时间：2023-10-25 02:56:50
关键词：教材教法；数学概念；实例分析；概念内涵；外延
在高中数学教学中，教师往往面临学生数学基础参差不齐，学习能力高低不一的问题。因此，深刻理解数学概念命名的特点，其内涵和外延的具体表征，对于数学教学有着重要意义。下面通过实例简单分析如何突出高中数学中的概念教学优化。
一、注重概念命名特点
数学概念的命名是有依据的，或者说是有作用的。从概念的命名方式上去探究概念的形成过程，将更有助于学生记忆、有助于教学。然而一些学生混淆概念，致使解答错误。
案例1：在“函数的奇偶性”一节的教学中，教师常规教学环节是：引生活中的实例，如飞机、蝴蝶等轴对称图形，直接给出偶函数的概念，即“在定义域内，对任意的x，都有f（-x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数”，接着就进入偶函数的应用。
我们不禁会问，为什么图象关于y轴对称，符合f（-x）=f（x）的函数被称之为“偶函数”，称为别的名称是否更恰当？学生一般不会从这个角度思考。所以，事实上“偶函数”的概念尚未生成，这时，可以通过对概念的特点做进一步阐释来使学生更好地理解和掌握概念的含义。如“偶”在字典中被解释为“双，对，成双成对”的意思，让学生有“左右对仗要工整”的感觉。
与此相似，在讲解“奇函数”概念时，就“奇函数图象关于原点对称”的知识点，或可提出：“当一个人的身体左侧肢体高于右侧（或右侧高于左侧）时，我们称这样的人为‘畸形’。是否可以借助此‘畸’记忆彼‘奇’呢。”通过类似这样的讲解，一方面引起了学生极大的学习兴趣，另一方面让“函数的奇偶性”概念在学生心中生根发芽。
由此可见，分析“名称”不仅适合“数学概念”学习，也有利于培养学生采用发散、逆向等数学思维来运用数学概念解决数学问题。
二、注重概念内涵的理解
实践证明，若没有确切掌握概念的内涵，在解题实践时，不免会在细节点上摔跟头。对高中数学概念的内涵阐述须精确，其严谨性在立体几何模块部分表现尤为明显。
案例2：（2011年北京东城检测题）给定下列四个命题：
1.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行。
2.若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直。
3.若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面。
4.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是（ ）
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
分析：两面平行的判定定理的严谨性，以及对直线与平面垂直定义的理解程度。经分析可知，两面平行，要求一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面才相互平行，故①错。由直线与平面垂直定义，直线与平面垂直，则直线与平面所成角为90°度，反之，另一平行平面平行移动，直线与另一平面所成角也为90°，直线与另一平面垂直，故②正确。③直线可能在平面内（学生惯性思维易犯错误）；两个平面垂直，一个平面内与它们的交线不垂直的直线在另一个平面内的射影恰好是交线，由直线与平面垂直定义可知，若直线与另一个平面垂直，则它与交线所成角为90°，显然不成立，故④正确。本题选择D。仔细观察，不难看出命题一：“经过一条直线和一个点有一个平面。”与命题二：“经过一条直线和一个点可以确定一个平面。”这两个命题之间差异极小，但命题一为真命题，命题二却为假命题。由此可见，高中数学教师在数学概念的教学中要反复思考，充分挖掘概念的内涵，让学生全方位、多角度地接受新概念，力求精准。
三、注重概念的外延
案例3：（2014年湖卷第6题）若函数f（x）g（x）满足？蘩1-1f（x）g（x）dx=0，则称f（x）g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数。给出三组函数：
①f（x）g=sin■x，g（x）=cos■x；②f（x）=x+1，g（x）=x-1；③f（x）=x，g（x）=x2。其中在区间[-1，1]上的正交函数的组数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
本题考查学生对概念内涵的理解程度。本题中的概念强调定积分值为0。由微积分基本定理可知：？蘩1-1f（x）g（x）dx=F（x）|1-1=F（1）-F（-1）=0，所以F（1）=F（-1），被积函数的原函数F（x）符合偶函数特点。原函数为偶函数，则原函数的导函数为奇函数。所以①和③正确。故选C。
通过此题不难看出，学生对函数奇偶性的概念要熟练掌握，能应用概念解决类似问题。
在高中数学教学中，可以通过优化数学概念教学，帮助学生深刻理解和掌握数学概念命名特点，提高运用数学概念内涵和外延处理数学问题的能力，使学生逐渐形成扎实的数学基础和数学逻辑思维能力。
参考文献：
[1]范习昱.解题教学需要五种意识[J].中学数学研究，2014（01）.
课题
画长方形和正方形
课型
新授课
设计说明
数学教学中，教师应十分重视学生获取知识的思维过程，重视培养和发展学生的思维能力。在本节课的教学过程中，应尽可能地淡化教师教的痕迹，突出学生学的过程。从学生已有的知识经验中出发，给学生独立探索的空间，激发学生的求知欲。运用知识的迁移规律，让学生主动探究画长方形和正方形的画法。在探究长方形和正方形画法的过程中，适时提出：长方形的长和宽有什么位置关系？正方形的四条边又有什么样的关系呢？引导学生用画垂线方法帮助我们规范地画出学过的几何图形，从复习熟悉的长方形、正方形特征，到邻边的位置关系互相垂直，可以使学生在回顾中建构知识网络，贯通知识之间的联系，自然而然的进入新课，目标明确，学生活动有序、有效地进行。为学生提供了自由发挥的平台，激发了学生的兴趣。
学习目标
1.会利用画垂线的方法准确地画出长方形和正方形，培养学生作图的能力，培养学生用已有的知识经验解决问题，培养合作能力和交流能力。
2.经历解决“画长方形和正方形”问题的过程，掌握利用垂线画长方形和正方形的方法，培养学生的审题意识和倾听习惯。
3.通过活动，让学生从中感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。
学习重点
掌握长方形和正方形的画法。
学习难点
应用垂直与平行知识解决实际问题。
学前准备
教具准备：PPT课件
三角板
学具准备：三角板
课时安排
1课时
教学环节
导案
学案
达标检测
一、谈话导入。
（5分钟）
1.同学们，老师拿的这张纸是什么形状？（长方形）你能在长方形纸上找到我们学过的平行和垂直吗？
2.那你会在纸上画一个长方形吗？同样地，我要是拿出一个正方形，你们能找到它的特征吗？会画吗？教师引入课题。
1.同学们自由交流。
2.学生独立画一画，思考解决问题的方法。
1.在一个正方形中，有（
）组线段互相垂直。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：D
2.画一个宽为2cm,长为3cm的长方形
答案：
3.在一个长方形里截取最大的正方形，只能截取一个吗？为什么？
答案：不是，在长方形里截取最大的正方形，要看长是宽的几倍。是几倍就能截取几个。
4.画一个边长为3cm的正方形
答案：
5.过顶点A作三角形的垂线。
二、动手操作、探究新知。
