空间，因此在对建筑进行设计时应考虑以下问题。

（1）结合环境。处理方法是①从城市区域规划出发设想建筑与大环境的结合：建筑的整体轮廓上，与周围的现有建筑呼应，立面上虚实对比、色彩处理与环境格调相协调，流线上符合环境的肌理。②从人的感觉出发想象建筑局部小环境的处理。通过人的生理和心理需求来感受塑造空间。

（2）造型。应有自己的风格，整体性强、简单中体现复杂，不变中起变化。这方面我喜欢板材效果，直接、明了、轻佻。

（3）理性。承传历史文脉，用抽象化的手法引用或延续历史的痕迹。

这方面最重要的是把视线集中在人的视觉所能及的范围内进行思考，视线所能及范围内着重考虑。高层建筑顶部以及多层屋顶等视线不能及处采用简洁处理，体现一定秩序，满足可能的俯瞰效果，并从墙面倾斜、局部层高处理等来控制人的视线和控制小环境。如曲面玻璃可将天空反射向地面，使局部低层或镂空引进阳光等。

建筑作为城市的重要构成要素，同时也反映出城市文化和历史。重要的标志性建筑是一个城市的象征，它的好坏对一个城市的形象有着很大影响。所以在建筑方案设计时不仅要关注建筑物本身，而且还应关注其是否与周围环境相协调，即要在城市规划设计的指导下对建筑进行设计。

5.总结

简单的线性规划篇6

关键词：配电网；规划；问题

中图分类号：TM73文献标识码：A文章编号：1009-0118（2012）12-0197-02

为了使我国配网的改造及建设更加科学合理、经济运行，必须加强对目前配网规划的调查和研究，发现目前配电网规划存在的问题，以保证配电网规划符合目前电力系统发展需要。文章根据目前配电网主要规划步骤：分析配网现状、预测电力负荷、制定技术原则、分析电力平衡、制定规划方案、科学计算分析、验证规划方案等，查到出目前配电网规划存在的问题，并提出针对性的配电网规划策略。

一、配电网规划普遍问题分析

（一）配电网现状分析不全面。大部分地区对配电网现状的分析不透彻，不能按照配电网规划内容要求进行深入细致的分析，存在文字表述不清、基础数据收集不全、数据不准确、前后数据不对应、容载比与负载率概念混淆的等问题，不能切合实际地反映出配电网存在的问题。对低压配电网的现状也没有进行深人细致分析。如：有的地区只是简单的介绍存在无功缺乏电压偏低问题，但没有具体的数值计算分析；有些地区对线路负载率及联络方式分析简单，不能反映出线路的薄弱环节等问题。

（二）设备选型不合理。普遍存住电缆、导线、变压器、电容器、TA、开关、断路器等主设备选型时没有进行充分的技术分析和相关计算，片面地追求截面和容量（认为越大越好）；出线间隔、负荷互带、供电半径等没有按照规划导则、技术标准和实际负荷进行计算分析。有些地区只是简单地更换大截面导线或大容量设备，造成大量的浪费，甚至存在将所有的设备重新更换的现象。造成资金浪费；同时未对运行中的设备进行全寿命技术分析。不能充分保证设备安全经济运行。

（三）电缆敷设不合理。由于在城市配网规划中对电缆入地没有具体的规定，同时与地方政府的沟通不够充分，存在一些新建城市在市政建设中片面追求城市的美观，不切合实际地提出将电缆全部入地的要求；还有个别地区存在既未考虑配电网运行维护、事故抢修的资金投入，又未经电力部门专家的指导，直接将电缆埋入地下等问题，不仅造成很大的资金浪费，也给今后城市配网的安全运行埋下了隐患，同时给维护管理带来了极大的不便。

（四）负荷预测及电气计算准确性不高。配电网规划中，由于缺乏负荷顶测方面的专业知识和科学的计算软件，历史数据又不全，导致负荷预测结果不准确，造成电源点分布、线路路径等网架结构方案误差大；电气潮流计算、短路电流、无功电压等计算偏差较大；线损牢、电压、短路水平等没有按照要求进行校验，甚至有些地区的规划方案没有进行电气计箅，缺乏必要的理论依据，造成规划的科学性和可行性较差。

