条件概率范文

时间:2023-03-03 09:20:32

条件概率范文第1篇

关键词:条件概率;概率;随机试验;事件;抽签

在多年的概率论教学过程中,笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念,特别是在求解有关问题时,往往无处着手,出现思维障碍,从而影响了学生的学习积极性。究其原因,基本上是对条件概率概念没有很好地理解;在教学过程中,教师也没有引起重视,一笔带过,而把重点放在全概率公式上,学生处于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。

首先,有必要弄清楚p(a/b),p(ab),p(a)这三者之间的区别与联系。

一是条件概率p(a/b)与概率p(a)的区别。

每一个随机试验都是在一定条件下进行的。设a是随机试验的一个事件,则p(a)是在一定条件下事件a发生的可能性的大小。而条件概率p(a/b)是指在原条件下又添加“事件b发生”这个条件时,事件a发生的可能性大小,即p(a/b)仍是概率,p(a)与p(a/b)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概率,在数值上一般也不相等。(注:“事件b发生”特指读者已经知道事件b发生,而实际上事件b往往在事件a发生之前发生,但也可以在事件a发生之后发生,如例1中求p(a1/a2a3),只是读者还不知道事件a已发生,用p(a/b)来估计事件a发生可能性的大小。

例1:5个签中的2个是“有”,3个是“无”,无放回地顺次抽取,每人抽一个,用ai表示第i个人抽到“有”这一事件,则p(a2)===,p(a2/a1)=。

二是条件概率p(a/b)与概率p(a)的数量关系。

条件概率p(a/b)是在原随机试验条件下又添加“事件b发生”这个条件时事件a发生的可能性大小,是否一定有p(a/b)≥p(a)呢?

1.当a、b互不相容时,a发生时b不发生,则p(a/b)=0≤p(a);

2.当a?奂b时,p(ab)=p(a),p(a/b)==≥p(a);

3.当a、b既不是互不相容,又不是包含关系时,因p(a/b)=,大于、等于、小于p(a)三种可能都有,如p(a)=0.5,p(b)=0.4,当p(ab)=0.30时,p(a/b)=0.75>p(a);当p(ab)=0.20时,p(a/b)=0.5=p(a);当p(ab)=0.10时,p(a/b)=0.25

三是条件概率p(a/b)与积事件的概率p(ab)的区别。

这两个概念从形式上看是容易区分的,但对于初学者来说很容易混淆,有必要强调一下。条件概率p(a/b)是指事件b发生这个条件下事件a发生的概率,而p(ab)是指a、b同时发生的概率。因而“事件b发生”在p(a/b)中是作为条件,而p(ab)中是作为结果,所以两者不相同。

例2:某班有男学生40人,女学生20人,通过英语六级者有15人,其中有女学生10人。在该班级中任意抽取一人,分别计算:

1.求所取的学生为女学生并且已通过英语六级的概率;

2.已知所取的学生为女学生,求其通过英语六级的概率。

解:设a={所取的学生已通过英语六级},b={女学生},则(1)为求事件a、b的积事件的概率p(ab)==;(2)为求在事件b发生条件下事件a发生的条件概率p(a/b)==。

其次,要深刻理解当p(b)>0时,条件概率公式p(a/b)=的意义。

一是要从理论上推出该公式非常困难,但从事件a、b的文氏图可直观地解释一下该公式,把p(a)看成为a的面积与必然事件ω的面积的比值,那么,p(a/b)为在b发生条件下a发生的概率,可理解为ab的面积与b的面积的比值,分别除以ω面积,即得条件概率公式p(a/b)=,可以让学生从心理上接受它并加深印象,而公式本身已证明是成立的,只要加以说明就行,这样可起到降低难度的作用。公式给出了计算条件概率的一种方法。

例3:某种品牌的彩色电视机使用寿命10年的概率为0.9,而使用寿命15年的概率为0.5,试求某台电视机已经使用10年的情况下,能再使用5年的概率。

解:设b={电视机使用寿命10年},a={电视机使用寿命15年},则p(a)=0.5,p(b)=0.9因为a发生必然导致b发生,即b?劢a,p(ab)=p(a)=0.5,p(a/b)===。

