时间：2023-09-26 07:59:27
一、 活动内容设计
由等腰三角形的一些性质，通过师生对话及一系列问题的提出，逐步把问题引向深入．促使学生根据已学的有关知识，运用一般化、特殊化等思想方法，在自主探索过程中不断地发现一些有趣的性质，最后得到三角形的费马点。
例题：已知：ABC中，AB=AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线.求证：BD=CE。
在给出了以上例题后，教师与学生一起由浅入深、由此及彼，逐步探讨如下一系列问题：
问1：题设、结论各是什么？你能按题意画出图形吗?
问2：如何来证明？
问3：有另外的证法吗？
问4：题中条件不变，你还能推出什么结论？
问5：回到原题，你能用文字语言叙述一下吗？
问6：如题中条件稍作变化，你能否得到相应的结论呢？
问7：刚才，我们证明了等腰三角形两腰上的高相等，试问，点B到直线AC的距离与点C到直线AB的距离相等吗？
问8：固定三角形，让点B移动到点P（底边BC上一点），试问，点P到AC的距离与点C到AB的距离有何关系？若PN、PM分别是P到AB、AC的距离，那么PN、PM与CE之间有何关系？
问9：能否证明你的猜想？
问10：你能想出几种不同的证法？
问11：若点P继续运动到BC的延长线上，又会有什么结论呢？
问12：若ABC是等边三角形，你又有什么新发现？
问13：若ABC中AB>AC，点P在边BC上，你有什么猜测？
问14：若点P为任意ABC内一点，它到三边距离之和为PD+PE+PF，对此，你又有什么认识？
问15：若改为点P到ABC三顶点的距离之和，你又有什么想法？什么时候PA+PB+PC为最小？能证明吗？
二、 活动过程设计
“问1”、“问2”意在培养学生的审题、画图、证明等基本素养。活动过程中应重视学生“双基”的训练。
“问3”“问4”则重在培养学生的发散性思维。“问3”是解法开放，应积极引导学生调动自己头脑中已有的知识经验，探寻多种解法。“问4”也就是结论开放，应引导学生展开联想，大胆猜想。
“问5”在于培养学生的语言转换能力。让学生换个角度去叙述问题，把数学符号语言转换成文字语言，学生就较容易想到相应的线段如中线、高是否有同样的等量关系。于是，学生就可能会思考如“问6”的问题。
“问6”与“问7”之间，教师把学生引导到“距离”这一概念上去，加深学生对“距离”概念的认识，另一方面，把问题从“高”这一角度转移到“距离”这一角度，也是一种语言转换。这一转换，“问7”、“问8”也就顺应而出。在此，应使学生意识到问题的不断转换，将有助于新问题的提出，有助于获得新发现。
“问9”、“问10”应使学生通过探寻不同的解法，让学生回顾复习证两线段之和等于一条线段的常用方法（或一般规律）：截取、延长、平移、对称等等，从中探寻一般规律。
“问11”渗透运动的观点，用动态的观点去处理点P跃过点C时的情况。教学中可通过多媒体辅助手段显示点P的运动及PN、PM的变化，让学生通过观察，得出相应猜测及证明。
“问12”、“问13”让学生从特殊化、一般化的角度去加强或减弱条件，并猜测其可能的结果。学会特殊化，学会一般化，学会类比，学会联想，学会猜测。
“问14”中的点P更富有一般性。此时，使学生认识到其结论一般也更具不确定性，但应引导学生思考“是否具有最大值与最小值呢？”
“问15”运用类比，把点到直线的距离变为点与点之间的距离，从而提出了“费马点”。
“费马点”的证明，对初中学生来说是比较困难的，但在前面运用平移、对称变换来证明的基础上引导学生如何将三条线段接起来（运用旋转变换）就不十分困难，分类讨论也就显得自然了。
宋代历史学家司马光小时候砸缸救小伙伴的故事给我们启示：在证明时，如果不能顺利地从条件推出结论，不妨倒过来想.这种“让水离开人”、“执果索因”的推理方法称为分析法，而“让人离开水”，即在证明时顺利地从条件推出结论，这种“由因导果”的推理方法称为综合法.“分析法”和“综合法”是我们常用的数学思维方法.
反证法是一种特殊的证明方法.在证明时，不是直接证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设，然后推导出矛盾的结果，从而证明命题的结论成立，这种方法叫反证法.
运用反证法证明问题时，结论的反面要找得准确、全面，证明的每一步要有依据，直到推出与“定义、定理、基本事实、已知条件”等相矛盾.