（五）技经指导原则缺乏，投资估算不准确。大部分地区取费标准小统一，缺乏技术原则指导。如：某地区同型号的电缆单位造价分别是180万元/km和100万元/km：同一厂家相同型号的环网柜造价分别是3万元/台和15万元/台；某几个地区的无功补偿装置的价格分别是425元/kvar、200元/kvar：居民的计量改造投资分别是600元/户、200无/户不等，造成规划的投资估算差别较大。

（六）效益评估简单。对改造后的网架结构没有全面、深入、科学、细致的开展计算分析，缺乏规划前后供电可靠性、供电能力提升，线损率等一些重要指标的对比。经济效益评估简单。没有进行充分的科学计算论证，只通过一些简单的电量收益进行估算，不能为投资决策提供可信的依据。如：某地区配电网规划面积为90km2，3a的改造和新建项目投资达10亿元，只进行了粗略的效益估算。没有进行详细准确的效益评估。

（七）配网自动化建设落后。由于我国配网自动化工作起步晚，相应的技术政策、标准等较少：同时由于配电网自动化涉及的范围广，点多量大，早期的配电网络已基本形成，只在原有配电网的基础上进行自动化改造难度大。为此某些地区配电网自动化建设采取个别线路作为试点成功后逐步推行的原则，满足不了应用的需要。有些地区的供电局在配网自动化的建设规划方面以介绍系统为主，对具体工程、对一次设备的选择及有关技术要求上缺乏统筹规划，没有与实际情况相结合，缺乏完善统一的管理模式。

（八）配电网与主网的建设发展不协调。主网规划对配电网规划起着导向作用，配电网规划是主网规划的基础，也是配网改造和建设的关键环节，对电网后期工作起着主导作用。由于近几年资金主要投入了主网，对中低压配电网投入较少，使得中低压配电网建设一直处于落后状态，地区城市配网规划与主网规划没有统筹协调发展，造成了局部地区供电半径大、损耗高、电压低、可靠性差等问题。

（九）配电网与城市建设发展不协调。配电网络是城市的重要基础设施之一，应纳入城市改造和建没的统一规划中。由于配网规划部门与地方经济管理部门、城市规划部门沟通不力，地方政府没有将城市配网规划纳入城市整体规划当中；在有些地区，电力部门规划甚至需要高价购买城市整体规划图来完成配电网的规划，客观上造成了城市配网规划与地区经济发展、城市建设规划相互脱节，甚至落后于地区经济发展、城市建设规划，不能很好地为地方经济建设服务，与市政建设协调发展。

因此，需要强化其重要性和权威性。使城市配电网规划工作实现常态化、规范化、制度化、法制化。

二、配电网规划建议分析

（一）高度重视配电网规划工作

简单的线性规划篇7

关键词：经济数学；EXCEL；简化

数学教育心理学的先驱斯根普曾经说过“数学已经太复杂，能不能把它上得简单一些呢?”他认为把数学教得简单易学，其本质在于着力揭示数学“有趣而美好”的一面，尽量避开其“困难而丑陋”的另一面。秉承这种思想，笔者总结多年的教学经验，提出在经济数学中引入常用办公软件Excel，以简化学生的学习过程，收到了较好的效果。

经济数学是经济管理专业的一门重要工具课，其任务是专业服务和素质培养，即培养学生用数学知识、思想和方法分析解决经济问题的能力，支撑统计实用技术、会计实务和财务管理等后续课程。其性质和任务决定了教师要突破传统的数学教学内容体系和教学模式，重视数学思想，重视经济应用，采用传统教学手段与现代教学手段相结合的方式提高教学效果。在经济数学的学习中师生会遇到求盈亏平衡点、驻点、最大值、定积分、行列式、矩阵、线性方程组和线性规划等问题，演算时要耗费大量时间和精力。随着社会的信息化，办公、学习自动化已成为趋势。因此，我们有必要在经济数学的教学中引入数学软件MATLAB或办公软件EXCEL简化学习，因一般办公或家庭电脑基本安装EXCEL，学生也都学过EXCEL的基本知识，故笔者推荐使用EXCEL。利用EXCEL丰富的函数和强大的数据分析、计算功能，可以简便地解决下述问题。

