时间：2023-10-08 10:01:44
第十二章全等三角形
一、知识框架：
二、知识概念：
1.基本定义：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质：
⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3.全等三角形的判定定理：
⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
4.角平分线：
⑴画法：
⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
5.证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
第十三章轴对称
一、知识框架：
二、知识概念：
1.基本概念：
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
2.基本性质：
⑴对称的性质：
①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
②对称的图形都全等.
⑵线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质
①点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为P'(x,y).
②点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P"(x,y).
⑷等腰三角形的性质：
①等腰三角形两腰相等.
②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.
③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.
⑸等边三角形的性质：
①等边三角形三边都相等.
②等边三角形三个内角都相等，都等于60°
③等边三角形每条边上都存在三线合一.
④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.
3.基本判定：
⑴等腰三角形的判定：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形.
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.
⑵等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形.
②三个角都相等的三角形是等边三角形.
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.基本方法：
⑴做已知直线的垂线：
⑵做已知线段的垂直平分线：
⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.
⑷作已知图形关于某直线的对称图形：
⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.
第十四章整式的乘除与分解因式
一、知识框架:
二、知识概念：
1.基本运算：
⑴同底数幂的乘法
⑵幂的乘方
⑶积的乘方
2.计算公式：
⑴平方差公式
⑵完全平方公式
3.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.
4.因式分解方法：
⑴提公因式法：找出公因式.
⑵公式法：
对称轴是使几何图形成轴对称或旋转对称的直线，对称图形的一部分绕它旋转一定的角度后，就与另一部分重合，例如椭圆、双曲线有两条对称轴，抛物线有一条。
例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对称图形，有的轴对称图形有不止一条对称轴，但轴对称图形最少有一条对称轴。
（来源：文章屋网 ）
一、选择题：每小题3分，共36分。请把正确答案的序号填入表中。1．若分式 有意义，则x的取值应满足( )A．x≠3 B．x≠4 C．x≠﹣4 D．x≠﹣3【考点】分式有意义的条件． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得 ，x+4≠0，解得x≠﹣4．故选：C．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．若 ，则M的值是( )A．x﹣1 B．x+1 C． D．1【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数或（整式），结果不变，可得答案．【解答】解： ，得两边都除以（x﹣1），M=x+1，故选：B．【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数或（整式），结果不变．4．下列图形中，A′B′C′与ABC关于直线MN成轴对称的是( )A． B． C． D． 【考点】轴对称的性质． 【专题】压轴题．【分析】认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分线对应点的连线进行判断．【解答】解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对称轴MN垂直平分，所以B是符合要求的．故选B．【点评】本题考查轴对称的性质；应用对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分解题是正确解答本题的关键．5．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是( )A．105° B．120° C．135° D．150°【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理． 【专题】计算题．【分析】根据等边三角形三线合一的性质，高线即是角平分线，再利用三角形的内角和定理知钝角的度数是120°．【解答】解：等边ABC的两条高线相交于O∠OAB=∠OBA=30°∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=120°故选B 【点评】此题主要考查了等边三角形三线合一的性质，比较简单．6．下列式子中，是分式的是( )A． B． C． D．﹣ 【考点】分式的定义． 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不 含有字母则不是分式．【解答】解：A、 是整式，故A错误；B、 是分式，故B正确； C、分母不含字母是整式，故C错误；D、分母不含字母是整式，故D错误；故选：B．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式．7．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ) A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【考点】三角形的稳定性． 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：构成AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．故选：A．【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．8．下列条件中一定能使ABC≌DEF成立的是( )A．两边对应相等 B．面积相等 C．三边对应相等 D．周长相等【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定方法，分析、判断即可．【解答】解：根据三边对应相等即SSS即可证明ABC≌DEF，故选C【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等．9．下列说法：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长相等，面积不相等，其中正确的为( )A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【考点】全等三角形的性质． 【分析】全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，根据以上内容判断即可．【解答】解：全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，全等三角形的形状相同、大小相等，①正确；全等三角形的对应边相等，②正确；全等三角形的对应角相等，③正确；全等三角形的对应边相等，全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，全等三角形的周长相等，面积相等，④错误；故选B．【点评】本题考查了全等三角形的性质和定义的应 用，能运用全等三角形的性质和定义进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．10．如图，ACB≌A1CB1，∠BCB1=40°，则∠ACA1的度数为( ) A．20° B．30° C．35° D．40°【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠A1CB1，求出∠ACA1=∠BCB1，代入求出即可．【解答】解：ACB≌A1CB1，∠ACB=∠A1CB1，∠ACB﹣∠A1CB=∠A1CB1﹣∠A1CB，∠ACA1=∠BCB1，∠BCB1=40°，∠ACA1=40°，故选D．