2. 等腰三角形
（1） 等腰三角形的主要性质有：等边对等角；等腰三角形的三线合一性；等边三角形的每个内角都等于60°；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；等等.应用性质可以简捷地证明三角形中的线段或角的相等、线段的垂直等.
（2） 判定一个三角形是等腰三角形，除了利用定义外，也可以利用等腰三角形的判定定理：等角对等边.等边三角形是特殊的等腰三角形，其判定方法有：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，这时60°的角是顶角还是底角都无妨.
（3） 关注“分类讨论”的数学思想方法.因为等腰三角形中有两边相等，有两角相等，所以当“边”或“角”元素不确定时，就需要分类讨论.
3. 直角三角形
直角三角形是一种特殊的三角形，因此学习时要特别注意对其特殊性质的理解和应用.如“直角三角形的两个锐角互余”是一般三角形所不具备的；“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，这个性质反映出任何一个直角三角形斜边上的中线把它分成两个等腰三角形，因此，学习直角三角形时必须与等腰三角形紧密结合；“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，不是任何直角三角形所具有的.
直角三角形与等腰三角形的密切关系还表现在：以任意直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，得到的轴对称图形，一定是一个等腰三角形.同时任意等腰三角形的底边上的高，一定分它为两个全等的直角三角形.这种关系使我们能更好地理解和掌握“斜边直角边定理”.
4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形
这些图形的概念重叠交错，容易混淆，常常出现“张冠李戴”的现象，所以它们之间的联系和区别是本章学习的难点.分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服难点的关键.它们之间的联系与区别可通过下图表示：
5. 在“等腰梯形的性质定理和判定定理”探究中运用的数学方法
等腰梯形的性质和判定的探究是建立在等腰三角形和平行四边形基础上的，所以可通过添加辅助线的方式将等腰梯形转化为等腰三角形和平行四边形，常见辅助线如下：
通过“转化”，我们得到了等腰梯形的性质定理：等腰梯形同一底上的两底角相等；等腰梯形的对角线相等.等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
6. 三角形的中位线定理
三角形中位线定理包含两个内容：（1） 三角形的中位线平行于第三边；（2） 三角形的中位线等于第三边的一半.前者是两条线段所在直线的位置关系，后者是线段与线段之间的数量关系，因此定理的作用也就不言而喻了.
在许多问题中，常常提供与中点有关的信息，为此，我们通常构造三角形的中位线，利用中位线定理揭示线段之间的位置与数量关系，为进一步探究新信息提供支撑.
关键词：分类讨论；等腰三角形；直角三角形
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学方法，同时也是一种重要的解题策略。这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。下面我以特殊三角形为例，浅显地谈谈分类法的应用。
一、等腰三角形的腰或底边不定时需要分类讨论
在等腰三角形中求边长时，要看给出的边长是否确定为腰长或底边，若已确定，则直接利用等腰三角形的性质定理求解；若没有指出所给的边是腰还是底边，要分两种情况讨论，并三角形内角和三边的关系检验其是否能构成三角形。
例1.已知在等腰三角形中，（1）若一边长等于4 cm，另一边等于5 cm，求它的周长；（2）若周长为20 cm，一边长为5 cm，求它的三边长。
分析：不能确定已知边是腰还是底边，因此分两种情况讨论：
（1）若底边长为4 cm，则腰长为5 cm，这时它的周长为4+5+5=14 cm；若腰长为4 cm，则底边长为5 cm，这时它的周长为4+4+5=13 cm，所以这个三角形的周长等于14 cm或13 cm.
（2）若底边长为5 cm，则腰长为7.5 cm.
（3）若长为5 cm的边是腰，则底边长为10 cm，因为5+5=10 cm，即两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系，因此三角形不存在，所以它的边长为5 cm，7.5 cm，7.5 cm.