一、解方程

在求市场均衡点、盈亏平衡点、驻点、最大/小值的过程中都必须用到解方程。利用EXCEL可方便地求解一元一次方程、一元二次方程。

如若是一元一次方程，可用“单变量求解”这一命令。比如求解“8x 5 = 3”，可以先在某单元格（如A1）输入“= 8 * B1 - 5”，B1代表变量x，此时A1显示值为 - 5。接着运行命令“单变量求解”，在弹出的对话框填上数据：“目标单元格”为“A1”、“目标值”为方程右边的值“3”、“可变单元格”为变量x所在单元格“B1“。点击“确定”则会显示结果：单元格“A1”的值此时为目标值“3”，B1的值为变量x的解“1”。值得注意的是，运用此方法一定要符合方程一边含变量，一边不含变量的条件，否则要先进行移项处理。

若是一元二次方程，可用“规划求解”命令。“规划求解”这一功能，在“工具”菜单中若没有出现，则需在菜单栏“工具”中运用“加载宏”的命令，在对话框的“当前加载宏”的列表框中选中“规划求解”。若“当前加载宏”的列表框中没有“规划求解加载宏”一行，则需重新安装Excel（自定义安装）。比如求解方程q2-8q+12=0，可在某一单元格（设A1）输入“= B1 ^ 2 8 * B1 + 12”，B1代表变量q。因为“规划求解”命令只能显示一个解，当方程有多解时，可利用方程的对称轴作为约束条件得到不同的解。本题的对称轴X=4。执行命令“规划求解”，在弹出的对话框填上：设置目标单元格为“A1”、等于值为“0”、可变单元格为“B1”，添加设置约束条件为“B1

此时，在另一单元格（设A2）输入“=B2^2-8*B2+12”，B2代表变量q。在“规划求解”弹出的对话框填上：设置目标单元格为“A2”、等于值为“0”、可变单元格为“B2”，添加设置约束条件为“B2>=4” （若存在其它约束条件则删除），可得到变量q的另一个解“4”。如若方程无解，执行“规划求解”这一命令后会提示“解不收敛”。

解一元二次方程时，相对于“单变量求解”，用“规划求解”命令，所得到的解更全面、更精确。

二、求定积分

学生在学习积分、定积分时经常会遇到很多问题，笔者认为求解时利用工具软件EXCEL中的VB编辑器比较方便。有学者提出可运用随机模拟方法，这是一种用概率模型来近似计算的方法，它是通过以随机取样为基础的统计估值来解决自然科学、工程技术和控制管理中一些带概率性质或决定性质问题的一种实验数学方法。

在EXCEL中运行“Visual Basic编辑器”，输入VB程序，调试运行求■e■dx（a、b为任意实数）的解。当然，由于涉及概率模型，要求n的值足够大（即实验次数足够多），得出的结果才准确。当n=107时，可得到其值为1.718（3位有效数）。

Sub test1()

Dim a As Double

Dim b As Double

Dim lna As Long

Dim lnb As Long

Dim lnm As Long

Dim n As Long

Dim n0 As Long

Dim m As Double

Dim x As Double

Dim y As Double

a = InputBox("请输入积分下限a"，"积分下限"，"")

b = InputBox("请输入积分上限b"， "积分上限"， "")

n = InputBox("请输入模拟投点的次数n"， "模拟投点的次数"， "")

m = Exp(a) + Exp(b)

Dim tmp， xs As Integer

xs = 1

If a > b Then

tmp = a

a = b

b = tmp

xs = -1

End If

lnA = a * 10 ^ 6

lnB = b * 10 ^ 6

lnM = M * 10 ^ 6

Dim i

Dim tmpY As Double

i = 1

Do While i

Randomize

X = Int((lnB - lnA + 1) * Rnd + lnA) / 10 ^ 6

Y = Int((lnM - 0 + 1) * Rnd + 0) / 10 ^ 6

tmpY =Exp(x)