二是该公式的作用不仅仅用来计算条件概率,而且条件概率往往也可以直接算得,更重要的作用是用来计算积事件ab的概率,p(ab)=p(b)p(a/b)这就是我们所说的乘法公式。

例4:在例1中,计算p(a1a2)=p(a1)p(a2/a1)=×=,p(a2)=p(a1a2+a1a2)=p(a1)p(a2/a1)+p(a1)p(a2/a1)=×+×=,同理可得p(a3)=p(a4)=p(a5)=,这道题目的解答也说明了这样一个问题:无放回抽签不分先后,各个人抽到好签的可能性是一样的,不必为轮到后面而不高兴,关键的问题是操作规则要公正。也许会问前面的人好签抽走了,最后面的人还会有吗?那么要是前面的人没有全部抽走好签,最后面的人不是肯定能抽到好签吗?以上两种情况都属于条件概率。

如果没有这个乘法公式,计算p(a1a2)难度就大得多了,得考虑两个“好签”给5个人中的两个人抓到共有几种方法?是用排列数计算呢,还是用组合数计算呢?每种方法是否等可能的?要仔细分析一下,最后得:p(a1a2)===。

再次,条件概率公式为全概率公式的计算奠定了基础,从而解决了事件概率的计算问题。

一般教材都给出条件概率p(a/b)中p(b)必须大于0,那么当p(b)=0时,p(a/b)是否有意义呢?

显然条件概率公式是不能用了,当a、b所在的事件空间 ω中的基本事件个数为有限个时,由p(b)=0,可得b所包含的有利事件个数为0个,由p(a/b)的含义得a的有利事件个数也为0个,所以,这时规定p(a/b)=0较妥当。而当ω为无限集时,情况比较复杂。现举例如下:

当a、b所代表的事件互不影响时(具体情况时容易判断的),规定p(a/b)=p(a);当b?奂a时,b发生可推出a发生,这时p(a/b)=1;当a、b是互斥事件时,b发生时,推出a不发生,得p(a/b)=0;当b为不可能事件时,讨论p(a/b)实际上是无意义的,在不可能事件b发生条件下a发生的概率,这句话本身就是相悖的,但为统一起来,可定义p(a/b)=0;当a、b是互不包含事件时,情况比较怎复杂,视具体情况而定。

例5:质点m随机地均等抛掷到?-1,+1?区间上,记a={质点落在?0,1?区间上},b={质点恰好落在点处},b1={质点落在-1,0,,1这四点处},b2={质点落在?0,1?区间上的有理数点处},则p(a/b)=1,p(b/b1)=,p(b1/b2)=0。

参考文献:

[1]杨义群.初等概率教学中定义条件概率的二个问题探讨[j].教学与研究(中学数学),1984,(4):3.

[2]谢国瑞.概率论与数理统计[m].北京:高等教育出版社, 2002.

[3]王潘玲.应用高等数学[m].杭州:浙江科学技术出版社,2004.

条件概率范文第2篇

【关键词】条件概率;概率;随机试验;事件;抽签

一、课本上思考问题的另一种解法

思考问题(见数学选修2―3第二章2.2节):3张奖券中只有1张能中奖,现分别由3名同学无放回地抽取,如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?

课本解法:用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件,B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件,Y表示抽到中奖奖券,N表示没抽到中奖奖券,则B={NNY},A={N NY,N Y N},由古典概型可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率是n(B)[]n(A)=1[]2,由此引出条件概率定义:P(B|A)=n(AB)[]n(A)

另一解法:用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件,B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件,所有的基本事件为两张不中奖奖券和1张能中奖奖券,一名同学抽奖后,剩余的基本事件全体为Ω={1张中奖奖券,1张不能中奖奖券},含B的基本事件是{1张中奖奖券},由古典概型可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率是1[]2,由此启发我们给出条件概率的另一定义:P(B|A)=A发生后剩余的含B的基本事件个数/A发生后剩余的基本事件总数.

本文称之为条件概率的第三定义.本定义较之课本给出的条件概率定义,学生比较容易理解和掌握.