（20分钟）
1．复习长方形和正方形的特征
（1）你知道长方形和正方形有什么特征吗？相邻的两条边有什么位置关系？①长方形：对边平行且长度相等，邻边互相垂直②正方形：对边平行，邻边互相垂直且四条边相等。
（2）要想规范地画出长方形和正方形，有什么好办法吗？
师生共同明确：画垂线可以帮助我们规范地画出学过的几何图形。如:长方形、正方形……
2.教学长方形的画法。（课件出示例4）
（1）知道了长方形的长和宽，怎么画一个长方形？需要用到什么工具？学生自由交流。
（2）那先画什么？再画什么？小组交流画法。
（3）指导运用画垂线的方法尝试画长方形，互相检验所画长方形是否规范。
（4）多媒体课件演示画长方形。
（5）引导学生逐步用规范的语言归纳长方形的画法。
1.（1）回忆长方形和正方形的特征，自由交流。
（2）认真倾听老师的讲解
2.（1）学生在交流中得出：需要借助有刻度的尺子画线段，利用画垂线的方法用三角板画长方形、正方形相邻的两条边。
（2）交流中理解：要先画其中的一条线段，然后再画垂线段，最后画平行的线段。
（3）独立画出长10厘米、宽8厘米的长方形和边长为10厘米的正方形。同桌间互相检查。
（4）与自己的画法对比，反思中规范自己的画法。
（5）学生在小结中理解，巩固长方形、正方形的画法。
先画出一条线段，然后用画垂线的方法画出另外两条垂线段，最后画平行的线段。
(6)正方形的画法和长方形的画法大致相同，只是正方形的四条边相等，所以在画正方形时，长和宽大小相等即为正方形，因此在这里不做详细讲解。
三、巩固练习。
（11分钟）
完成教材第60页“做一做”。
学生独立完成，教师巡视指导，相互订正。
四、课堂总结，布置作业。（4分钟）
1.通过今天的学习，你有什么收获？
2.布置作业。
1.交流自己本节课的收获。
2.独立完成作业。
教学过程中老师的疑问：
五、教学板书
六、教学反思
“画长方形和正方形”这节课教学之前，学生已学习过长方形、正方形的特征，垂线的画法，有了一定的知识基础和作图能力，只要把这两个知识点实现融会贯通后，教学难点也就实现了突破。在此我只起到引导和点拨的作用。大胆放手让学生通过自主学习进行归纳总结。在引导学生归纳总结时，对正确的见解及时给予肯定和鼓励。大大调动其他学生的积极性和增加学生回答问题的勇气。这样其他学生就能自主的给予补充修正，充分发挥协作学习的作用，达到了事半功倍的效果。
让我们用两根食指比划比划每组中直线的位置关系。如果让你给这几种情况分类，你打算怎么分?先自己独立思考，再与小组同学交流交流，小组长做好记录和总结。以下是为大家整理的数学两条直线之间的关系教学案例资料，提供参考，希望对你有所帮助，欢迎你的阅读。
数学两条直线之间的关系教学案例一
两条笔直的铁轨，看成两条直线，把它们画在纸上，它们的位置关系如同等号。如果你也来画两条直线，还会有什么不同的位置关系呢?
学生画一画。
(二)、分一分，初步感知平行与垂直的特点
1、让我们用两根食指比划比划每组中直线的位置关系。如果让你给这几种情况分类，你打算怎么分?先自己独立思考，再与小组同学交流交流，小组长做好记录和总结。
2、、交流分类情况。
可能出现以下几种分法：
第一种：分两类——相交、不相交
第二种：分三类—— 相交、快要相交的，不相交
第三种：分四类—— 相交、快要相交的，不相交，相交成直角的。
(三)、归纳特点，探究规律
平行：
1、大家先来看第一类，这一类的两条直线的位置有什么特点，想象一下再画长点，会相交吗?
2、像这样的两条直线我们就叫平行线，谁能用自己的语言说一说，什么是平行线?
3、我们打开书56页，看看书中是怎么定义平行线的。(齐读)
4、在这个概念中，你想提醒同学们注意些什么?(“同一平面内”，“互相平行”)
5、引导学生正确表述两条直线互相平行。
6、介绍用符号表示平行线的方法。
7、出示课件：判断是否成平行关系。
8、再一次出示铁轨，你还能举出生活中平行的例子吗?
垂直：
1、下面我们再来看看第二类直线有哪些共同特点?(有交点，都成了四个角)能不能按照角的大小也把它们分分类?有的四个角都是直角，有的四个角不是直角)，你怎么知道他们相交后形成的角是直角呢?(三角板、量角器)，
2、谁知道像这样两条直线相交成直角是什么关系?
3、谁能用自己的语言说一说，什么是互相垂直?
4、我们打开书57页，看看书中是怎么定义互相垂直的。(齐读)
5、在这个概念中，你想提醒同学们注意些什么?(“相交成直角”，“互相垂直”)
6、引导学生正确表述两条直线互相垂直。
6、介绍用符号表示互相垂直的方法。
7、完成题卡：判断每组中两条直线的位置关系，并用符号表示出平行和垂直,写出读法。
8、生活中，很多时候平行和垂直都是同时存在的，把它们掺杂在下起，同学们能区分出来吗?
(四)、小结，梳理知识结构
刚才，同学们在画一画，分一分、说一说、找一找等探究活动中，知道了在同一个平面内的两条直线的位置关系可以分成两大类，相交和不相交。不相交的这一类叫做平行。相交的这一类按照是否成直角也可以分成两类，其中相交成直角的叫做垂直。生活中有了平行和垂直，我们的世界变得更加有序和美丽。
(五)、拓展练习，巩固知识
辨析题：1、两条不相交的直线叫平行线。
2、同一平面内的两条直线不平行就相交。
3、垂线和直角如同孪生兄弟，有垂线的地方就有直角。
4、如图 + 直线b叫垂线。
(六)、拓展提升
本节课，我们主要研究了同一个平面内两条直线平行和垂直的关系，如果再加入一条直线，你还能弄清它们之间的关系吗?
出示：如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线之间是什么关系?
如果两条直线都与第三条直线垂直，那么，这两条直线之间是什么关系?
(七)联系生活实际，进一步提升平行与垂直的应用价值
出示图片：(铅锤测平行，水平仪定平行垂直，测量跳远成绩)
引导学生了解平行和垂直在生活中的应用，引发学生的深度思考，为下节课做渗透。
板书： 平行与垂直
不相交—平行 (∥ )( = )( )记作： a//b读作：a平行于b
同一平面内
相交—成直角—垂直( )(+)(⊥) 记作：a⊥b读作：a垂直于b
数学两条直线之间的关系教学案例二
知识与技能目标：
1、使学生初步理解垂直与平行是同一个平面内两条直线的两种特殊的位置关系。
2、学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。
过程与方法目标：
学生在小组合作学习的过程中理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，培养学生的空间观念及空间想象能力，合作探究能力。
情感、态度与价值观目标：
1、 通过讨论交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。
2、 学生在具体的情境中感受“垂直与平行”来源于生活，在知识形成过程中体验数学的价值。
【教学重点】
正确理解“同一个平面”“相交” “互相平行” “互相垂直” “平行线” “垂线”等概念，发展学生的空间想象能力。
【教学难点】
正确判断两条直线之间的位置关系(尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解)和对“同一平面”的正确理解。
【教学用具】
白纸、尺子、三角板、水彩笔一支、小棒、多媒体
教学过程：
一、画图感知、研究两条直线在同一平面内的位置关系。
1、 今天这节课老师请来了一个老朋友，他是一条直线，那么直线有什么特点呢? (没有端点，可以向两边无限延伸)
师：直线就像孙悟空的…?