If tmpY >= Y Then

n0 = n0 + 1

End If

i = i + 1

Loop

MsgBox xs * M * (b - a) * n0 / n

End Sub

推而广之，若求其它函数的定积分只需将画线部分的函数名改变即可。

三、矩阵运算及求n阶行列式的值

同型矩阵求和、矩阵转置、矩阵乘积、矩阵求逆及n阶行列式求值，都可利用EXCEL所提供的函数方便地求出结果。首先，输入源矩阵；接着，选定结果矩阵存放区域；第三步，构造计算公式，选取合适的函数对源区域数据进行运算；最后，点击编辑栏，按复合键Ctrl + Shift + Enter，使计算公式公式括上{ }，按Enter可得计算结果。第三步若选用TRANSPOSE(array)可求转置矩阵，若选用MMULT(array1，array2)可求矩阵乘积，若选用MINVERSE(array)可求逆矩阵，若选用MDETERM(array)可得n阶行列式的值。至于矩阵求和，由于没有对应的函数，需在编辑栏中输入公式“= A矩阵区域 + B矩阵区域”。

四、解n元线性方程组

解n元线性方程组的一般方法是消元法，在这里笔者提出一种特殊的n元线性方程组的解法。这种方程组未知量个数与方程个数相同，且系数矩阵（设为A）可逆，其解是唯一的。判断一个线性方程组是否属于这种特殊情况的方法是：确认未知量个数与方程个数相同后，用EXCEL计算系数矩阵A的行列式，若不等于0则A可逆。利用EXCEL求解时，既可用矩阵求解也可用规划求解。

这种特殊的n元线性方程组用矩阵求解，可表示为矩阵方程AX=B（A为系数矩阵、X为变量矩阵、B为常数矩阵），其解X=A-1B。只需利用EXCEL的函数 MINVERSE(array)先求出A-1，再用函数MMULT(array1，array2)计算A-1与B的乘积。

比如普通的n元线性方程组■可用规划求解，首先，在某一单元格（设A1）输入公式“=2*B1+B2”，在另两个单元格（设A2、A3）分别输入公式“=-B1+B2+2*B3”“=3*B1-2*B2-4*B3”，B1、B2、B3分别代表变量X1、X2、X3。执行命令“规划求解”，在弹出的对话框填上：设置目标单元格“A1”、等于“值为5”、可变单元格为“B1：B3”，查看约束条件，把以前存在的不需要的条件删除，然后点击“添加”按钮添加第一个约束条件“A2=3”，再添加第二个约束条件“A3=2”，点击“确定”按钮，检查确认各选项正确，再点击“求解”，显示结果B1=8、B2=-11、B3=11分别为X1、X2、X3的解。

基于上述四个应用，笔者认为有必要在经济数学的教材中引入常用工具软件EXCEL，不但可以提高教师的教学效果，也可以激发学生的兴趣，极大地提高学习效率。

(作者单位：汕头广播电视大学)

参考文献：

[1] 段云辉. 用Excel解方程（组）[J]. 计算机世界日报，1999，(11).

简单的线性规划篇8

摘 要：课堂教学过程的设计，对课程教学效果有很大影响，每一位老师都有自己上课的特点和风格，但是上好每一堂课是共同的追求。课堂教学的每个环节的细致安排；每一个知识点的设置和拓展；每一次作业的布置和讲解。任课教师考虑的越周全，教学效果就会越好，本文拟从环境艺术设计专业的《CAD制图》课程，讨论对课堂教学过程的设计。

关键词：课堂教学过程设计、教学环节、教学内容。

专业技能课，相对于专业理论课来说，更受学生的欢迎，但是对教师的要求也就更高，对课堂教学过程的设计也更有讲究。以《CAD制图》课程为例，因为涉及到的专业不同，如城市规划、环境艺术设计等专业都开设了这门课程，因为教学任务不一样，对课程的教学过程设置也就会有区别。本人多年从事城市规划专业和环境艺术设计专业的《CAD制图》课程教学，针对两个不同专业的课堂教学，进行了对比和思考，对课堂教学过程进行设计，取得了一定进展，学生反映较好。本文拟以环境艺术设计专业的《CAD制图》课程为例，讨论对课堂教学过程的设计。

一、课堂教学环节的划分。

CAD制图对于环境艺术设计专业来说，属于基础性的辅助技能，以后在进行室内设计、建筑设计、规划设计等设计活动时都需要CAD制图进行辅助。因此在课堂上对教学环节进行细分，分为图纸赏析环节、基础理论环节、操作示范环节、答疑解难环节和个人实践环节。