二、条件概率第三定义应用举例

例1 (见数学选修2―3第二章2.2节P60页)在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回地依次抽取2道题,求在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.

解 设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,第1次抽到理科题后剩余的题数是4道,其中2道理科题,

由条件概率第三定义可知,

P(B|A)=2[]4,即P(B|A)=1[]2.

例2 (见数学选修2―3第二章2.2节P61页)从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,已知第1次抽到A,求第2次也抽到A的概率.

解 设第1次抽到A为事件B,第2次也抽到A为事件C,第1次抽到A后剩余的基本事件总数是51,第1次抽到A后剩余的A扑克牌有3张,

所以,依据条件概率第三定义得,P(C|B)=3[]51

例3 (见数学选修2―3第二章2.2节P61页)100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽1件,已知第1件抽出的是次品,求第2次抽出正品的概率.

解 设第1件抽出的是次品为事件A,第2次抽出正品为事件B,第1件抽出次品后剩余的基本事件总数是99,第1件抽出次品后剩余的含正品的基本事件个数为95,

所以,依据条件概率第三定义得,P(B|A)=95[]99.

例4 (见数学选修2―3第二章2.2节P63页)一个口袋内装有2个白球和2个黑球,那么(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少?

(2)先摸出1个白球放回,再摸出1个白球的概率是多少?

解 记先摸出1个白球为事件A,再摸出1个白球为事件B,

(1)先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为3,先摸出1个白球后剩余的白球个数是1,故依据条件概率第三定义得,P(B|A)=1[]3.

(2)先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为4,先摸出1个白球后剩余的白球个数是2,

故,依据条件概率第三定义得,P(B|A)=2/4,即P(B|A)=1[]2.

运用条件概率第三定义解决以上例题,较之课本给出的定义,更简捷、更能抓住题目的本质.

三、条件概率的两种情形

条件概率P(B|A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率.在事件A发生的条件下,事件B发生包括两种情形.第一种情形:事件A发生后,事件B才发生;第二种情形:事件A发生的同时,事件B也可能发生.这两种情形的共同点是事件A、B都发生.本文给出的条件概率第三定义适用范围是第一种情形.如果是第二种情形,必须运用课本的条件概率定义.

例如,一个箱子中装有4个白球和3个黑球,一次摸出2个球,在已知它们的颜色相同的情况下,求该颜色是白色的概率?

解 记摸出的2个球颜色相同为事件A,摸出的2个球是白球为事件B,由于事件A发生的同时,事件B也可能发生,故用课本给出的条件概率定义解决,

n(AB)=n(B)=C24,n(A)=C24+C23,

所以,P(B|A)=C24/(C24+C23).

本文对条件概率的两种分类,以及据此给出的条件概率第三定义,可以较好地帮助学生认清条件概率的本质

【参考文献】

[1]杨义群.初等概率教学中定义条件概率的两个问题探讨[J].教学与研究(中学数学),1984,(4):3.

[2]谢国瑞.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2002.

[3]王潘玲.应用高等数学[M].杭州:浙江科学技术出版社,2004.

条件概率范文第3篇

关键词:条件概率;全概率公式;贝叶斯公式;样本空间

中图分类号:G642 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2015)39-0186-02

一、概率论中“条件概率”

很多概率问题往往不是简单直白的,而是附加了一些条件,在此基础上来求解事件的概率。例如,在某事件A发生的前提下,求解B事件的条件概率,则可简记为P(B|A)。

“条件概率”的基本概念:设A和B是两个不同的事件,且P(A)≠0,那么称P(B|A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。一般地,P(B|A)≠P(B),且它满足以下三个条件:(1)非负性;(2)规范性;(3)可列可加性。

二、利用“条件概率”计算

通过对现有的概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的一点新的理解,读者可以不用去考虑课本给出的全概率公式和贝叶斯公式,只要对所给出的概率事件能够有足够的分析,利用“条件概率”就可以进行计算。