生：金箍棒。
2、想象活动(想象纸面上两条直线的位置关系)
师：老师和同学们都有同样的一张纸,现在请大家拿出来平放在桌上摸一摸这纸，然后谈谈你的发现。
生：这张纸很薄。
生：这张纸的表面是平平的。
师：也就是说我们手中的这张纸的面是一个平面。 (学生活动感知纸面是一个平面。)
师：同学们我们现在来想象一下，如果把这个面无限扩大，闭上眼睛想象一下，它是什么样子?
生：很大很大，越来越大。 (学生闭上眼睛想象)
师：如果在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线，现在请你想一想这两条直线的位置关系是怎样的?会有哪几种不同的情况呢?(学生想象)
3、在纸上画出想象中的两条直线。 每个同学手中都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法画下来。注意，一张白纸上只画一种情况。开始吧。(学生试画，教师巡视)
设计意图：通过学生的观察与想象，感知并感受无限大的平面。为下一步进行两条直线间位置关系的想象提供一个可操作的平台。想象平面上出现两条直线，不是让学生直接想象两条直线，而是一条一条的出现，有利于学生想象出更多的两条直线间的位置关系，培养学生空间想象力。一张纸上只画一种情况，目的提高学生分类时的可操作性。
二、观察分类，了解平行与垂直的特征。
(一)展示各种情况。
1、请你的同桌欣赏一下你的作品。
2、将你自己的作品展示给你所在的小组同学，并选出几张有代表性的作品(小组交流)。 师：哪个小组愿意上来把你们的想法展示给大家看看? (小组展示，将画好的图贴到黑板上)
师：仔细观察，你们画的跟他们一样吗?如果不一样，可以上来补充!(如果学生没有把所有的情况都想到教师给予补充) 教师给学生的作品进行编号。
师预设有以几种两条直线的位置关系：
设计意图：在学生自己确定了想法之后，再在小组中交流。充分利用学生自己的学习能力，然后选出有代表性的情况，展示在黑板上，其他小组观察后，补充不同的情况，这样学生的学习活动就经历了一个从个人到小组再到全班的逐层递进的过程。使在同一平面内两条直线间位置关系的各种情况，可能地通过学生的思考、想象、动手操作展现出来，为分类提供材料。
三、师生共同探究 揭示平行与垂直的概念
(一)揭示平行的概念
1、那剩下的这组直线相交了吗?(没有)想象一下，画长点，相交了吗?(没有)再长一点，相交了吗?(没有)无限长，会不会相交?(不会)(边提问边用课件演示)
2、那么，像这样在同一个平面内的两条直线画得再长再长也不会相交，你们知道这种在同一平面内永不相交的两条直线在数学上叫什么吗?我们就说这两条直线是平行线，这两条直线互相平行。(板书：互相平行)(学生试说不完整的概念)
3、小结： 象这样在同一平面内，永远不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(课件出示，并让学生齐读概念)
4、你们知道为什么要加“互相”吗?(学生回答)
教师用谁是谁的同桌来说明平行线间的关系。 课件演示，老师强调：平行是两条直线之间的位置关系，可以说直线L1与L2互相平行，或者说L1平行于L2，L2也平行于L1。能不能说L1是平行线?
5、你觉得在这句话中，还应注意哪些词? 学生回答(同一平面、不相交)
师：“同一平面”是什么意思?(学生讨论)学生发言后师举例帮助学生理解，强调：判断两条直线是否是平行线时“在同一个平面内”和“不相交”这两个条件缺一不可。指出如果不在同一平面的情况，以教室的几个墙面为例。(假如在教室前面的墙面上画一条直线，然后在教室的侧面画一条直线，它们不相交但它们平行吗?)
6、辨析练习：课件出示，请学生判断并说出原因。
(二)、揭示垂直的概念
1、咱们再来看看两条直线相交的情况。你们发现了什么?(都形成了四个角)
2、你认为在这些相交的情况中哪种最特殊?(相交形成了四个直角)
3、两条直线相交成直角，而其他情况相交形成的都不是直角，有的是锐角，有的是钝角。
4、你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢?(学生验证：三角板、量角器)(板书：成直角)
5、你们知道在同一平面内，两条直线相交成直角，在数学上叫什么吗?(互相垂直)什么叫互相垂直?谁能用自己的话说说。(学生试说) 课件出示互相垂直的概念，让学生齐读。
6、强调其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
出示直线a1和a2互相垂直的情况，让学生说说它们之间的关系。 即：直线a1是a2的垂线，或者说a1垂直于a2， 也可以说a2是a1的垂线，或者说a2垂直于a1。
7、强调看两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是否直角，与两条直线放置的方向无关。
四、 练习巩固，深化垂直与平行的理解。
1、你能在运动场上找出平行或垂直的现象吗?(课件出示主题图)
2、生活中我们常常遇到垂直与平行的现象，你能举几个例子吗?(学生举例后教师适当添加学生没想到的例子。)
3、小结：通过刚才的学习，我们已经知道了同一平面内两条直线间有两种关系一种是相交，一种是不相交。同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行;如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
4、揭示课题。(板书课题)
五、拓展延伸，发展空间观念。
下面咱们一起来做个游戏，(出示小棒)每根小棒代表一条直线。教师在电子白板上画图，学生用小棒在自己的课桌上摆放小棒。
(1)先摆一根3号的小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒平行。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒平行。仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么?(互相平行)看看你摆的是不是互相平行?想象一下，有多少条直线跟3号小棒平行?
(2)先摆一根3号小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒垂直。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒垂直。想象一下，有多少条直线跟3号小棒垂直?仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么?(互相平行)看看你摆的是不是互相平行?
六、 总结:
师：这节课你有什么收获?
学生谈自己的收获。结合学生所谈收获教师总结全课。
师：同学们你们都满载着收获，我们的生活离不开数学，数学能使我们生活变得更加有序，更加美好，让我们都做有心人吧!去感受数学的美，去感受生活的美。
七、 作业：
1、回家后继续寻找生活中垂直与平行的现象，讲给你的父母听，并说一说它们有什么作用?