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能正确运用全等三角形的性质定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．11．如图所示，BD、AC交于点O，若OA=OD，用SAS说明AOB≌DOC，还需( ) A．AB=DC B．OB=OC C．∠BAD=∠ADC D．∠AOB=∠DOC【考点】全等三角形的判定． 【分析】要用SAS说明AOB≌DOC，已知有一组边OA，OD对应相等，且有一组对顶角∠AOB，∠DOC相等，从而再添加OB=OC即满足条件．【解答】解：还需OB=OCOA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OCAOB≌DOC（SAS）故选B．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要根据给出的已知条件在图形的位置来确定要添加的条件，对选项要逐个验证．12．利用尺规作图不能作出三角形的是( )A．已知三边 B．已知两边及夹角C．已知两角及夹边 D．已知两边及其中一边的对角【考点】作图—复杂作图． 【分析】依据了全等三角形的判定判断．【解答】解：A、边边边（SSS）；B、两边夹一角（SAS）；C、两角夹一边（ASA）都是成立的．只有D是错误的，故选D．【点评】本题主要考查了作图的理论依据．二、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共计30分。13．化简 的结果是1﹣x．【考点】分式的乘除法． 【分析】本题考查的是分式的除法运算，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式= ．【点评】分式的除法计算首先要转化为乘法运算，然后对式子进行化简，化简的方法就是把分子、分母进行分解因式，然后进行约分．分式的乘除运算实际就是分式的约分．14．如图，ABC≌DEF，请根据图中提供的信息，写出x=20． 【考点】全等三角形的性质． 【专题】压轴题．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，ABC≌DEF，EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．15．如图，AF=DC，BC∥EF，若添加条件∠A=∠D，则可利用“ASA”说明ABC≌DEF． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不，只要添加一个条件符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：∠A=∠D，理由是：AF=CD，AF+FC=CD+FC，AC=DF，BC∥EF，∠BCA=∠EFD，在ABC和DEF中， ，ABC≌DEF（ASA）．故答案为：∠A=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．16．如图，在RtABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连接DM．在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是EAD或MBD或MDE．（写出一个即可） 【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线． 【专题】压轴题；开放型．【分析】根据角平分线的性质，得出∠BAD=∠DAC，由平行线的性质得出∠EDA=∠DAC，再由直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．【解答】解：AD平分∠BAC，∠BAD=∠DAC，DE∥AC，∠EDA=∠DAC，∠EDA=∠EAD，ED=EA，EAD是 等腰三角形，在RtEBD中，点M为斜边BE的中点，BM=ME=DM，MBD，MDE是等腰三角形．故图中的等腰三角形是EAD，MBD，MDE．故答案为：EAD或MBD或MDE． 【点评】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等知识点．规律总结：本题设计到了两个中考必考的小知识点：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，“角平分线+平行线”后者的主要应用模式是角平分线平分一个角，而两直线平分，内错角相等，从而出现新的等角，进而根据等角对等边解决问题．17．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=11cm，CF=5cm，则BD=6cm． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：AB∥CF，∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，在AED和CEF中 ，AED≌CEF（AAS），FC=AD=5cm，BD=AB﹣AD=11﹣5=6（cm）．故答案为：6．【点评】此题主要考查了全 等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．18．如图，AB∥CD，O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，OEAC于点E，且OE=4，则两平行线间的距离为8． 【考点】角平分线的性质；平行线之间的距离． 【分析】过点O作MN，MNAB于M，求出MNCD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们求和即可．【解答】解：如图，过点O作MN，MNAB于M，交CD于N， AB∥CD，MNCD，AO是∠BAC的平分线，OMAB，OEAC，OE=4，OM=OE=4，CO是∠ACD的平分线，OEAC，ONCD，ON=OE=4，MN=OM+ON=8，即AB与CD之间的距离是8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．19．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=40度． 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【分析】首先利用∠ACD=110°求得∠ACB与∠BAC的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠B的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可．【解答】解：AB=BC，∠ACB=∠BAC∠ACD=110°∠ACB=∠BAC=70°∠B=∠40°，AE∥BD，∠EAB=40°，故答案为40．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题．20．化简： =x+2．【考点】分式的加减法． 【专题】计算题．【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．【解答】解： + = ﹣ = =x+2．故答案为：x+2．【点评】本题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键．21．已知线段a，b，c，求作ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．①以点B为圆心，c为半径圆弧；②连接AB，AC；③作BC=a；④以C点为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A．作法的合理顺序是③①④②．【考点】作图—复杂作图． 【专题】作图题．【分析】作ABC，先确定一 边，然后确定第三个顶点．【解答】解：先作BC=a，再以点B为圆心，c为半径圆弧；接着以C点为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，则ABC为所作．故答案为③①④②．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作 图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22．分式 的最简公分母为10xy2．【考点】最简公分母． 【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．【解答】解：因为系数的最小公倍数为10，x次幂为1，y的次幂为2，所以最简公分母为10xy2．【点评】此题主要考查了学生的最简公分母的定义即通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．三、解答题：本大题满分54分。23．已知线段a、b．求作等腰三角形ABC，使底边AB=a，底边上的高CD=b．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【考点】作图—复杂作图． 【专题】计算题．【分析】（1）作AB=a；（2）作AB的垂直平分线CF，垂足为C；（3）在CF上截取CD=b；（4）连接AD、BD，即可得等腰三角形．【解答】解：如图，ABD即为所求三角形． 【点评】本题考查了复杂作图，要熟悉线段垂直平分线的作法和等腰 三角形的判定和性质．难度不大，要注意不能用刻度尺测量．24．如图，AC、BD相交于点O，AC=BD，AB=CD，求证：∠A=∠D． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．【分析】连接B、C两点，要证∠A=∠D．则证明ABC≌DCB即可，由题中AC=BD，AB=CD，BC是公共边即可得ABC≌DCB，进而的∠A=∠D【解答】证明：连接B、C两点，在ABC和DCB中，AC=BD，AB=CD，BC是公共边，ABC≌DCB，∠A=∠D． 【点评】这一题考查了全等三角形的判定和性质，同学们应灵活掌握．25．如图，AC比AB短2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，ACD的周长是12cm，求AB和AC的长． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD=DC，根据三角形周长求出AB+AC=12cm，根据已知得出AC=AB﹣2cm，即可求出答案．【解答】解：BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，BD=DC，ACD的周长是12cm，AD+DC+AC=12cm，AD+BD+AC=AB+AC=12cm，AC比AB短2cm，AC=AB﹣2cm，AC=5cm，AB=7cm．【点评】本题考查了解二元一次方程组，线段垂直平分线性质的应用，能得出关于AB、AC的方程是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．26．（16分）计算：（1） （2）（1+ ） （3） （4） ÷ ．【考点】分式的混合运算． 【分析】（1）先因式分解，再约分即可；（2）先计算括号里面的，再因式分解，再约分即可；（3）先因式分解，再约分，最后算加减即可；（4）先算括号里面的，再因式分解，约分即可；【解答】解：（1）原式= • =2x；（2）原式= • = ；（ 3 ）原式= ﹣ • = ﹣ = = =﹣ ；（4）原式= ÷ = • = ．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．27．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得ABC≌EDB，则对应角相等：∠A=∠E．【解答】证明：如图，BC∥DE，∠ABC=∠BDE．在ABC与EDB中， ABC≌EDB （SAS），∠A=∠E．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．28．如图，ABC为等边三角形，∠1=∠2=∠3．（1）求∠BEC的度数；（2）DEF是等边三角形吗？为什么？ 【考点】等边三角形的判定与性质． 【分析】（1）求∠BEC的度数，可利用180°减去∠BEC的外角进行求解，只要求得∠BEF即可，利用三角形的外角的性质可得答案．（2）根据三个内角都是60度的三角形是等边三角形进行证明．【解答】解：（1）ABC为等边三角形，∠ACB=60°，∠3+∠BCE=60°．∠2=∠3，∠BEF=∠2+∠BCE=60°，∠BEC=180°﹣（∠2+∠BCE）=120°．（2）DEF是等边三角形．理由如下：由（1）知，∠BEC=120°，则∠DEF=60°．同理，∠EFD=∠F DE=60°，DEF是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形外角的性质；利用外角的性质得到∠BEF=60°是正确解答本题的关键．29．如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）根据等腰直角ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠CDE=60°即可．（2）连接MC，可得MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC．再证明ADC≌EMC即可．【解答】证明：（1）ABC是等腰直角三角形，∠BAC=∠ABC=45°，∠CAD=∠CBD=15°，∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∠ABD=∠ABC﹣15°=30°，BD=AD，D在AB的垂直平分线上，AC=BC，C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∠ACD=∠BCD=45°，∠CDE=15°+45°=60°，∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC．（2）如图，连接MC． DC=DM，且∠MDC=60°，MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，∠EMC=∠ADC．又CE=CA，∠DAC=∠CEM．在ADC与EMC中， ，ADC≌EMC（AAS），ME=AD=BD．【点评】此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．
应用其定义及性质解决诸如工程决策、平分面积与周长、确定函数及求值、边角关系，应用范围广泛，是近几年中考及竞赛试题中不可缺少的部分，这里择选几例供参考。
定理1：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是连接对应点连线的垂直平分线。
定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
一、应用于工程问题
例1：如图1，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉农作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问应该建在河边的哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法）
探究：由定理1知只需作出点a的对称点D，连BD交a于c，则点c为所求之点。
二、应用于平分面积与周长
例2：有一块方角形钢板如图2所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）。
探究：延长FE可将这块方钢分成两个矩形ABMF、MCDE，设两矩形的对称中心分别为O、O1，
由定理2可知，经过中心O的任意一条直线可将矩形MCDE面积平分，经过中心O1的任意一条直线可将矩形ABMF面积平分。
故：过O、O1的直线可将这块方钢面积平分。
例3：如图3：一个矩形内有任意一圆，请你用一直线同时将圆和矩形的周长二等分，并说明作图的道理方法。
探究：道理方法是，由定理2可知，经过对称中心的任意一条直线可将中心对称图形面积等分、周长等分，设矩形对角线交点为O1，则O1为矩形的对称中心，圆的圆心为O，则O的圆的对称中心，直线OO1为所求作的直线。
三、应用于求解析式
例4：如图4，正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，A点坐标是（1，0）。
①经过点C的直线y=x-与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
②若直线l经过点E且将正方形ABCD面积平分，求直线l的方程。
探究：第②小题由定理2可知，设矩形的对称中心为O，平分矩形面积的直线l必经过矩形的中心O，直线EO为所求作的直线l，又O点坐标为（3，2），E点坐标为（2，0）直线l的方程为y=2x-4。
四、应用于证明边角关系
例5：已知ABC中，边BC上的高为AD，且∠B＝2∠C
（如图5），求证CD＝AB+BD。
探究：以高AD所在的直线为对称轴翻折，点B落在DC边上的点E，由对称性，知AE＝AB、BD＝DE，
∠AEB＝∠B，而∠B＝2∠C。
∠AEB＝2∠C，由三角形外角定理，知∠AEB＝∠C+∠CAE，∠CAE＝∠C，则有EC＝AE，CD＝EC+DE＝AE+BD＝AB+BD。
例6：如图6，在等腰直角三角形中，∠BAC＝90°。D为AC的中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB＝∠FDC。
探究：由于等腰直角三角形正好是正方形的一半，故可以利用轴对称性质恢复原来的正方形。（如图6所示）
以BC所在直线为对称轴，对原诸线段补添关于它轴对称的线段。显然，D1为正方形ABA1C的A1C的中点，易证ABD≌CA1D，则∠BDA＝∠A1DC，即：∠ADB＝∠FDC。
一、等腰三角形中点的存在性问题
例1如图1，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交
x轴于另一点C（3，0）.
（1）求抛物线的解析式；
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
解析：等腰三角形中何边为腰未确定时，可分下面三种情况.
由题意易知抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.设Q点坐标为（1，m），则
AQ=4+m2，
BQ=1+（3-m）2
，又
AB=10.
①当AB=AQ时，
4+m2=10
，解得：
m=±6，
所以Q点坐标为（1，
6）或（1，-6）.
②当AB=BQ时，10=
1+（3-m）2，解得：
m1=0，m2=6.
所以Q点坐标为（1，0）或（1，6）.
③当AQ=BQ时，
4+m2=
1+（3-m）2，解得：
m=1，
所以Q点坐标为（1，1）.
所以抛物线的对称轴上存在着点Q（1，6）、（1，
-6）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使ABQ是等腰三角形.