例2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
分析：已知条件并没有指明哪一部分是9 cm，哪一部分是12 cm，因此，应有两种情形。
若设这个等腰三角形的腰长是x cm，底边长为y cm，可得x+ x=9 x+y=12或x+ x=12 x+y=9解得x=6y=9或x=8y=5即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm。
二、等腰三角形的顶角或底角不定时需要分类讨论
在等腰三角形中求边角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角，若已确定，则直接利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质定理1（等边对等角）求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理。
例3.已知等腰三角形的一个内角度数，计算三角形的另外两个角的读数。
（1）已知一个角是30°；（2）已知一个角是160°。
分析：如果已知等腰三角形的一个内角是锐角，可分两种情况，顶角是已知锐角或者底角是已知锐角；如果已知一角是钝角或者直角，那么它一定是等腰三角形的顶角。
（1）若已知角是顶角，则另外两个角是底角，度数为 ×（180°-30°）=75°；若已知角是底角，则顶角度数为180°-2×30°=120°，另一个底角为30°。
（2）由于已知等腰三角形的一个角是160°，又由于两个底角相等，因此这个角只能是顶角，因此这个角只能是顶角，因此两个底角度数都是 ×（180°-160°）=10°
三、等腰三角形的形状不定时需要分类讨论
由于等腰三角形类型的不同，高线所处的位置也不同。如果是锐角三角形则高线在三角形内部；如果是直角三角形，高线就是一条直角边；如果是钝角三角形，高线在三角形外部。所以在等腰三角形中求高线时，要看给出的三角形是否确定，若已确定，则直接利用三角形高线的位置进行求解；若没有指出则要分三种情况讨论。
例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，求底边上的高线长。
解析：题目没有确定三角形的类型，所以这个等腰三角形需分三种情况进行讨论。
（1）如图1，若ABC是锐角三角形时，已知AB=AC，BEAC，∠ABE=30°，ADBC，求AD的长。
因为腰长为a，∠ABE=30°，故腰上的高为 a，且顶角为60°，从而ABC是等边三角形，所以底边上的高为 a。
（2）如图2，若是钝角三角形，已知AB=AC，BEAC，∠ABE=30°，ADBC，求AD的长。
因为∠ABE=30°，所以∠BAC=90°+30°=120°.又因为AB=AC，所以∠BAC=30°。因为ADBC，所以AD= AC= a。
（3）若顶角为直角，显然是不成立的。
综上所述，底边上的高为 a或 a。
由以上的几个例子我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。
利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。
参考文献：
方志平.例谈避免分类讨论的解题策略.福建中学数学，2013（01）.
1 全等三角形的对应边、对应角相等2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)21 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合23 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 24 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形27 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线34定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 35逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称36勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^237勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形38定理 四边形的内角和等于360°39四边形的外角和等于360°40多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°41推论 任意多边的外角和等于360°42平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等43平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等44推论 夹在两条平行线间的平行线段相等45平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分46平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形47平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 48平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形49平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形50矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角51矩形性质定理2 矩形的对角线相等52矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形53矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形54菱形性质定理1 菱形的四条边都相等55菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角56菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷257菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形58菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形59正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等60正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角61定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 62定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分63逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称64等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等65等腰梯形的两条对角线相等66等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形67对角线相等的梯形是等腰梯形68平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等69 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰70 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边71 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半72 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2 S=L×h
关键词 取值范围 五线合一
中图分类号：G633.6 文献标识码：A