2、动手折一折：(!)、用一张白纸折出两条互相垂直的折痕线。
(2)、用一张白纸折出两条互相平行的平行线。
八、板书设计
垂直与平行
不成直角
相交
同一平面内的两条直线 成直角 互相垂直
不相交 互相平行
数学两条直线之间的关系教学案例三
[教学目标]
1、引导学生通过观察、讨论、感知生活中的平行与垂直的现象。
2、帮助学生初步理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，初步认识平行线和垂线。
3.培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识。
[教学重点]
正确理解“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。
[教学难点]理解“平行与垂直”这两种关系的界定前提是“同一平面内”。
[教具、学具准备]
课件，水彩笔，尺子，三角板，长方形纸等。
[教学过程]
一、谈话导入。
师：同学们，今天老师请来了一位老朋友，你们想知道它是谁吗?(课件出示一条无限延长的直线)谁来介绍一下这位朋友?
师：直线就像孙悟空的…?
生：金箍棒。
二、探索体验，经历过程
(一)画图感知，确定研究对象。
过渡：今天我们继续研究有关直线的知识，就是两条直线在同一平面内的位置关系。
板书：两条直线
1、想象活动，想象纸面上两条直线的位置关系。
师：想一想，如果我们在这张长方形纸上画两条直线，这两条直线会有怎么样的位置关系呢?(学生想象)
2、动手操作。
(学生试画，教师巡视)
3、收集展示。
4、观察分类，了解平行与垂直的特征。
师：同学们的想象力可真丰富，画出这么多种情况。根据两条直线的位置关系你能给它们分分类吗?
5、汇报分类情况。
在分类过程中通过课件展示重点引导学生弄清看似两条直线不相交而事实上是相交的情况。(课件展示不相交的两条直线延长后的情况，完善分类标准。)
教师根据学生的分类板书：相交 不相交
(二)师生共同探究，揭示平行与垂直的概念
1、揭示互相平行的概念。
(1)通过交流揭示互相平行的概念。
在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(课件出示，并让学生齐读概念，互说概念)
(2)练习。(辨析练习：课件出示，请学生判断并说出原因。)
通过练习让学生理解“同一个平面”、“不相交”等的意思。
(3)小结
2、通过交流揭示互相垂直的概念
师：我们再来看看两条直线相交的情况。
(1)观察。两条直线相交成的四个角是什么角?
(2)汇报：两条直线有的相交成直角，有的是锐角，有的是钝角。
成锐角、钝角
板书：相交
成直角 垂直
(3)引出互相垂直的概念，你们知道在同一平面内，两条直线相交成直角，在数学上叫什么吗?(互相垂直)什么叫互相垂直?
(4)课件出示互相垂直的的概念。(齐读概念，互说概念)
(5)练习。(课件出示)
(6)自学互相平行、互相垂直的表示方法。
a与b互相平行，记作a∥b ，读作 a平行于b
a与b互相垂直，记作a⊥b ，读作 a垂直于b
(三)欣赏生活中的平行和垂直现象。
三、巩固练习
四、总结全课
五、作业
板书：
平行与垂直
不相交 互相平行
两条直线的位置关系 成锐角、钝角
(同一平面内 ) 相交
成直角 互相垂直
关键词： 高中数学 多元表征 动态思维
数学教学中要帮助学生对数学对象进行多元表征，让学生对数学知识形成强大又灵活的内、外部表征系统，是教师的职责，也是高效课堂上的重要保障.
一、训练多元表征能力，提高思维的灵活性
新课程的实施对数学教学有更高、更全面的要求――要求培养学生探究兴趣、创新型思维方式及能力，因此在教学中要高度重视对学生已有知识与经验的必要超越，使他们能用更高的抽象水平重新认识这些知识和经验，从而对已有的认知框架进行拓展与挖掘；还要重视如何通过已有的知识和经验把多元表征变得丰富又生动.加强多元表征的训练，通过交流与沟通，丰富多元表征系统，提高动态思维的灵活性.
教学案例1：如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆：得1≤m≤9.本题的两个关键点：直线y=kx+1中隐藏着直线恒过定点问题及其对“总有公共点”的“总”的理解.不同的理解建立在不同的表征基础上.通过多元表征，增强学生对几何图形的感知能力，帮助他们更彻底地了解题目的本质，从而对解题策略做出动态、灵活的调整，寻求解决问题的最佳策略.
二、展示多元表征思维过程，提高思维合理性
多元表征能够从具体到抽象地把握数学的关系结构模式，强化事物的本质特征.教学时要鼓励学生分享自己的表征信息，促成学生自我反思、调整，从不同的视角丰富和完善自己的内部表征.其整个操作符合人们认识事物本质的规律，做到了不同特征的整体组合，生成足够的有效负荷，提高认知操作的策略水平.
1.打包教学信息，整合教学资源.
教学案例2：在直线与平面垂直的判定定理的教学中，教学内容在以下方面优化后进行打包：（1）实验探究：你能将一张三角形纸片ABC竖起放在桌面上吗？折痕与桌面垂直吗？如果要经过点A翻折，如何才能使得折痕与桌面垂直？（2）必须在某一边上定一点，将纸片打折，使这边上的三点不共线后放在桌面；（3）用几何图形表示探究的各种情形（图略）；（4）“直线与平面垂直的判定定理”的文字语言表征：一条直线与一个平面内的两条楣交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；（5）“直线与平面垂直判定定理”的数学语言符号表征为：a，b∈π，a∩b=0，la，lb？圯lπ；（6）“直线与平面垂直判定定理”的几何图形表征；（7）命题辨析：判定定理中，平面π内的直线只需两条，但必须是相交的，交点也不一定是l与π的交点（垂足）等.
2.优化多元表征，展示思维过程.
优化多元表征的信息结构、教学设计的时间临近、空间邻近及双通道的原则，呈现各模块，与学生共同分析、归纳.
表征一：你能将一张三角形纸片ABC竖起放在桌面上吗？折痕与桌面垂直吗？
表征二：如果要经过点A翻折，如何才能使得折痕与桌面垂直？
表征三：“直线与平面垂直的判定定理”的文字语言表征是什么？
表征四：“直线与平面垂直判定定理”的数学语言符号表征是什么？
表征五：“直线与平面垂直判定定理”的几何图形表征是什么？
表征六：命题辨析：判定定理中，平面π内的直线只需两条，但必须是相交的，交点也不一定是与l与π的交点（垂足）.
多元表征的主要方式有动作表征、形象表征、语义表征、数学符号表征.在教学中，利用多种表征方式可以帮助学生从较复杂的情境图中捕捉有用的信息，在真实的情境中体验数学的魅力，特别在立体几何中，渗透了点、线、面的不固定性与开放性问题，通过多元表征，巧妙运用动静之间的转化，拉长了学生理解情境图、感悟数量之间关系的过程，也经历了将一些生活问题抽象为数学问题的过程，挖掘动态素材，有助于空间想象和综合思维能力的培养，寻求问题解决的变换途径和方法，培养动态、创新的思维品质和能力，创造多元表征的交流平台，提高动态思维的灵活性.
三、创设多元表征交流平台，提高思维发散性
多元表征有助于解题思路产生，合理的表征是理解问题的前提，是问题解决的信息储存和加工过程的有效表现形式.有助于问题的形象直观思考和简约问题解决的思维长度，能激活学生原有的知识块，通过观察、发现、分析、联想，诱发学生进行多维表征，发散思路，并能根据解题的需要与情境的变化做出灵活转换.