二、直角三角形中点的存在性问题
例2在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图2所示；抛物线
y=ax2-ax-2经过点B.
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：过点B作BDx轴，垂足为D，可知BDC≌CAO=90°，所以点B的坐标为（3，1），可得抛物线的解析式为
y=12x2-12x-2.
假设存在点P，使得ACP是直角三角形，可分三种情况：
①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1Mx轴，如图3.
可证MCP1≌BCD，于是CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（-1，-1）；经检验点P1（-1，-1）在抛物线
y=12x2-12x-2上.
②若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2Ny轴，如图4.同理可得AP2N≌CAO，于是 NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（-2，1），经检验点P2（-2，1）也在抛物线
y=12x2-12x-2
上.
[TP
.tif>，BP#][TS（][HT5”SS][JZ]图4图5
[TS）]
③若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3Hy轴，如图5同理可得AP3H≌CAO；所以HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），经检验点P3（2，3）不在抛物线y=12x2-12x-2上.
故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两个.
三、相似三角形中点的存在性问题
例3如图6，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，
52）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使AFP与FDC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.
解析：（1）由题意知抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，
52），可得抛物线的解析式为
y=12x2-4x+6.
（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.
由抛物线的解析式
y=12x2-4x+6
可知抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，-2）.则AN=4.
又知直线AC过A（0，6），C（7，52）.所以
直线AC的解析式为
y=-12x+6.
可得点E的坐标为（4，4），F的坐标为（4，-8）.
于是可证ANF≌MNF，得∠CFE=∠AFE.
（3）假设AFP与FDC相似可分两种情况.
由C的坐标为（7，52），F坐标为（4，-8），A的坐标为（0，6）.
所以CF=
（52+8）2+（7-4）2
=3532
，
FA=（6+8）2+42
=253.
又DF=6，由题意易知∠PAF=∠DFC，
①若AFP1∽FCD，
则P1ADF=
AFCF，即
P1A6=
253
3532，解得P1A=8，求得0 P1=8-6=2，
所以P1的坐标为（0，-2）.
②若AFP2∽FDC.
则
P2ACF
=AFDF
，即
P2A
3532
=2536
，解得P2A=
532，求得0 P2=
532-6=
412.
所以P2的坐标为（0，-412）.
所以符合条件的点P的坐标是两个，分别是P1（0，-2），P2（0，-
412）.
四、特殊四边形中点的存在性问题
例4如图7，抛物线
y=13x2-mx+n
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且对称轴x=1.
（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标.
[TP
.tif>，BP#][TS（][HT5”SS][JZ]图7图8
[TS）]
解析：（1）由对称轴x=1可知
--m2×13=1
得m=23，又
n=-1，所以抛物线的解析式为
y=13x2-23
x-1
，由
13
x2-23x-1=0
得x=-1或x=3，所以A（-1，0），B（3，0）.
（2）假设四边形QPAB是平行四边形，则PQ与AB存在两种位置关系平行或平分，故可分两种情况讨论：
①当PQ平行等于AB时，PQ=4，当P在y轴右侧时，P的横坐标为4，当P在y轴左侧时，P的横坐标为-4，所以P1（4，
53），P2（-4，7）.
②当PQ与AB互相平分时，PQ过AB的中点（1，0），可得P的横坐标为2，所以P3（2，-1）.
综上所述P的坐标为（4，
53）或（-4，7）或（2，-1）.
三角形的全等和相似是研究图形问题最基本的方法和策略. 它是研究四边形、圆等复杂图形以及函数等知识的重要工具.
三角形的知识在中考试题中占有相当重要的地位，希望同学们努力掌握好基础知识以及最基本的解决问题的方法和策略，能灵活地解决相关问题.
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形是初中数学的基础内容之一，中考考点的核心就是它与分类讨论结合考查. 举例如下：
一、 关于角的讨论
例1 （2013·钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）.
A. 80° B. 80°或20°
C. 80°或50° D. 20°
【解析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°；②80°角是底角时，顶角为180°-80°×2=20°. 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°. 故选B.
【变式】若将80°改为100°要注意100°角不能做底角.
例2 在ABC中，∠A=50°，当∠B=_____°时，ABC是等腰三角形.
【解析】①∠B是顶角时，∠A一定是底角，则有∠B=80°；②∠B角是底角时，∠A若是底角，则有∠B=50°，∠A若是顶角，得∠B=65°.
【点评】这一类问题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底角，做题时要注意分情况进行讨论，这是解决问题的关键.
二、 关于边的讨论
例3 （2013·淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）.
A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 6
【解析】因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论. ①当3为底时，其他两边都为1，1+1<3，∴不能构成三角形，故舍去；②当3为腰时，其他两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7.
【变式1】（2013·凉山州）已知实数x，y满足x-4+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______.
【答案】20.
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.
（1） 判断这个一元二次方程的根的情况；
（2） 若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积.
【答案】（1） b2-4ac=（2k-3）2≥0，所以方程有实数根.
（2） 分两种情况讨论：①若腰为3，则x=3是方程的一个根，可求得三边为3，3，2.那么这个等腰三角形的周长为8，面积为2. ②若底为3，则b2-4ac=（2k-3）2=0，可求得三边为2，2，3. 那么这个等腰三角形的周长为7，面积为.
【点评】本例考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在已知条件中没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键.
例4 （2013·玉林）如图1，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有______个，写出其中一个点P的坐标是______.
【解析】本例考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质. 如图2，从x轴上考虑，以OA为腰长的等腰三角形有3个，P4（5，0），P2（8，0），P5（-5，0），以OA为底边的等腰三角形有1个，P8
，0. y轴上情况与x轴相似，P3（0，5），P1（0，6），P6（0，-5），P70
，，故满足条件的点P共有8个.
【变式1】如图3，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB左右移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的任意两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有______个.