等腰三角形的边、角问题是初中数学教材中的重点内容，在运用其性质解决关于等腰三角形中的边角问题时由于题目繁多，学生总觉得困难，尤其是学生在遇到等腰三角形“边角计算问题”，“等腰三角形的各边的取值范围”和等腰三角形“三线合一”问题时经常会出现这样和那样的问题，作为教师觉得头痛，同时再加上等腰三角形的底边垂直平分线和对称轴之后，这样就出现了“五线合一”，学生更觉得糊涂分不清了。
1有关等腰三角形的边角计算的讨论问题
1.1等腰三角形的边的问题
（1）已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为9 cm，则它的周长为多少？
（2）已知等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4 cm，则它的周长为多少？
分析时要分类考虑，是否构成三角形，若构成在求周长，否则就没有。
第（1）题：5、5、9或5、9、9都能构成等腰三角形，所以周长为19 cm或23 cm；
第（2）题：4、4、9构不成三角形，而4、9、9能够成等腰三角形，此周长为22 cm。
（3）等腰三角形的一个角为400，它的另外两个角为多少？
（4）等腰三角形的一个角为1000，它的另外两个角为多少？
分析时也要分类考虑：
第3题：当400为顶角时，另外两个角分别为700，700；当400为底角时，另外两个角为400，1000。
第4题：当1000为顶角时，另外两个角分别为400，400；当1000为底角时，就构不成三角形。
1.2如何确定“等腰三角形的各边的取值范围”的问题
1.2.1已知等腰三角形的周长，如何确定腰长和底边长的取值范围
为了学生便于理解和掌握，笔者在教学中，做一个等腰三角形的教具：用两条相等的木条AB、AC做等腰三角形的两腰，用一条橡皮筋BC做等腰三角形的底边，做成一个等腰ABC。
操作方法：先从等腰ABC的顶点A上拉，要求两腰AC、AB重合，使底边BC为零。两腰之和与等腰三角形的周长相等，每一条腰等于周长的1/2，为了保证三角形的成立，必须每一条腰小于周长的1/2，必须大于零；然后将等腰ABC的底角的顶点B、C拉直，两腰之和等于底边，即底边等于周长的1/2，为了保证三角形的成立，必须底边小于周长的1/4，底边必须大于零，否则不能构成三角形。所以有以下的结论：
（1）腰的取值范围
等腰三角形的腰的取值范围这样确定比较简便：腰长小于等腰三角形周长的1/2，必须大于周长的1/4。
例如：等腰三角形的周长为20厘米，试确定等腰三角形的腰的取值范围？
分析：设等腰三角形的腰长为X厘米
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（2）底边取值范围
等腰三角形的底边的取值范围这样确定比较简便：底边长小于等腰三角形周长的1/4，且大于零。
例如：等腰三角形的周长为20厘米，试确定等腰三角形的底边的取值范围？
分析：设等腰三角形的底边长为X厘米
1.2.2已知等腰三角形的腰长，如何确定底边长的取值范围
根据三角形的三边不等关系可知：底边长大于零而小于腰长的两倍。
例如：等腰三角形的腰长为15厘米，试确定等腰三角形的底边的取值范围？
分析：设等腰三角形的底边长为X厘米
1.2.3已知等腰三角形的底边长，如何确定腰长的取值范围
根据三角形的三边不等关系可知：腰长大于底边长的1/2即可。
例如：等腰三角形的底边长为18厘米，试确定等腰三角形的腰长的取值范围？
分析：设等腰三角形的腰长为X厘米
X>18/2，即X>9。所以：等腰三角形的底边长的取值范围是X>9。
2等腰三角形中“五线合一”
（1）等腰三角形中的“五线”指的是等腰三角形的顶角平分线AD、底边上的中线AD、底边上的高AD、底边上的垂直平分线MN和对称轴MN。
（2）等腰三角形中的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高指的是线段。
如图：线段AD是等腰三角形顶角∠BAC的平分线，底边BC上的高线，也是底边BC上的中线。
（3）等腰三角形的底边垂直平分线和对称轴指的是直线。
如图：直线MN是等腰三角形的对称轴，也是底边BD的垂直平分线。
（4）等腰三角形的底边垂直平分线、对称轴都是等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线。
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC≌ADC的是（） A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90° 2．下列说法中，错误的是（） A． 任意两条相交直线都组成一个轴对称图形 B． 等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴 C． 成轴对称的两个三角形一定全等 D． 全等的两个三角形一定成轴对称 3．下列各组数是勾股数的是（） A． 12、15、18 B． 0.3、0.4、0.5 C． 1.5、3、2.5 D． 12、16、20 4．一个三角形的三个外角之比为3：3：2，则这个三角形是（） A． 等腰三角形 B． 等腰直角三角形 C． 直角三角形 D． 等边三角形 5．和三角形三条边距离相等的点是（） A． 三条角平分线的交点 B． 三边中线的交点 C． 三边上高所在直线的交点 D． 三边的垂直平分线的交点 6．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③ ；④EF一定平行BC．其中正确的是（） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，则∠C=． 8．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为． 9．已知ABC的三边长分别为9、12、15，则最长边上的中线长为． 10．如图，一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），则EC=． 11．已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是度． 12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发 现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米． 13．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b=． 14．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=cm． 15．如图，D是等边ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，ABC的周长是9，则∠E=°，CE=． 16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；当点E运动到与 点C的距离为1时，则DEF的面积=． 三、解答题（共10小题，满分102分）17．作图一：如图1，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE． （1）在图中画出AEF，使AEF与AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；（2）请直接写出AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．作图二：如图2，ABC与DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图2中作出直线l．（保留作图痕迹） 18．如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度数． 19．如图，ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．①若BCD的周长为8，求BC的长；②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数． 20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：DE=DF． 21．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用． 22．如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由． 