教学案例3：（s-1）n+s+2=0看做关于n的二次方程，若将此式直接改写成x-（s-1）x+s+2=0在x∈（1，+∞）上有实数解时，求s的最小值，学生就会联想到运用判别式法求解，但要注意求出最小值后一定要检验.
表征4：从图形表征考虑，由反比例函数及图像平移知识可知（m-2）（n-1）=4（m>2，n>1）表示双曲线一支，令m+n=s，则其表示斜率为-1的直线，则原问题可转化为“直线m+n=s与曲线（m-2）（n-1）=4（m>2，n>1）有公共点，求s的最小值”.学生通过图像可以发现：当直线与曲线相切时s最小.
由此可知，多元表征启迪动态思维，提高思维的灵活性和广阔性，适宜的表征可以减少运算量，缩短思维过程，优化解题步骤.因此，进行表征时，给学生时间，互相探讨，通过对多元表征的交流，让学生认清每一种表征的优越性与局限性，辨析数学问题的实质，从而有机选择恰当的解题方法.
总之，培养多元表征要注重知识间的网络关系，从不同角度审视同一个问题会得到不同的解题灵感，培养较强的动态思维能力和广阔的思维空间，在问题的研究中进行跳跃式、发散式的动态思考.因此，在数学教学中，为提高学生表征能力和对数学问题的理解能力，教师要引导学生积累知识与数学活动的基本经验，促进学生学习迁移能力的发展，有计划、有目的地进行问题表征的训练，发展学生直觉思维能力和数学语言转换能力，从而加强学生数学问题表征能力的培养.
参考文献：
[1]李静.基于多元表征发展代数思维的教学模式研究[J].西南师范大学学报（自然科学版），2011（3）.
关键词： 小学数学 思维层次 认知分析
“听懂却不会”是学生学习过程中普遍存在的现象，即“课上听得懂，课下不会做”。在小学数学教学过程中，这一现象更为突出。这一现象说明学生的学习认知有不同的境界，表明“听懂”的认知境界与“会做”的认知境界是不同的①。下面我将以《平行与垂直》这节课为例，在对学生进行访谈、记录、观察的基础上分析学生“听懂却不会”现象的层次及具体表现。
一、研究的设计
对于学生“听懂却不会”现象研究，我主要采用行动研究法与个案研究法相结合的方法。首先，我先选定《平行与垂直》这节小学数学中空间与图形板块的概念课；再依据预先设计好的教案对目标班级进行教学，尽可能观察学生的总体反应；上完课后，选择目标学生研究。为了尽可能地体现学生之间对同一内容的认知差异性，使研究结果更具准确性和科学性，我重点选择四种类型学生共80人，每类20人，从每类中各随机抽取1名学生进行个案研究。其中学生A在班级数学成绩比较优秀，思维能力很强，具有相对较强的抽象能力、分析能力；学生B在班级成绩数一数二，是一个学习比较认真、用功的女孩，但数学思维灵活性较于学生A较弱；学生C在班级中数学成绩平平，数学思维灵活性不够；学生D属于上课注意力容易分散的孩子，爱做小动作、随便讲话，课后不按时完成作业。最后，综合学生反映的情况，分析目标学生认知所达到的阶段，并总结“听懂却不会”现象几个层次学生的表现。
将两份测试题均分为三大题：第一大题是与上课讲过的例题相类似的题目或者上课时讲过的概念，考查学生对概念、定理的理解，是否听懂教师上课讲过的题目、知识点；第二大题为改变一些无关条件或题干的变式题，第三大题为应用类题目及解决生活类问题。
二、测试过程
（一）测试卷的编写。
1.填一填
（1）在同一平面内（？摇？摇 ）的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线（？摇？摇 ）。
（2）如果两条直线相交成直角，就说这两条直线（？摇？摇 ），其中一条直线叫做另一条直线的（？摇 ？摇），这两条直线的交点叫做（？摇？摇 ）。
（3）下列各图中，互相平行的是（？摇？摇 ），互相垂直的是（？摇？摇）。
2.写一写、画一画
（1）教室里黑板上相邻的两条边互相（？摇？摇 ），相对的两条边互相（？摇 ？摇）。
（2）3时整，钟面上的分针与时针互相垂直吗？（？摇 ？摇）。（填“是”或“不是”）
（3）下图中，出现平行的画∥，垂直的画，既不平行又不垂直的画×。
3.涂一涂、想一想
（1）把下列图形中互相平行的线描成红色，互相垂直的线描成蓝色。
（2）请你想一想，在下图中有互相垂直的直线吗？为什么？
（3）学校要扩大绿地面积，园林工人打算把7棵小树平均栽成6行，每行3棵，该怎样栽？（画图表示出来）
（二）学生的语言、动作、表情记录
做测试题时，学生A、B、C、D分别有比较丰富的动作。
学生A做得最快，没有多余的小动作。做第三大题第二小题时，不是像之前那样奋笔疾书，而是一会儿用牙齿咬着笔，过了一会儿，又看看老师，突然想起怎么做，A学生“哦”了一声，然后马上写起来。做最后一题时，他托着脑袋思考了很久，实在想不出。
学生B做得并不快，遇到有困难的第二大题的第四小题时，她拿左手伸到耳朵边，抓抓耳朵，用左手托着自己的脑袋。当做到第三大题的第二小题时，她看看老师，然后趴在桌子上，用手托住下巴。
学生C做的速度和学生B差不多，遇到会做的题目时，思维就比较集中，一道题目接着一道题目做下去，遇到不会做的题目时，拿着笔在那里转笔，过一会又捏一捏笔尖，然后咬咬自己的手指甲。
学生D做得最慢，一开始就趴在桌子上，看东看西，当教师示意她快点做的时候，她在那里说：“老师，我不会做，太难了。”之后，她嘴巴一嘟，假装在那里做，但是很少动笔，有了答案以后才动笔，有的时候就玩玩手指，翻翻铅笔盒，在那里挖橡皮擦。
三、学生“懂而不会”现象的测试分析
批完学生的测试卷后，针对学生错误情况与学生交谈，当问学生：“上课的内容你听懂了吗？”学生都回答：“听懂了。”当问：“那为什么做错呢？”学生说的意思大体是：“我也不知道，明明听懂了，可是做得时候没注意，想不到。”
四个学生的测试结果是：
A学生是做得最好的，只有在其中一条直线叫做另一条直线的（垂线），这两条直线的交点叫做（垂足），该学生填成了垂点，这是对书本上单纯的记忆性文字定义混淆了。但该学生解决生活问题的第四大题还是不会做，说明该学生的认知只达到“听懂但不会解决生活问题”的阶段。
B学生做得较A学生差一些，只是在第二大题的第三小题中风筝线的交叉情况，认为是垂直了，证明对垂直的概念不是特别清楚，学生B第三大题的第二小题还有第四大题都不会做，表明学生的认知只达到“听懂但不会应用”的阶段。
学生C则错得相对比较多，第一大题“其中一条直线叫做另一条直线的（垂线），这两条直线的交点叫做（垂足）”，该学生也填成了垂点，第二大题的第三小题，判断生活中的垂直与平行现象错误得比较多的第三大题，也不能从一个图中把既有平行又有垂直的找完整。第三大题的第二小题和第四大题不会做，表明学生的认知只到了“听懂，但变式题不会做”的阶段。