【答案】设正方形边长为a. 分类讨论如下：①腰长为a的等腰三角形有4个；②腰长为a的等腰三角形有4个；③以CD为底边的等腰三角形有1个. 共9个.
【变式2】如图4，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB.
（1） 求AC的长和点D的坐标；
（2） 说明AEF与DCE相似；
（3） 当EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.
【答案】（1） AC=20，D（12，0）；
（2） 欲证AEF与DCE相似，只需要证明两个对应角相等. ∠CDE=∠CAO，∠AEF
=∠DCE；
（3） 当EFC为等腰三角形时，有三种情况：①当CE=EF时，AEF与DCE的相似比为1，则有AE=CD=20，E（8，0）.
②当EF=FC时，此时过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE的中点，FME∽ABC得出=，那么AEF∽DCE的相似比为5∶6，E
，0.
③当CE=CF时，F点与A点重合，E点与D点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在.
例5 如图5，半圆O的半径为4 cm，AB是☉O的直径，BC切☉O于点B，且BC=4 cm，当点P在☉O上运动时，是否存在点P，使得PBC为等腰三角形？若存在，有几个符合条件的点P，并分别求出点P到线段BC的距离；若不存在，请说明理由.
【解析】本例是等腰三角形与圆相结合的一个综合题，解决问题的关键是分BC为腰、BC为底边两种情况来解决. 如图6，①BP1=BC，②CP2=BC，③CP=BP，即作BC的垂直平分线交☉O于P3，P4.
例6 如图7，抛物线y=-x2+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B.
（1） 求抛物线解析式和顶点坐标；
（2） 若P是坐标轴上一点，且PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标.
【解析】本例是等腰三角形与二次函数结合的综合题.
（1） 由该函数图像经过A点（1，0），由0=-1+4+n得n=-3，解析式是y=-x2+4x-3
=-（x-2）2+1，顶点坐标为（2，1）.
（2） 由题意知，B点坐标是（0，-3），AB的长是，要注意的是问题中强调“以AB为腰”所以不必习惯性地分AB为腰，AB为底边两类讨论，而是分P点在x轴或y轴上进行讨论. ①当P点在x轴上时，P点坐标为（1+，0），（1-，0），（-1，0）；②当P点在y轴上时，P点坐标为（0，3） ，（0，-3+），（0，-3-）.
【变式】如图8，已知二次函数的图像经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O. P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C.
（1） 求出二次函数的解析式；
（2） 当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；
（3） 当m>0时，探索是否存在点P，使得PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1） 设y=ax2+bx，把A、B点坐标代入，求出解析式为y=-x2+4x；
（2） 根据点P（m，-m2+4m），点C（m，m）的坐标代入，得PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2
+3m=-m
-2+，PC的最大值为；
（3） 当0
当m≥3时，PC=m2-3m，OC=m，分三种情况：
①当OC=PC时，m2-3m=m，解得：m=3+或m=0（舍去），P（3+，1-2）；
②当OC=OP时，（m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，-5）；
③当PC=OP时，（m2-3m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m=4，P（4，0）.
本文将主要对中考试题中涉及“分类讨论”的数学思想的试题进行梳理归纳，这对提高同学们全面分析问题的能力以及养成严谨的思维品质都是有较大益处的.
一、 由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论
例1 代数式++的所有可能的值有（ ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 无数个
解析 根据绝对值的意义，需对a、b的符号进行讨论.
（1） 当a>0，b>0时，ab>0，原式等于3；
（2） 当a>0，b
（3） 当a0时，ab
（4） 当a
因此，代数式所有可能的值为3、-1，故选A.
点拨 绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离.所以我们复习时只有对初中数学概念的本身有一个全面深刻的理解，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，从而提高分析问题和解决问题的能力.
二、 由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论
例2 求函数y=（k-1）x2+kx+1与x轴的交点坐标.
解析 本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有说明.有几种可能情况呢？两种：一次函数或二次函数.所以要分为二类：（1） 当此函数为一次函数时，k=1，求得与x轴交点为（-1，0） ；（2） 当此函数为二次函数时，k≠1，Δ=（k-2）2，①Δ>0，即k≠2时，有两个交点（-l，0） 、（1/（1-k） ，0） ；②Δ=0，即k=2时，有一个交点（-1，0） ；③Δ
例3 如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有 个.
解析 本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边CD上，可以这样分类：（1） 绕点C旋转，有一解；（2） 绕点D旋转，有一解；（3） 绕CD上异于C、D的点旋转，只能是CD的中点.这样就得出了本题的正确答案：有3个.
点拨 学生解此类问题的错误往住是由于不细心审题，没有弄清已知条件或未知结论中的不定因素而急于解题所造成.只有审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问题中的不定因素和不定因素的各种可能情况，就可以确定出分类的框架，分类时也能做到标准一致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解.
三、 由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论
例4 一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则kb的值是（ ）.
A. 14 B. -6
C. -4或21 D. -6或14
解析 应对参数k分两种情况讨论.当k>0时，线段两端点为（-3，1）和（1，9），则k=2，b=7，kb=14；当k
点拨 解此类问题要能分析清楚参数的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，应把它们一一罗列出来，全面、系统地分类.含参数问题的分类讨论是中考常见题型.
四、 由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论
例5 已知一次函数y=-x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使PAB为等腰三角形.
解析 本题中PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定.PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1） PA=PB；（2） PA=AB；（3）PB=AB.先可以求出B点坐标（0，3），A点坐标（9，0）.设P点坐标为（x，0），利用勾股定理可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别（-9，0）、（3，0）、（9+6，0）、（9-6，0）.（不适合条件的解已舍去）
例6 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.
（1） 直接写出点E、F的坐标；
（2） 设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3） 在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.
解析 ① 解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角.其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分.结合这两个性质来解决.在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点.在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类.这样才能做到不重不漏.③ 解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决.