1.关于条件概率的判定。上述对于如何区分条件概率事件进行了讨论,那么对于主要标志是P(AB)还是P(A|B)取决于A、B两个事件在所述问题中是否是地位平等的,也就是探索是否事件A、B存在一个必然事件和一个随机事件。如果事件A、B均为随机事件,那么两者就是平等地位。实际在分析问题时,不用探索其是否是平等事件,因为条件概率P(A|B)中,事件A、B均为随机事件。对于具体的问题,附加的条件若为事件B已经发生,那么很明确其为条件概率事件,因此,附加条件是判断是否为条件概率的关键。举例分析:投掷一枚硬币,第一次为正面时,第二次也为正面的概率为条件概率;第一次第二次都为正面,则不是条件概率。因此表述不当,可能会造成分析的错误。正确判断是否为条件概率事件是十分重要的。

2.条件概率的解题思路。所研究的事件A是在事件B已经发生的前提下产生,那么可以将事件A发生的概率按照条件概率进行分析。对于简单的条件概率,这里主要论述两个基本的思路:一是根据条件概率的定义进行计算,在其原来的样本空间中分析P(A)及P(AB),再利用公式P(B|A),求解出P(B|A)。二是在缩减的样本空间SA中计算B出现的概率。

三、概率公式的理解

在概率论学习中,全概率公式、贝叶斯公式以及乘法公式,是《概率统计》这门学科学习的重中之重,也是研究生考试的一个重要常考点。倘若学习这门课程时,按照课本的内容和顺序,直接熟记其公式,并仅仅学习如何套用公式解题的话,对学生而言,只是记住了公式的形式,而在实际应用时,并不能明白其实际的意义。其实,应用这三个公式最重要的是准确找到其样本空间。这里着重讲解这三个公式的意义,并研究如何确定其样本空间。

不妨举例进一步解释全概率公式的含义。假设某个年级共有5个班级,每个班共有40人,男、女生各占一半,如果选择其中1名学生当社联的主席,那么这个职务为女生的可能性是多少?应该很快就能得出结果。设选中女生为事件A,那么(这个年级共有200人,而女生共100人,则所求即为0.5)。事实上,我们应该是以0.2的可能性在1班进行选取,然后以0.5的可能性会选中女生;同样以0.2的可能性在2班进行选取,再以0.5的可能性选中女生。依次可知,以0.2的可能性在3班选取,再以0.5的可能性选取到女生;以0.2的可能性在4班选取,再以0.5的可能性选取到女生;以0.2的可能性在5班选取,再以0.5的可能性选取到女生。这样的进行选择,实际就是运用了全概率公式。此外,完备事件组不一定唯一,根据不同的思路,就可以找出不同的完备事件组,但是无论哪个完备事件组,都可以解决问题。

贝叶斯公式的应用范围很广,对于很多的实际问题的解决也发挥了很大的作用。举例分析,某一工厂生产某种产品,有三种备选方案:小批量生产、中批量生产、大批量生产。该产品生产的决定性因素是市场对其的需求量,根据资料分析可知,大需求量的概率是30%,假如市场有大的需求,则分别选择小批量、中批量、大批量生产,工厂可获利分别为10万、20万、30万;假如市场的需求量较小,而分别选择小批量、中批量、大批量生产,那么工厂获利分别为5万、2万、6万。为了更好地获益,该工厂进行市场调研,调研经费为3万,从获取的资料可知,市场的需求量较大的准确率为80%,而市场需求量小的准确率为90%,该怎样选取最佳方案呢?分析可知决策人拥有全部的信息,那么就可以以最佳的方案获得最大的利益。然而实际情况存在很多不可预知的因素,那么要想通过更多的信息来做出最合理的决策,需要市场调研提供信息,以便调整事件的先验概率,使得经调整的后验概率更加接近实际。故需要进行研究分析,根据上述的计算可知,当工厂进行市场调研时,工厂就可达到11.4288万的期望获益,相比于比那些不市场调研的工厂,要高于它们的6.4万元,差值为5.0288万元。当市场调研价低于5.0288万时,工厂就要进行市场调研工作,因为进行市场调研费用为3万元。因此案例,我们得到了后验风险决策的论断:(1)要进行市场调研工作;(2)依据调研结果进行工作安排。这个例子的结论就是,当市场的需求量大时,就进行大批量生产,当需求量小时,就进行小批量生产。通过运用贝叶斯条件概率,可以得到先验概率和被修正的后验概率,进而选择最佳方案,降低风险