学生D做得最差，表明学生的“听懂”是假的，根本是“不懂装懂”。
四、“懂而不会”现象几个层次的具体表现
综上所述，总结出“听懂却不会”现象几个层次学生的表现有：
（一）不懂装懂。
“不懂装懂”的学生在课堂上眼神迷离，课堂上时不时看一下教师，呈现心虚的状态，或者干脆自己干自己的，完全沉浸在自己的小动作或者说话之中，当教师问“懂了吗”的时候，学生下意识地点头；做题目时，学生无从下手，木木地扫着一道一道题目，长久不见动笔，后来干脆做小动作，左顾右看或者趴在桌子上。
（二）听懂，但变式题不会做。
“听懂，但变式题不会做”的学生，课堂上听课时而做做小动作、分分心，又听进去部分内容，对课堂重难点没有完全理解，如“互相”、“在同一平面内”等概念。因而只会做与上课讲过的差不多的题目不能拓展。这类学生时常的表现是做题速度比较慢，并且答案模棱两可，做题时常常感觉好像会做，又好像不会，有点思路，又做不下去，因而学生做题目时小动作比较多，速度较慢，正确率不是很高。
（三）听懂但应用题不会做。
“听懂但应用题不会做”的学生上课比较认真，能初步理解课堂重难点，但是不能很好地应用，该学生时常的表现是能比较顺利地做基础的题目，但面对稍有难度的题目时则需要时间思考，做题的速度中上水平，思维容易受限，不能很好地发散，较好地应用所学知识解决问题。
（四）听懂但不会解决生活问题。
“听懂但不会解决生活问题”的学生上课能紧跟教师的思维，较好地理解课堂重难点，但不能解决生活问题。该学生时常的表现是会做的题目能够很快又顺利地做题目，没有多余的小动作，并能在做题中从语言、动作等多方面显示出做题自信。
通过《平行与垂直》课例研究，总结出“听懂却不会”现象几个层次学生表现，我们能根据学生动作、表情、做题情况，分析目标学生认知达到的阶段，进而提出有效应对策略，使教学实践更有指向性，便于在教学中因材施教，真正实现新课标提出的“不同的人在数学上得到不同发展的目标”。
注释：
①何善亮.从意义建构到能力生成――“懂而不会”现象的原因探析、实践应对与理论思考[J].教育科学研究，2008（10）.
参考文献：
[1]皮连生.学与教的心理学[M].华东师范大学出版社，1999：237.
[2]盛群力，褚献华.重在认知过程的理解与创造――布鲁姆认知目标分类学修订的特色[J].全球教育展望，2004（11）.
[3][美]L・W・安德森等著.皮连生译.学习、教学和评估的分类学――布卢姆教育目标分类学修订版[M].华东师范大学出版社，2008：56-80.
[4]何善亮.从意义建构到能力生成――“懂而不会”现象的原因探析、实践应对与理论思考[J].教育科学研究，2008（10）.
[5]马云鹏.小学数学教学论[M].人民教育出版社，2006.2，第二版.
[6]孔凡哲.小学数学心理学[M].华东师范大学网络课程，2006.
[7]张晓斌.论数学教学中思维层次的结构[D].人民教育出版社，2011.5.
[8]邹群英.解决初二几何学习困难的对策研究[D].苏州大学，2009.
[9]金成梁.小学数学竞赛指导.人民教育出版社[M].2005.8，第一版.
【关键字】类比 联想 归纳 灵感
数学猜想是指依据已有的材料和知识,对研究的对象进行观察、实验、比较、联想、类比、归纳、分析、综合等,从而作出符合一定经验与事实的推测性想象的思维形式.
一、恰当的逻辑推理让猜想更“合理”.
例： 已知A（）、B是圆F：(F是圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 （ ）
A B C D
思路探索：从四个选项都是椭圆方程,已不难发现,点P
的轨迹为椭圆,从题目条件也不难发现有两个”定点”:
一个是点A,一个是圆心F, 联系椭圆的定义, 我们就
可以很自然大胆猜想这个两点是所求椭圆的焦点,
下面只需要根据椭圆的定义,结合条件验证一下即可：
猜想过程的图示如下：
判断点P的轨迹为椭圆
发现两个”定点”
答案: 选B
二、类比与联想是“合理”猜想的翅膀.
例: 求y=的最大值和最小值.
思路探索: 从其分式的形式, 可以类比想到相似的斜率公式k=
问题就转化为求两点P(2,2)、M(sinx,cosx)所在直线斜率的最大值和最小值, 猜想的图示如下：
答案： 45
四、极限思想有助于“合理”猜想问题的结论：
例： (2009辽宁高考) 正六棱锥P-ABCDEF中, G为PB的
中点,则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为
A 1:1 B 1:2 C 2:1 D 3:2
思路探索：若点P的位置无限接近底面正六边形中心O，则G点无限接近OB的中点，几何体的体积比也就无限接近面积比2：1，于是，我们就可以大胆而合理地“猜测”答案选C
猜想的图示如下：
五、设想特殊情况也能“合理”猜测结论：
例：如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,点P、Q分别在
侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B-APQC的体积为
A B
C
D
思路探索：点Q运动到C1, 点P运动到A，则四棱锥B-APQC变成了三棱锥
C1-ABC，于是我们可以大胆猜测所求体积为三棱锥C1-ABC的体积.
猜想的图示如下：
``
答案：A
六、仿造性猜想
例：(广州市2010届高三调研)
如图，在棱长为1的正方体中，
是的中点．
（1）求证： A1C // 平面；
（2）在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
思路探索: 对于问题(2), 联想到平面与平面垂直的性质定理的内容: 若两平面互相垂直,则在其中一平面内的一直线如果与两平面的交线垂直,则垂直于另一个平面.于是,我们可以仿照这个定理的模型，很自然地猜测: 如果平面平面AD1E 成立的话,这个问题就会有“法”可依了，完全可仿照定理的内容把垂线作出来!
猜想过程的图示如下：
面面垂直的性质定理
αβ
CDAB
CDα
αβ=AB
以上，列举了数学猜想的一些常见方法及解题思路探索过程，从中也可以看出，为了能引导学生更好地进行数学猜想，我们应该借助于教学手段让学生尽可能地自主探索，并让其对数学思维的关键环节产生深刻印象，同时在学生“猛然醒悟”、“创意澎湃”的时候安排具有相似的方法的题目让学生去再尝试，无疑会收到很好的教学效果.