23．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MNBD． 24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由． 25．如图，在RtABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿BC边向点C以1.5cm/s的速度运动．（1）20s后，点P与点Q之间相距cm．（2）在（1）的条件下，若P、Q两点同时相向而行，秒后两点相遇．（3）多少秒后，AP=CQ？ 26．如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，ANON，BOON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP=；（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；（3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值． 2014-2015学年江苏省泰州市高港实验中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC≌ADC的是（） A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°考点： 全等三角形的判定．分析： 本题要判定ABC≌ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定ABC≌ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．解答： 解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定ABC≌ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定ABC≌ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定ABC≌ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定ABC≌ADC，故D选项不符合题意；故选：C．点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．下列说法中，错误的是（） A． 任意两条相交直线都组成一个轴对称图形 B． 等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴 C． 成轴对称的两个三角形一定全等 D． 全等的两个三角形一定成轴对称考点： 轴对称图形．分析： 根据轴对称图形，轴对称的定义和性质分析找出错误选项．解答： 解：A、正确，任意两条相交直线的夹角平分线是其对称轴，都能组成一个轴对称图形．B、正确，等腰三角形有1条对称轴，等腰三角形三条边都相等时有3条对称轴；C、正确，根据成轴对称的性质可知；D、错误，全等的两个三角形不一定成轴对称．故选D．点评： 本题考查了轴对称图形，轴对称以及对称轴的定义和应用．关于某条直线对称的一个图形叫轴对称图形．直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称． 3．下列各组数是勾股数的是（） A． 12、15、18 B． 0.3、0.4、0.5 C． 1.5、3、2.5 D． 12、16、20考点： 勾股数．分析： 根据凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数是勾股数，分别对每个选项进行验证即可解题．解答： 解：A、122+152≠182，A错误，B、0.32+0.42=0.52，但0.3、0.4、0.5不是正整数，B错误；C、1.52+2.52≠32，C错误；D、122+162=202，D正确；故选 D．点评： 本题考查了勾股数的判定，根据勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数解题是解题的关键． 4．一个三角形的三个外角之比为3：3：2，则这个三角形是（） A． 等腰三角形 B． 等腰直角三角形 C． 直角三角形 D． 等边三角形考点： 三角形的外角性质．分析： 根据三角形的外角和等于360°求出三个外角，再求出三个内角，即可得出答案．解答： 解：三角形的三个外角之比为3：3：2，三角形的三个外角的度数为：135°，135°，90°，三角形对应的内角度数为45°， 45°，90°，此三角形是等腰直角三角形，故选B．点评： 本题考查了三角形的外角和三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出各个内角的度数． 5．和三角形三条边距离相等的点是（） A． 三条角平分线的交点 B． 三边中线的交点 C． 三边上高所在直线的交点 D． 三边的垂直平分线的交点考点： 角平分线的性质．分析： 题目要求到三边距离相等，可两两分别思考，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案．解答： 解：中线交点即三角形的重心，三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，B错误；高的交点是三角形的垂心，到三边的距离不相等，C错误；线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，D错误；角平分线上的点到角两边的距离相等，要到三角形三条边距离相等的点，只能是三条角平分线的交点，A正确．故选A．点评： 本题考查了角平分线的性质；熟练掌握三角形中角平分线，重心，垂心，垂直平分线的性质，是解答本题的关键． 6．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③ ；④EF一定平行BC．其中正确的是（） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．分析： 由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③ ．解答： 解：①三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DEAC，DFAB，∠ADE=∠ADF，DF=DE，AF=AE，∠AFE=∠AEF，故正确；②DF=DE，AF=AE，点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，AD垂直平分EF，故正确；③SBFD= BF•DF，SCDE= CE•DE，DF=DE， ；故正确；④∠EFD不一定等于∠BDF，EF不一定平行BC．故错误．故选A．点评： 此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，则∠C= 30° ．考点： 等腰三角形的性质．分析： 首先根据∠A的度数判断∠A是顶角，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理不能求得底角∠C的度数．解答： 解：等腰ABC中，∠A=120°，∠A为顶角，∠C= （180°﹣∠A）= （180°﹣120°）=30°．故答案为：30°．点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握． 8．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 22 ．考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析： 由于题目没有说明4和9，哪个是底哪个是腰，所以要分类讨论．解答： 解：当腰长为4，底长为9时；4+4＜9，不能构成三角形；当腰长为9，底长为4时；9﹣4＜9＜9+4，能构成三角形；故等腰三角形的周长为：9+9+4=22．故填22．点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条 件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 9．已知ABC的三边长分别为9、12、15，则最长边上的中线长为 7.5 ．考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．