四、结语

通过以上对条件概率以及概率公式的理解和分析,可以知道,条件概率在《概率论》这门学科中显现出的重要性。条件概率作为概率论的一个相当重要的概念,当然,它也是概率统计学中一个重要的难点,在概率论的整个知识体系中起着上下连贯的作用。通过本文对条件概率的研究分析,介绍了其相关的概念和公式,以及对其的一些新的解读,读者若能够熟练的掌握并理解条件概率的定义和其相关知识,对于他们之后进一步学习概率论的更深层次的问题是十分有帮助的。

参考文献:

[1]丁万鼎,等.概率论与数理统计[M].上海科学技术出版社,1999.

[2]张克军.关于条件概率及其应用的教学研究[J].徐州教育学院学报,2008,(3).

条件概率范文第4篇

【关 键 词】 条件概率;几何概型;古典概型

一、设置情境,引入概念

学生在必修三已经学习过古典概型和几何概型的概念,能够准确理解随机试验、随机事件的含义,并且能够灵活运用分类或分步原理求解事件包含的基本事件的个数,这为本节学习条件概率做好了知识准备. 但条件概率对于学生是一个全新的概念,根据随倩倩老师的研究《评估学生条件概率学习的困难》发现,学生在对条件概率的理解上存在许多错误的认知,如“因果偏见”、“时间顺序偏见”、混淆P(AB)和P(AB)、混淆限制条件等[1]. 因此针对学生出现的问题,本文主要从“条件概率”教学中易出现的三个问题入手,再次深入探讨了三个问题的解决方法.

从教师的角度分析,本节教学易出现如下问题:

1. 推导条件概率公式化定义的过程并不完备,此处王志军老师也有提出,单纯从古典概型角度的阐述会略去对几何概型条件概率的研究[2];

2. 仅指出0≤P(AB)≤1,教师可对P(AB)=0和1的特殊情况做适当处理,加深学生的理解;

3. 缺少对条件概率本质的阐述和直观的图形认识,抓不住概念的本质.

对此,教师可以根据新课程的要求,创设适当的问题情境,使学生参与到解决数学问题和发现数学规律的活动中去,经历条件概率公式产生的过程. 例如:

例1:箱子里有红、黄、白三个小球,现由甲、乙2名同学依次无放回地摸球,问乙同学摸到红球的概率是多少?

解:B=“乙同学摸到红球”,则所有可能发生的结果记为Ω{白红,白黄,红白,红黄,黄白,黄红}.

由古典概型,得P(B)

问题1:如果已知甲没有摸到红球,那么乙摸到红球的概率又是多少呢?

我们分析问题1,已知甲在没有摸到红球的条件下去求乙摸到红球的概率,这就是一个条件概率问题. 现在给出条件概率定义.

定义:一般地,若有两个事件A、B,已知在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,记做:P(AB).

问题1 (方法一)

解:设事件A=“甲没有摸到红球”,事件B=“乙摸到红球”,则A={红白,红黄,黄白,黄红}为我们所要研究的对象.

一方面,由古典概型,P(BA)

另一方面,由古典概型P(AB),代入上式,得到一个与计数无关的更为一般的公式:

这个公式就是条件概率公式,其中P(AB)表示事件AB同时发生的概率. 因此问题1还可以直接用条件概率公式求解.

问题1 (方法二)

说明:在问题1的方法二中,我们用条件概率公式 P(BA)=进行解答,清晰明了,言简意赅,不仅加深学生对概念的理解,而且激发学生对条件概率公式灵活应用. 接下来我们再来看一个例题:

例2:如图1,边长为3的大正方形被平均分成9个部分,向大正方形内随机投掷一个点(投中且不考虑边界),记为Ω,设投中左上角的小正方形为事件A,投中阴影部分为事件B,求P(B)和P(BA).