（1） E（3，1）；F（1，2）.
（2）在RtEBF中，∠B=90°，
EF===.
设点P的坐标为（0，n），其中n>0，
顶点F（1，2），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2（a≠0）.
① 如图①，当EF=PF时，EF 2=PF 2，
12+（n-2）2=5.解得n=0（舍去）；n=4.
P（0，4）. 4=a（0-1）2+2.解得a=2.
抛物线的解析式为y=2（x-1）2+2
② 如图②，当EP=FP时，EP 2=FP 2，
（2-n）2+1=（1-n）2+9.解得n=-（舍去）.
③ 当EF=EP时，EP=
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x-1）2+2.
（3） 存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小.
如图③，作点E关于x轴的对称点E′，
作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点.
E′（3，-1），F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′.
BF′=4，BE′=3. FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5.
又EF=，
FN+NM+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值是5+.
点拨 正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类出各种符合条件的图形.同时能根据各种情况训练自己的画图能力和空间想象能力，是正确解答此类分类讨论问题所需要的能力，平时多操作、多思考，提高能力.
初中数学中的分类讨论问题梳理归纳主要是以上四种动因的分类讨论.抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，就能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题的准确率.
针对性训练
1.已知x2+2（m-3）x+49是完全平方式，则m的值是（ ）
A. -3 B. 10
C. -4 D. 10或-4
2. 已知直角三角形两边x、y的长满足x-4+，则第三边长为 .
3. 已知关于x的方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0
（1） 若方程有实数根，求k的取值范围
（2） 若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长.
4. 求函数y=（-k）x2+（k-3）x+的图象与x轴的交点？
5.已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）.E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点.
（1） 设BE=x，ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2） 如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3） 联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与BME相似，求线段BE的长.
参考答案
1. D；2. 2或或；3 .（1） k？叟-，（2） 7，；4. k=或k=2时，与x轴只有一个交点（1，0）；当k≠且k≠2时，与x轴有两个不同交点（1，0），（，0）；.
一、填空题（每小题2分，共24分）
1．16的平方根是±4．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：（±4）2=16，
16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．用字母表示的实数m﹣2有算术平方根，则m取值范围是m≥2．
【分析】根据用字母表示的实数m﹣2有算术平方根，可得m﹣2≥0，据此求出m取值范围即可．
【解答】解：用字母表示的实数m﹣2有算术平方根，
m﹣2≥0，
解得m≥2，
即m取值范围是m≥2．
故答案为：m≥2．
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．点P（﹣4，1）关于x轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣1）．
【分析】根据点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）求解．
【解答】解：点P（﹣4，1）关于x轴对称的点的坐标为（﹣4，﹣1）．
故答案为（﹣4，﹣1）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）；点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
4．用四舍五入法把9.456精确到百分位，得到的近似值是9.46．
【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可．
【解答】解：9.456≈9.46（精确到百分位）．
故答案为9.46．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
5．如图，ABC≌DEF，则DF=4．
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【解答】解：ABC≌DEF，
DF=AC=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6．已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是﹣2．
【分析】当一次函数的图象经过二、四象限可得其比例系数为负数，据此求解．
【解答】解：函数是正比例函数，
m2﹣3=1且m+1≠0，
解得m=±2．
又函数图象经过第二、四象限，
m+1＜0，
解得m＜﹣1，
m=﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
7．已知a＜＜b，且a，b为两个连续整数，则a+b=7．
【分析】求出的范围：3＜＜4，即可求出ab的值，代入求出即可．
【解答】解：3＜＜4，a＜＜b，
ab是整数，
a=3，b=4，
a+b=3+4=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了对无理数的大小比较的应用，解此题的关键是求出的范围．
8．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
【分析】直接利用一次函数图象，结合式kx+b＞0时，则y的值＞0时对应x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
关于x的不等式kx+b＞0的解集是：x＜2．
故答案为：x＜2．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用数形结合是解题关键．
9．如图，长为12cm的弹性皮筋直放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则弹性皮筋被拉长了8cm．
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：根据题意得：AD=BD，AC=BC，ABCD，
则在RtACD中，AC=AB=6cm，CD=8cm；
根据勾股定理，得：AD===10（cm）；
所以AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=20﹣12=8（cm）；
即橡皮筋被拉长了8cm；
故答案为：8cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DPAB于点P，若四边形ABCD的面积是9，则DP的长是3．
【分析】作DEBC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明ADP≌CDE，得到DP=DE，SADP=SCDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S矩形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=9，易得DP=3．
【解答】解：作DEBC，交BC延长线于E，如图，
DPAB，ABC=90°，
四边形BEDP为矩形，
∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，
∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，
∠ADP=∠CDE，
在ADP和CDE中
，
ADP≌CDE，
DP=DE，SADP=SCDE，