分析： 利用勾股定理逆定理判断出ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．解答： 解：92+122=225=152，ABC是直角三角形，最长边上的中线长= ×15=7.5．故答案为：7.5．点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，熟记性质并判断出三角形是直角三角形是解题的关键． 10．如图，一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），则EC= 3 ． 考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 首先根据勾股定理求出BF的长，进而求出FC的长；再次根据勾股定理，列出关于线段EF的方程，求出EF的长度，即可解决问题．解答： 解：四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AD=BC=10；DC=AB=8；由题意得：AF=AD=10，EF=ED=λ，则EC=8﹣λ；由勾股定理得：BF2=102﹣82=36，BF=6，CF=10﹣6=4；由勾股定理得：λ2=42+（8﹣λ）2，解得：λ=5，EC=8﹣5=3，故答案为：3． 点评： 该题主要考查了翻折变换及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 11．（3分）（2014秋• 泰州校级期中）已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是 35 度． 考点： 角平分线的性质．分析： 过点E作EFAD，证明ABE≌AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．解答： 解：过点E作EFAD，DE平分∠ADC，且E是BC的中点，CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，ABE≌AFE，∠EAB=∠EAF．又∠CED=35°，∠C=90°，∠CDE=90°﹣35°=55°，∠CDA=110°，∠B=∠C=90°，DC∥AB，∠CDA+∠DAB=180°，∠DAB=70°，∠EAB=35°．故答案为：35． 点评： 本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线EFAD，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 12 米．考点： 勾股定理的应用．专题： 应用题．分析： 由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．解答： 解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，旗杆垂直于地面，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52=（x+1）2，解得x=12m．点评： 此题很简单，只要熟知勾股定理即可解答． 13．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b= 5 ． 考点： 勾股定理的证明．分析： 根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到 a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．解答： 解：大正方形的面积是13，c2=13，a2+b2=c2=13，直角三角形的面积是 =3，又直角三角形的面积是 ab=3，ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．a+b=5（舍去负值）．故答案是：5．点评： 本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系． 14．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD= 4 cm． 考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质．专题： 计算题．分析： 先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出ADE≌CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．解答： 解：AB∥CF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠FEC，E为DF的中点，ADE≌CFE，AD=CF=5cm，AB=9cm，BD=9﹣5=4cm．故填4．点评： 本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单． 15．如图，D是等边ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，ABC的周长是9，则∠E= 30 °，CE= ． 考点： 等边三角形的性质．专题： 综合题．分析： 由ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据“三线合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC为60°，得到∠DBE为30°，又因为DE=DB，根据等边对等角得到∠E与∠DBE相等，故∠E也为30°；由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB为60°，根据∠ACB为DCE的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD=CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值．解答： 解：ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，即∠DBE=30°，又DE=DB，∠E=∠DBE=30°，等边ABC的周长为9，AC=3，且∠ACB=60°，∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，CD=CE= AC= ．故答案为：30； 点评： 此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质可以解决角与边的有关问题，尤其注意等腰三角形“三线合一”性质的运用，及“等角对等边”、“等边对等角”的运用． 16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射 线CB上运动，且满足AE=CF；当点E运动到与点C的距离为1时，则DEF的面积= 或 ． 考点： 全等三角形的判定与性质．专题： 动点型．分析： 易证ADE≌CDF，CDE≌BCF，可得四边形CEDF面积是ABC面积的一半，再计算CEF的面积即可解题．解答： 解：①E在线段AC上，在ADE和CDF中， ，ADE≌CDF，（SAS），同理CDE≌BDF，四边形CEDF面积是ABC面积的一半，CE=1，CF=4﹣1=3，CEF的面积= CE•CF= ，DEF的面积= ×2 ×2 ﹣ = ．②E'在AC延长线上， AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=2 ，∠DCE'=∠DBF'=135°，在CDE'和BDF'中， ，CDE'≌BDF'，（SAS）DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'，∠CDE'+∠BDE'=90°，∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°，DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2×2 × =13，SE'DF'= DE'2= ．故答案为 或 ．点评： 本题考查了全等三角形的 判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ADE≌CDF和CDE≌BCF是解题的关键． 