图纸赏析：帮助学生认识各种CAD图纸，包括等高线地形图、总规划图、建筑平立面图、室内装饰平立面图的图纸，同时使他们明白本门课程最终需要完成什么目的。

理论讲解：帮助学生了解AutoCAD软件，最基本的操作命令留给学生自己熟悉，主要讲解线框的绘制，图层的处理，线条的各种变化，图形的组合及分离，以及打印的样式设置等。

操作示范：由简单到复杂，分阶段完成基础操作、简单物体绘制、平面图纸绘制、立面图纸绘制的示范。

个人实践：在课堂上留出时间让学生进行实践操作，同时为学生解决遇到的各种问题。

二、课时的划分。

环境艺术设计专业的《CAD制图》课程的总课时为64课时，相对而言课时比较紧，而且比较集中，通常是一个半天四个课时，这就方便示范和学生操作连在一起。课时分配上1课时用于图纸赏析，3课时用于基本理论讲解，20课时用于示范操作，40课时用于学生实践操作。

三、教学内容的变化。

第三部分（操作示范）是最花精力，也是学生最感兴趣的环节，通常学生接受多少，接受程度的强弱也就取决于第三个环节的教学。在第三个环节的教学中，我进行了五种类型的操作演示，分别为基础线条、简单物体、室内装饰平立面图以及规划设计图。

基础线条：演示直线、曲线和其他简单图形的绘制以及变化，通过线条和图形的组合、排列，形成比较美观的图案。这个教学过程是为了让学生熟悉CAD软件，是学生了解怎样通过CAD软件去实现个人的设计想法。

简单物体：演示各类家具的平面图、立面图的绘制方法，局部细节图的剖面绘制方法等。这个教学过程能极大的调动学生的学习兴趣，充分发挥学生的主观能动性和创造力，同时这个过程也是学生提问最多的过程，相较于前面一个阶段来说，这个阶段涉及到更广的CAD软件的知识，这就迫使他们去思考、提问、获得答案，从而加深印象。

室内装饰平立面图：通过前两个阶段的演示和学生的自主实践，学生对CAD制图有了初步的了解。在这个阶段教学的示范中，通过对一套图纸的明面布置图、立面图的绘制，使学生对室内装饰CAD图纸有个比较明确的印象，并能通过临摹的形式，独立完成符合制图标准的CAD图纸。在此过程中不断强调制图的规范和各种要求，帮助他们理解，加深他们印象。

规划设计图：相对于室内装饰平面图来说，规划设计图涉及了等高线的处理，植物绿化以及水面的处理，但由于规划设计本身是一个比较复杂的系统，在这个课程上只能简单的演示，让学生有个初步的了解而已。

四、作业的循序渐进。

整个课程设计了四次作业，由简单到复杂，由浅至深的循序渐进。每次做完操作示范之后督促学生在课堂上完成，一方面减少学生的课余作业压力，让他们有更多实践自己探索，另一方面在课堂上随时解决学生的问题，最重要的是防止学生复制拷贝。较为复杂的综合性作业，为每一位学生单独准备了一套图纸，让他们独立完成，并根据每一位学生的图纸标准化、美观性予以评分。

第一次作业：线条的简单形态及排列艺术。以此让学生熟悉AutoCAD软件，并能灵活运用简单的绘制命令。

第二次作业：装饰部件的平面图和立面图的绘制，如床、沙发、茶几、书桌、地板拼花等。这次作业的目的是为了让学生对CAD软件有个综合性的了解，对软件的[修改]命令有所了解。

第三次作业：一套室内平面装饰图纸的临摹。有了前两次作业的铺垫，第三次作业主要是为了让学生熟悉室内设计平面图和立面图，促使他们主动的去学习规范制图的方法。

第四次作业：给每一位同学发一份各不相同的户型图，让他们根据各自的户型图绘制平面布置图、顶面布置图及各立面图。

关于《CAD制图》的课程，经过几年的摸索和探讨，得到了许多前辈和同事的建议和指点，针对环境艺术设计专业，进行了优化使它区别了其他专业的同类课程，更具有针对性。将课堂教学过程进行这样的设计，有四个方面的好处，一是展示课程的趣味性调动了学生的学习积极性；二是有比较完整的演示流程，确保每一个学生都能有所收获；三是保留了充足的时间让学生练习并为他们解答疑难；四是防止学生简单的相互复制和拷贝，提高了学生作业质量。