四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S矩形BEDP，
DP2=9，
DP=3．
故答案为3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形的性质和勾股定理．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．
11．如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一定点，D是射线OA上的一定点，E是OB上的某一点，满足PE=PD，则∠OEP与∠ODP的数量关系是∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
【分析】以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，根据SAS证E2OP≌DOP，推出E2P=PD，得出此时点E2符合条件，此时∠OE2P=∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，根据等腰三角形性质推出∠PE2E1=∠PE1E2，求出∠OE1P+∠ODP=180°即可．
【解答】解：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，理由如下：
以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，如图所示：
在E2OP和DOP中，，
E2OP≌DOP（SAS），
E2P=PD，
即此时点E2符合条件，此时∠OE2P=∠ODP；
以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，
则此点E1也符合条件PD=PE1，
PE2=PE1=PD，
∠PE2E1=∠PE1E2，
∠OE1P+∠E2E1P=180°，
∠OE2P=∠ODP，
∠OE1P+∠ODP=180°，
∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，
故答案为：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生的猜想能力和分析问题和解决问题的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
12．如图，直线y=x+2于x、y轴分别交于点A、B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C移动的距离为+1．
【分析】先求出直线y=x+2与y轴交点B的坐标为（0，2），再由C在线段OB的垂直平分线上，得出C点纵坐标为1，将y=1代入y=x+2，求得x=﹣1，即可得到C′的坐标为（﹣1，1），进而得出点C移动的距离．
【解答】解：直线y=x+2与y轴交于B点，
x=0时，
得y=2，
B（0，2）．
以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，
C在线段OB的垂直平分线上，
C点纵坐标为1．
将y=1代入y=x+2，得1=x+2，
解得x=﹣1．
故C点到y轴的距离为：，故点C移动的距离为：+1．
故答案为：+1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移，得出C点纵坐标为1是解题的关键．
二、选择题（每小题3分，共24分）
13．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】点P的横坐标为负，在y轴的左侧，纵坐标为正，在x轴上方，那么可得此点所在的象限．
【解答】解：点P的横坐标为负，纵坐标为正，
点P（﹣2，1）在第二象限，
故选B．
【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
14．在实数0、π、、、﹣、3.1010010001中，无理数的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数，根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：无理数有：π、，共2个，
故选B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
15．以下图形中对称轴的数量小于3的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据对称轴的概念求解．
【解答】解：A、有4条对称轴；
B、有6条对称轴；
C、有4条对称轴；
D、有2条对称轴．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
16．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（）
A．∠A：∠B：∠C=l：2：3
B．三边长为a，b，c的值为1，2，
C．三边长为a，b，c的值为，2，4
D．a2=（c+b）（c﹣b）
【分析】由直角三角形的定义，只要验证角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠C=×180°=90°，故是直角三角形，故本选项错误；
B、12+（）2=22，能构成直角三角形，故本选项错误；
C、22+（）2≠42，不能构成直角三角形，故本选项正确；
D、a2=（c+b）（c﹣b），a2=c2﹣b2，能构成直角三角形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
17．已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y=﹣x﹣2的图象上，则（）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≤y2D．y1≥y2
【分析】根据k＜0，一次函数的函数值y随x的增大而减小解答．
【解答】解：k=﹣1＜0，
函数值y随x的增大而减小，
﹣2＜3，
y1＞y2．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数的增减性，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
18．如图，在ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=1，则BC的长为（）
A．3B．2+C．2D．1+
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．
【解答】解：DE是AB的垂直平分线，
AD=BD，
∠DAE=∠B=30°，
∠ADC=60°，
∠CAD=30°，
AD为∠BAC的角平分线，
∠C=90°，DEAB，
DE=CD=1，
∠B=30°，
BD=2DE=1，
BC=3，
故选A．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
19．如图，RtMBC中，∠MCB=90°，点M在数轴﹣1处，点C在数轴1处，MA=MB，BC=1，则数轴上点A对应的数是（）
A．+1B．﹣+1C．﹣﹣lD．﹣1
【分析】通过勾股定理求出线段MB，而线段MA=MB，进而知道点A对应的数，减去1即可得出答案．
【解答】解：在RtMBC中，∠MCB=90°，
MB=，
MB=，
MA=MB，
MA=，
点M在数轴﹣1处，
数轴上点A对应的数是﹣1．
故选：D．
【点评】题目考察了实数与数轴，通过勾股定理，在数轴寻找无理数．题目整体较为简单，与课本例题类似，适合随堂训练．
20．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在图中找出格点C，使得ABC是腰长为无理数的等腰三角形，点C的个数为（）
A．3B．4C．5D．7
【分析】根据题意画出图形，找到等腰三角形，计算出腰长进行判断即可．
【解答】解：等腰三角形ABC1中，腰AC1=AB===2；
等腰三角形ABC2中，腰AC2=AB===2；
等腰三角形ABC3中，腰AC3=BC3==；
等腰三角形ABC4中，腰AC4=BC4==；
等腰三角形ABC5中，腰AC5=BC5==；
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理，利用格点构造等腰三角形计算出腰长是解题的关键．
三、解答题（52分）
21．计算：．
【分析】首先化简二次根式，然后按照实数的运算法则依次计算．
【解答】解：=2+0﹣=．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解题需注意区分三次方根和平方根．
22．（1）已知：（x+1）2﹣9=0，求x的值；
（2）已知a﹣3的平方根为±3，求5a+4的立方根．
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值；
（2）利用平方根定义求出a的值，代入原式求出立方根即可．
【解答】解：（1）方程变形得：（x+1）2=9，
开方得：x+1=3或x+1=﹣3，
解得：x1=2，x2=﹣4；
（2）由题意得：a﹣3=9，即a=12，
则5a+4=64，64的立方根为4．