三、解答题（共10小题，满分102分）17．作图一：如图1，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE． （1）在图中画出AEF，使AEF与AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；（2）请直接写出AEF与四边形ABCD重叠部分的面积 8 ．作图二：如图2，ABC与DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图2中作出直线l．（保留作图痕迹）考点： 作图-轴对称变换．分析： 作图一：（1）利用轴对称图形的性质得出B点关于直线AE的对称点F，AEF即为所求；（2）AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为：S四边形AECD=2×4=8；作图二：利用轴对称图形的性质得出，直线l即为所求．解答： 解：作图一：（1）如图1所示：AEF即为所求；（2）AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为：2×4=8；故答案为：8；作图二：如图2所示：直线l即为所求 点评： 此题主要考查了轴对称变换，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键． 18．如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度数． 考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理．分析： 根据勾股定理求出CD、AD的长，再根据勾股定理逆定理求出AC2+BC2=AB2，判断出ABC是直角三角形即可求出∠ACB的度数．解答： 解：在RtBCD中，CD= = =12，在RtACD中，AD= = =16，AB=AD+DB=16+9=25，AC2+BC2=400+225=625，AB2=252=625，AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°．点评： 本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，在不同三角形中找到相应的条件是解题的关键． 19．如图，ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．①若BCD的周长为8，求BC的长；②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数． 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析： ①根据线段的垂直平分线的性质求出AD=BD，求出BD+DC+BC =BC+AC=8，即可得出答案；②设∠A=a°，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠ABD=a°，∠ABC=∠ACB=2a°，根据三角形内角和定理得出方程5a=180，求出后根据三角形的外角性质求出即可．解答： 解：①DE是线段AB的垂直平分线，AD=BD，BCD的周长为8，BD+DC+BC=BC+AD+DC=BC+AC=8，AB=AC=5，BC=3；②设∠A=a°，AD=BD，∠A=∠ABD=a°，BD平分∠ABC，∠ABD=∠CBD=a°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=2a°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，5a=180，a=36，∠A=∠ABD=36°，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．点评： 本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出AB=AE=EC，AE=2DE，综合性比较强，难度适中． 20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：DE=DF． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题： 证明题．分析： 连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DEAB，DFAC，利用角平分线定理即可得证．解答： 证明：连接AD，在ACD和ABD中， ，ACD≌ABD（SSS），∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，DEAE，DFAF，DE=DF． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 21．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用． 考点： 作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．专题： 作图题．分析： 作出点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O，连接BO，根据对称性可知，在点O处建水厂，铺设水管最短，所需费用最低．解答： 解：如图所示，点O就是建水厂的位置，AC=1km，BD=3km，CD=3km，AE=AC+CE=AC+DB′=AC+BD=1+3=4km，B′E=CD=3km，AB′= = =5km，铺设水管长度为：AO+OB=AO+OB′=AB′=5km，铺设水管的工程费用为每千米20 000元，铺设水管的总费用为：5×20 000=100 000元．故答案为：100 000元． 点评： 本题考查了应用与设计作图，主要利用轴对称的性质，找出点B关于CD的对称点是确定建水厂位置O的关键． 22．如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由． 考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题： 探究型．分析： 要判断AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD=∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．根据题中的条件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，BDA和BEC又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推导出∠FAC=∠FCA，那么三角形AFC应该是个等腰三角形．解答： 解：AFC是等腰三角形．理由如下：在BAD与BCE中，∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE，BAD≌BCE（AAS），BA=BC，∠BAD=∠BCE，∠BAC=∠BCA，∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．AF=CF，AFC是等腰三角形．点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键． 23．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MNBD． 考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM= AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．解答： 证明：如图，连接BM、DM，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，BM=DM= AC，点N是BD的中点，MNBD． 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题： 几何综合题．分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出DFAE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出DFC≌AFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．