参考文献
[1]《数学与猜想》G..波利亚
[2]《学与教的心理学》皮连生主编
您在“个人研修计划”已经选定了一节课，作为本次研修的教学实践内容。
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给出您的合理评价和建议。您的同伴会综合考虑这些评价和建议，后期对自己的作品进行进一步修订。
温馨提醒：此项不作为考核内容，旨在与同伴分享交流培训成果。
一、指导思想与理论依据：
新的《数学课程标准》对数学教学活动提出的基本理念之一是：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”基于以上理念，我们必须改革课堂教学中教师始终“讲”、学生被动“听”的局面，充分相信学生，把学习的主动权交给学生，充分调动学生的学习积极性。为此，我在小学数学课堂教学中构建了探索性学习的纵向结构，即“设疑激情———引导探索———应用提高———交流评价”的基本教学模式。
二、教材分析：
本节课的教学内容是北京市义务教育课程改革实验教材2第五单元“空间与图形”的《相交与平行》。在学生初步认识直线以后，本单元教学直线与直线的位置关系。在同一平面内的两条直线可能相交，也可能不相交。不相交的两条直线互相平行。相交成直角的两条直线互相垂直，垂直是特殊位置的相交。
教材按上述的线索，组织教学内容，把两条直线的平行和垂直作为本单元的主要内容。先教学平行，再教学垂直。以理解这两种位置关系为重点，平面内两直线的平行与相交（包括垂直）的位置关系在数学学科中具有重要意义。它是画垂线、平行线和学习点到直线的距离的基础。在理解的基础上，用各种方法画出互相平行、互相垂直的直线，并通过这些活动，体会平行线和垂线的一些特性。对于理解掌握初中几何知识也起着很重要的作用。
三、学情分析：
在我们的日常生活中，平行与相交的现象无处不在，但由于四年级学生的知识积累与生活经验少，学生只对与本节有密切关系的“角”“直线、射线、线段”的知识熟练的掌握，但对平行与相交的现象还只是有初步模糊的认识，尤其是对于一些几何术语可能理解不透，如：“同一平面”“两直线的位置关系”“互相垂直”等。将两条直线的位置关系进行分类时忽略了直线可以延长导致分类标准乱。
四、教学目标：
知识与技能：
结合具体情境，了解平面内两条直线的平行与相交（包括垂直）的位置关系。能正确判断互相平行、互相垂直，正确理解相交现象，尤其是看似不相交，实际相交的现象。
过程与方法：
在探索活动中，培养观察、操作、想象等能力，发展初步的空间观念。 情感态度与价值观：
引导学生树立合作探究的学习意识，体会到数学的应用和美感，激发学生的学习兴趣。
五、教学重点：
正确理解“同一平面”“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。
六、教学难点：
相关现象的正确理解（尤其是对看似不相交，而实际上是相交现象的理解）。
七、教学过程：
一、课前铺垫，明确“互相”的含义和“位置”的意思。
师：在课堂上，我是老师，你们是学生，我们之间是什么关系（师生关系），你们之间是什么关系（同学关系），**和**在一个座位上，他们两个是什么关系？（同桌关系），我们叫他们互为同桌，也就是互相叫做同桌。单独一个人能叫互相吗？“互相”一般指两个人的关系，一个人不能叫互相。同桌关系与什么有关？（与两个人所坐的位置有关）。
〔设计意图：师生沟通了解的同时，了解“互相”“位置”的意思，为下面知识的学习做个铺垫。〕
二、复习旧知，引入新课
前面我们已经学习了直线，知道了直线的特点，谁能说一说直线有什么特点？
（没有端点，可以向两端无限延长，不可以测量）今天咱们继续学习直线的有关知识，一起研究两条直线的位置关系。
〔设计意图：回顾直线的特点，为研究两直线的位置关系做准备。〕
三 、画图感知，研究两条直线的位置关系
（一）学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系。
1、师：老师这儿有一张纸，如果把它想象成一个无限大的平面，闭上眼睛，想象一下，在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线。想一想，这两条直线的位置关系有哪几种不同的情况？（1、学生想象2、小组交流）
2、师：每个组都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你们刚才交流的结果画下来。注意，一张白纸上只画一种情况。开始吧。（学生试画，教师巡视）。
〔设计意图：此环节给学生提供了一个大胆猜想的广阔空间，经历了一个从个人——小组——全班的逐层递进的过程。使同一平面两条直线的位置关系的各种情况，最大可能的通过学生的思考、想象、动手操作展现出来，为分类提供材料。〕
（二）观察分类，初步感知相交、平行两种位置关系。
1、展示各种情况。师：画完了吗？
师：谁愿意上来把你的想法展示给大家看看？（将画好的图贴到黑板上）
师：仔细观察，你们画的跟他们一样吗？如果不一样，可以上来补充！（学生补充）
2、：分类研究直线的位置关系。
（1）我们为了研究方便，我们先给每组的两条直线编号
（2）师：我们能不能根据这两条直线在同一平面上的位置不同，给分分类？ A：小组讨论：能分成几类？你们是怎样分的？
B：学生汇报分类情况。
预案：
a．分为两类：交叉的一类，不交叉的一类；
b．分为三类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉的一类；
关键词：激活 学习情境 实践活动 探究
由于数学的抽象性和严谨性，数学中程式化、符号化的东西很多，再加之原有教材割断了数学与生活的密切联系，有些教师教育观念落后，导致数学课堂教学往往比较沉闷、呆板。随着课程实验工作的不断深入和逐步推广，新一轮课程改革对基础教育的冲击与影响将更为突出、更为集中、更为直接地体现在学生的学习活动之中，说到底就是激活课堂，引领学生最终实现一种积极向上、轻松愉悦、富于激情和趣味的学习。新课标也指出：“数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”那么，如何激活课堂，让数学学习变得生动活泼，促成学生自我发展呢？笔者认为可以从以下几方面入手。
一、链接生活背景，激活数学课堂
数学本源于生活，生活中处处有数学。课改的新理念体现了数学应本着源于生活、寓于生活、用于生活、高于生活的思想。在教学中，要给数学找个“原型”，把常识提炼为数学，积极构建“来源于生活―提炼为数学―应用于实际―实践中创新”的数学教学模式，让学生感悟“生活数学”的巨大魅力，以唤起学生亲近数学的热情，提高学生的数学意识和实践能力，开发学生的潜能。例如在教平面几何中三点确定一平面和三角形的稳定性时，我先找出一把左右摇晃不稳定的椅子，巧设悬念：哪位同学可以加固这把椅子？用什么方法？学生个个热情高涨，建议和方法层出不穷。在讲解了相关知识并解决了问题后，我再设悬念：学校门口的伸缩门的每个单元格为何设计成平行四边形？一连串的悬念引导学生不断开动脑筋，在生活的背景下掌握知识，感受数学。