【点评】此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
23．已知，如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB=CD，EA∥FB，EC∥FD，求证：EA=FB．
【分析】首先利用平行线的性质得出，∠A=∠FBD，∠D=∠ECA，进而得出EAC≌FBD，即可得出AC=BD，进而得出答案．
【解答】证明：EA∥FB，
∠A=∠FBD，
EC∥FD，
∠D=∠ECA，
在EAC和FBD中，
，
EAC≌FBD（AAS），
EA=FB．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出EAC≌FBD是解题关键．
24．如图，已知一次函数y1=（m﹣2）x+2与正比例函数y2=2x图象相交于点A（2，n），一次函数y1=（m﹣2）x+2与x轴交于点B．
（1）求m、n的值；
（2）求ABO的面积；
（3）观察图象，直接写出当x满足x＜2时，y1＞y2．
【分析】（1）先把A点坐标代入正比例函数解析式求出n，从而确定A点坐标，然后利用待定系数法确定m的值；
（2）由一次函数y1=x+2求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据函数的图象即可求得．
【解答】解：（1）把点A（2，n）代入y2=2x得n=2×2=4，则A点坐标为（2，4），
把A（2，4）代入y1=（m﹣2）x+2得，4=（m﹣2）×2+2
解得m=3；
（2）m=3，
y1=x+2，
令y=0，则x=﹣2，
B（﹣2，0），
A（2，4），
ABO的面积=×2×4=4；
（3）由图象可知：当x＜2时，y1＞y2．
故答案为x＜2．
【点评】本题考查了两直线平行或相交的问题：直线y=k1x+b1（k1≠0）和直线y=k2x+b2（k2≠0）平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1（k1≠0）和直线y=k2x+b2（k2≠0）相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．
25．如图所示，ACB与ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点．
（1）求证：BCD≌ACE；
（2）若AE=8，DE=10，求AB的长度．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，∠B=∠BAC=45°，求出∠ACE=∠BCD，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据全等求出AE=BD，∠EAC=∠B=45°，求出∠EAD=90°，在RtEAD中，由勾股定理求出AD，即可得出AB的长度．
【解答】（1）证明：ACB与ECD都是等腰直角三角形，
CE=CD，AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，∠B=∠BAC=45°，
∠ACE=∠BCD=90°﹣∠ACD，
在ACE和BCD中，，
BCD≌ACE（SAS）；
（2）解：BCD≌ACE，
BD=AE=8，∠EAC=∠B=45°，
∠EAD=45°+45°=90°，
在RtEAD中，由勾股定理得：AD===6，
AB=BD+AD=8+6=14．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能求出ACE≌BCD和求出AD的长，难度适中．
26．（1）观察与归纳：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线l与y轴平行，点A与点B是直线l上的两点（点A在点B的上方）．
①小明发现：若点A坐标为（2，3），点B坐标为（2，﹣4），则AB的长度为7；
②小明经过多次取l上的两点后，他归纳出这样的结论：若点A坐标为（t，m），点B坐标为（t，n），当m＞n时，AB的长度可表示为m﹣n；
（2）如图2，正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+6交于点A，点B是y=﹣x+6图象与x轴的交点，点C在第四象限，且OC=5．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点0、B重合），过点P与y轴平行的直线l交线段AB于点Q，交射线OC于R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知当t=4时，直线l恰好经过点C．
①求点A的坐标；
②求OC所在直线的关系式；
③求m关于t的函数关系式．
【分析】（1）直线AB与y轴平行，A（x1，y1），B（x2，y2），A、B两点横坐标相等，再根据AB的长度为|y1﹣y2|即可求得，
（2）①联立方程，解方程得出A点的坐标；
②根据勾股定理求得C点坐标，然后根据待定系数法即可求得OC所在直线的关系式；
③分两种情况分别讨论求出即可．
【解答】解：（1）①若点A坐标为（2，3），点B坐标为（2，﹣4），则AB的长度为3﹣（﹣4）=7；
②若点A坐标为（t，m），点B坐标为（t，n），当m＞n时，AB的长度可表示为m﹣n；
故答案为7；m﹣n；
（2）①解得，
A（3，3）；
②直线l平行于y轴且当t=4时，直线l恰好过点C，如图2，作CEOB于E，
OE=4，
在RtOCE中，OC=5，
由勾股定理得：
CE==3，
点C的坐标为：（4，﹣3）；
设OC所在直线的关系式为y=kx，则﹣3=4k，
k=﹣，
OC所在直线的关系式为y=﹣x；
③由直线y=﹣x+6可知B（6，0），
作ADOB于D，
A（3，3），
OD=BD=AD=3，
∠AOB=45°，OA=AB，
∠OAB=90°，∠ABO=45°
当0＜t≤3时，如图2，
直线l平行于y轴，
∠OPQ=90°，
∠OQP=45°，
OP=QP，
点P的横坐标为t，
OP=QP=t，
在RtOCE中，
tan∠EOC=|k|=，
tan∠POR==，
PR=OPtan∠POR=t，
QR=QP+PR=t+t=t，
m关于t的函数关系式为：m=t；
当3＜t＜6时，如图3，
∠BPQ=90°，∠ABO=45°，
∠BQP=∠PBQ=45°，
BP=QP，
点P的横坐标为t，
PB=QP=6﹣t，
PR∥CE，
BPR∽BEC，
=，
=，
解得：PR=9﹣t，
QR=QP+PR=6﹣t+9﹣t=15﹣t，
m关于t的函数关系式为：m=15﹣t；
综上，m关于t的函数关系式为m=．
【点评】此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
27．如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是80千米/时，乙车行驶的时间t=6小时；
（2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；
（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距8O千米．
【分析】（1）结合题意，利用速度=路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间；
（2）找到甲车到达C地和返回A地时x与y的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式；
（3）甲、乙两车相距80千米有两种情况：
①相向而行：相等关系为“甲车行驶路程+乙车行驶路程+甲乙间距离=480”，
②同向而行：相等关系为“甲车距它出发地的路程+乙车路程﹣甲乙间距离=480”
分别根据相等关系列方程可求解．
【解答】解：（1）乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，
乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间t=480÷80=6（小时）；
（2）根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时，
甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，
结合函数图象可知，当x=时，y=300；当x=5时，y=0；
设甲车从C地按原路原速返回A地时，即，
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=kx+b，
将函数关系式得：，
解得：，
故甲车从C地按原路原速返回A地时，
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=﹣120x+600；
（3）由题意可知甲车的速度为：（千米/时），
设甲车出发m小时两车相距8O千米，有以下两种情况：
①两车相向行驶时，有：120m+80（m+1）+80=480，
解得：m=；
②两车同向行驶时，有：600﹣120m+80（m+1）﹣80=480，
解得：m=3；
甲车出发两车相距8O千米．
故答案为：（1）80，6．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要理解分段函数图象所表示的实际意义，