解答： （1）证明：ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，DFAE，DF=AF=EF，又∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∠DCF=∠AMF，在DFC和AFM中， ，DFC≌AFM（AAS），CF=MF，∠FMC=∠FCM；（2）ADMC，理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，∠FDE=∠FMC=45°，DE∥CM，ADMC．点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键． 25．如图，在RtABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿BC边向点C以1.5cm/s的速度运动．（1）20s后，点P与点Q之间相距 50 cm．（2）在（1）的条件下，若P、Q两点同时相向而行， 20 秒后两点相遇．（3）多少秒后，AP=CQ？ 考点： 勾股定理；一元一次方程的应用．专题： 动点型．分析： （1）在直 角BPQ中，根据 勾股定理来求PQ的长度；（2）由（1）中的PQ= 50得到：50=（1+1.5）t；（3）由路程=时间×速度列出等式．解答： 解：如图，在RtABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，AB= =60cm．（1）在直角BPQ中，由勾股定理得到：PQ= = =50（cm），即PQ=50cm；（2）由（1）知，PQ=50cm，则P、Q两点同时相向而行时，两点相遇的时间为： =20（秒）；（3）设t秒后，AP=CQ．则t=80﹣1.5t，解得 t=32．答：32秒后，AP=CQ．故答案是：（1）50 （2）20 （3）32． 点评： 本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义．解题时，需要熟悉路程=时间×速度，以及变形后的公式． 26．如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，ANON，BOON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP= 2 ；（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；（3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值． 考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．专题： 综合题．分析： （1）易证AOB是等边三角形，从而可得∠OPB=∠OAB=60°，即可得到∠OBP=30°，然后根据30°角所得的直角边等于斜边的一半即可求出OP的值；（2）如图①，由（1）可得OB=AB，∠ABP=∠OBP=30°，从而可证到OBP≌ABP，则有OP=AP=2，即可证到PA+PO=4=PB；（3）延长ON、BA交于点D，如图②．由AO=AB，∠DOB=90°可证到∠D=∠AOD，从而可得AD=AO，由ANOD可得DN=ON=5，由∠OPB=∠OAB可得∠AOD=∠PBD，从而得到∠D=∠PBD，则有PD=PB，即可得到PO+PB=PO+PD=OD=10．解答： 解：（1）点A是线段OB的垂直平分线上一点，AO=AB．∠AOB=60°，AOB是等边三角形，OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°．∠OPB=∠OAB=60°．BOON，即∠POB=90°，∠OBP=30°，OP= PB= ×4=2．故答案为2；（2）证明：如图①，由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°，∠ABP=∠ABO﹣∠OBP=30°=∠OBP．在OBP和ABP中， ，OBP≌ABP（SAS），OP=AP=2，PA+PO=4=PB；（3）延长ON、BA交于点D，如图②．AO=AB，∠AOB=∠ABO．∠DOB=90°，∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°，∠D= ∠AOD，AD=AO．ANOD，DN=ON=5．∠OPB=∠OAB，∠AOD=∠PBD，∠D=∠PBD，PD=PB，PO+PB=PO+PD=OD=10． 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、30°角所得的直角边等于斜边的一半、等角的余角相等等知识，证到OBP≌ABP是解决第（2）小题的关键，通过添加适当的辅助线将PO+PB转化为线段OD是解决第（3）小题的关键．
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004―0463（2014）18―0123―01
梯形是在学生了解了相交线、平行线、角、三角形、平行四边形等相关知识的基础上进行研究的一类特殊四边形，它实际上是前面这些内容的综合和拓展.笔者对人教版八年级教材上设置的一类特殊梯形问题进行了一些探究，有一些心得，与各位同仁交流.
问题1：如图1，AB//CD，BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.
问题2：如图2，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB+CD=BC，E是AD的中点， 求证：BECE.
一、解析
两个问题在求证结论或已知条件中均有式子BC=AB+CD，由此猜想它们之间是否有某种联系？
问题1：如图3，在线段BC上截取BF=AB，连接EF.由AB=BF，∠1=∠2，BE公用，知ΔABE≌ΔFBE（SAS），所以∠AEB=∠FEB，AB=BF，AE=EF①；由AB//CD知∠ABC+∠BCD=180°，又BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠2+∠3=90°，由此∠BEF+∠FEC=90°，那么∠AEB+∠DEC=90°.联系∠AEB=∠FEB可得∠FEC=∠DEC.再由∠3=∠4，CE公用可知ΔFEC≌ΔDEC（ASA），所以FC=CD，EF=ED②.所以BF+FC=AB+CD，即BC=AB+CD.
问题2：如图4，延长BE交CD延长线于点F，由AB//CD得∠ABE=∠DFE，∠BAE=∠FDE，由E是AD的中点得AE=ED，因此ΔABE≌ΔDFE（AAS），所以AB=DF，BE=EF，所以CF=CD+DF=CD+AB.已知BC=AB+CD，故BC=CF，即ΔBCF是等腰三角形，由BE=EF得CEBE（三线合一）.
二、归纳
1.解法比较.问题1采取“截长法”，综合运用平行线的性质，角平分线定义，等角的余角相等等知识点，通过两次三角形全等证明了结论； 问题2采取了“补短法”，综合运用垂线性质，线段中点定义，通过三角形全等证明新构造的三角形为等腰三角形，再根据三线合一性质证明结论.
2.内在联系.问题1的题设是“在梯形ABCD中，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上”，结论是“（1）BC=AB+CD；（2）E是AD的中点；（3）BECE”；问题2的题设是“在梯形ABCD中，AB//CD，BC=AB+CD，E是AD的中点（点E在AD上）”，结论是“（1）BE平分∠ABC，CE平分∠BCD；（2）BECE”.很显然，有下列关系存在：在梯形ABCD中，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上? BC=AB+CD 且E是AD的中点，可见，它们是一对互逆命题.由以上讨论知道，它们都是真命题.现概括如下：
定理1：如果梯形同一腰上两个内角的平分线交点在另一腰上，那么此梯形一腰长等于两底之和，两内角的平分线的交点是另一腰的中点.
定理2：如果梯形一腰长等于两底之和，那么该腰端点与另一腰中点的连线必平分同一腰上的两个内角.
三、拓展
1.面积公式和中位线长.S梯形=腰长×高=中位线×高，其中位线长=腰长.
等边三角形是特殊的等腰三角形。等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
（来源：文章屋网 ）