二、设计学习情境，激活数学课堂实践活动
引人入胜的教学情境，能使枯燥乏味的数学课堂变得生动形象、充满生机和活力，能激发学生浓厚的学习兴趣。例如在进行“直线和平面垂直的判定定理”教学时，传统处理方法是给出定理，画好图形，把课本上的证明讲解一遍。笔者作了如下设计：
第一步，提出问题：在水平的地面上竖起一根电线杆，现在请大家想一个办法，检查电线杆是否与地面垂直？
第二步，设计解决方案：学生将电线杆抽象为一直线，地面抽象为一平面，根据直线与平面垂直的定义设计方案如下：用一块三角板，让一条直角边贴紧电线杆，直角顶点靠地，旋转一周，如果靠地的一边始终在地面上，则可以断定电线杆和地面垂直，否则电线杆与地面不垂直。
第三步，问题的发展：教师在肯定方案的正确性和可行性基础上，向学生提出新问题：是否有比此方案更可行的方案？如果有一个人没有让三角板旋转一周，而只是检查了两个位置且都和地面贴得好，他就断定电线杆与地面垂直，你们认为正确吗？结合一切所学的两条相交直线确定一个平面，问题可以转化为直线与平面内直线的垂直。
第四步，问题的深化：教师要求揭示此问题的实质，并用数学语言加以表述：如果一条直线和平面相交，且和平面内过交点的两直线都垂直，它是否与这个平面垂直？
第五步，设计新问题的解决方案：教师首先让学生利用身边的三角板和铅笔做模型作验证，发现确是垂直的，然后师生共同研究制定理论上的证明。
在以上例子中，教师一步步创设问题情景引出了一堂生动的数学课，其中，成功地创设情境起到了关键性作用。那么，怎样的情境设计才谓之成功呢？笔者认为，成功的情境设计应具备以下几个特点。一是生活化，所提的问题必须贴近生活，切入自然；二是具有挑战性，需要学生认真调动和组织原有知识才能解决问题；三是具有开放性，解决问题的方法不一定惟一，“设计”应具有多方面的价值。
三、运用实践活动，激活数学课堂
实践活动是围绕要解决的问题，让学生经历思考与策略自主探索再创造的学习过程。数学学习应强调实践性。数学的学习不能光靠背、记进行接受知识，而应开展实践活动让学生动手做数学、思数学、探究数学。因为，学生通过探索与思考，能在自己实践活动中进一步体验、理解已获得的数学活动经验，增进运用数学解决简单实际问题的信心，使探索性得到开拓，创新性得到发展。笔者所尝试的实践活动有以下几种：
1.操作激活学生思维
动手操作可培养学生心灵手巧，同时在动手过程中无意识地教会了学生怎样思考问题。例如，我在讲解圆柱体表面积的时候，让学生拿出事先用纸糊好的圆柱体，分组讨论如何求出。学生们开始分析：表面积=2个圆面积+侧面积，那么侧面积又如何求呢？你一句我一句大家讨论开了……最终学生想到了用剪刀沿母线剪开，发现侧面的展开图原来是矩形，结论很快浮出水面。接着我又提出另外一个新问题：圆锥的表面积又是怎么求？顺着上题的思路，学生同样想到沿母线剪开侧面，当扇面呈现在大家眼前时，学生发出一片欢呼声，接下来扇形的面积又在大家的合作中解决了，课堂充满了欢快声。这种通过实践操作掌握的数学知识对学生而言是刻骨铭心、难以忘怀的，因为这是他们自主地探索而获取的知识，在他们的大脑中打下了深深地烙印。
2.表达激活学生的思维
数学是一门逻辑性很强的学科，对某些知识的掌握往往是在几个字上，这就需要培养学生严密的思维能力，而表达是思维的“窗口”。学生要想学好数学，必须首先学会规范化的数学语言。因此教师在课堂中一定要重视学生语言的表达，它不仅能起到活跃课堂的作用，而且还能在不断的表达中激活学生的思维。如在讲直线公理时，学生通过实际操作，得出经过两点可以画一条直线的结论，但教师要学生准确表达这个结论时，却得到了很多种说法：经过两点可以画直线；经过两点可以画一条直线；直线可以由两个点确定……但当教师告诉学生答案都不够准确时，学生的思维被激活了，继而开展了充分的讨论后，发现是自己表达得不够准确，不能充分表达出结论的本质。学生通过多次的反复锤炼数学语言，明白了“经过两点存在直线，并且是唯一的”这一本质。又如在经过直线外一点画已知直线的平行线或垂线等等，都要求学生用准确的数学语言来表达，让学生认识到必须要用科学严谨的态度来对待数学学科，用精准的数学表达来揭示数学知识的本质。
3.想象激活学生思维
学生与生俱来就对新鲜事物有着强烈的好奇心，对任何问题与事物都充满着丰富的想象。教师要充分利用学生丰富的想象，让学生的思维插上想象的翅膀，去丰富学生所学的知识。特别是在考试的时候，学生不可能动手去实际操作，利用数学模型去直观演示得出结论，必须凭借空间想象能力才能分析得出，这就要求教师在日常的课堂教学中注重培养学生的想象能力。如截一个几何体，从不同方向看，都需要学生有较强的空间想象能力。
4.探究激活学生思维
新课程理念告诉我们，任何学习都是一个积极主动的建构过程，学习者不是被动地接受外在信息和简单地传递、复制书本知识，而是主动地根据先前认识结构注意和有选择地知觉外在信息，构建当前学习内容。新课标指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”为了学习新知识，必须有一定的知识积累，但具备先前的知识并不意味一定能学到、学好新的知识，还必须让学生自主探究。例如在教学二倍角计算公式的推导时，首先让学生回想以前学过的两角和的计算公式；思考能否把二倍角转化成两角和的计算公式。接着让学生分组自主探究，合作交流；最后评价统一，补充完善各组的思维方法。整个活动过程，学生激活了知识积淀，面对新问题自然而然地利用先前经验进行真实的认识过程，亲自体验到前后经验的对比和变化历程，心灵产生深深地震动，感受到实实在在的变化和收获。因而，新课程改革要求我们教师积极引导学生开展自主探究性学习，努力培养学生形成一种依靠已有的知识储备发现问题、探究问题、解决问题的能力，学会从已学的知识中独立获取新知识，得到新经验，产生新创造。
四、灵活运用多媒体技术，激活课堂
随着计算机技术、多媒体技术以及网络通信技术的不断创新发展，现代教育技术给教育领域带来了翻天覆地的变化。电教媒体的声音与图像的生动性和感染性，一方面可以把学生的学习情绪和兴趣激发起来，另一方面又可以把学生带到“身临其境”的环境氛围里去学习，让学生体会学习的愉悦，从中获得应有的知识和体验。多媒体在教学的各个环节中都显示了它的优越性。在课堂导入上，可巧用多媒体技术激起引趣，还可以创设情景，使学乐结合。在新授内容上，运用多媒体可以突出重点，突破难点，巩固知识，拓展思路。
总之，激活数学课堂的方法远远不止这些，它需要教师不断地去研究、去总结、去积累，它是一个长期而复杂的过程。激活学生思维，激活课堂应成为新课改下数学课的一个永恒的话题，它能最大限度地提高教师的教学水平，也能充分挖掘每个学生的潜能。
参考文献：
[1]蒋富.如何激活数学课堂.数学人.