另一方面,在几何概型中,若以m(A),m(AB)分别记事件A,AB所对应点集的测度(包括长度、面积和体积),且m(A)>0,则有P(AB)=,P(A)=.

同样得到P(BA)

在一般情况下,我们把这个算式作为条件概率的定义.

一般地,设A、B为两个事件,P(A)>0,称P(BA)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率.

说明:问题的设置是为了使学生产生“心理缺口”,激发对本节的学习兴趣. 同时,引例“摸球”来源于教材,做出改编的目的是为了避免“X1X2Y、X2YX1、YX1X2”等符号的干扰,给学生更加清晰直观的认识. 从古典概型和几何概型两个方面进行归纳,引出条件概率的概念,目的是使学生体会公式的合理性.

二、抓住本质,深入理解

问题2:为什么P(B)≠P(BA)呢?

从韦恩图的角度,这个公式可以理解为:已知样本点落在了A中(事件A已经发生),求落在B中(事件B发生)的概率. 由于样本点已经落在A中的条件下,又要落在B中,故要落在AB中(即事件AB发生).

在这种观点的理解下,原来的样本空间Ω缩减成为了事件A所对应的样本空间,原来事件B所对应的样本空间缩减成为了事件AB所对应的样本空间.[3]

可见,P(BA)与积事件P(AB)是不一样的,且P(BA)=.

P(B)≠P(BA)的原因是样本空间发生了变化.

问题3:样本空间缩小后,P(BA)一定会大于P(B)吗?

例3:(2011年湖南卷)如图3,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.

将一颗豆子随机地扔到该图内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则

说明:问题3的设置是为了纠正学生常见的认知错误,即认为样本空间缩减后的概率就一定会变得比原来大. 但事实上,P(BA)不一定大于P(B),搞清样本空间的变化才是把握条件概率的关键.

【参考文献】

[1] 随倩倩. 评估学生条件概率学习的困难[D]. 上海:华东师范大学,2012.

[2] 王志军. “条件概率”教学设计[J]. 中小学数学,2012(6):34-36.

条件概率范文第5篇

一、条件概率的意义

1.设A,B为两个事件,且P(A)>0,则称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率.

2.几何直观意义

3.条件概率的基本性质

(1)任何事件的条件概率取值在0与1之间.

(2)必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0.

4.乘法公式

用乘法公式计算P(AB)时,对上面两个公式用哪一个,我们可根据哪一个事件先发生,就选择以哪个事件为条件的公式.

5.计算条件概率的两个方法

二、条件概率运用中需要注意的问题

1.条件概率与概率的区别

在日常教学中,条件概率与概率有何区别,大小上有何关系是不少学生迷惑的问题.其实,P(A)是在一定的试验条件下A发生的可能性大小,P(A|B)是在已知事件B发生的情况下,也就是说在改变了的试验条件下A发生的可能性大小.

3.条件概率与两个事件相互独立的区别

在事件A与B相互独立的定义中,A与B地位是对称的,在条件概率P(B|A)的定义中,事件A和B的地位不是对称的,这里要求P(A)>0.如在有放回的抽奖卷的试验中,两次不同的抽取结果相互独立,但是在不放回抽奖卷的试验中,第一次抽取的结果和第二次抽取结果就不是相互独立的,原因是在第二次抽奖卷时,只能抽到第一次抽取后剩下的奖卷.同时,也不能用P(B|A)=P(B)作为事件A与事件B相互独立的定义,原因是这个式子的适用范围是P(A)>0.否则P(B|A)没有意义.而P(AB)=P(A)P(B)中A,B可以是任意事件.

条件概率是新课标新增内容之一.对定义的准确理解至关重要,充分理解“利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率”,即在P(A|B)中,基本事件构成为B,这才是条件概率的实质.同时,在同有关易混概念比较中寻找区别与联系,可加深对定义的理解.

条件概率范文第6篇

一、条件概率的定义与计算公式

一般地,设A、B是两个事件,且P(A)>0,在事件A已发生的条件下,事件B发生的概率称为条件概率,记为P(B A)。从图示法的角度来看,这个定义可以理解为:如图1,事件的样本点已落在图形A中(事件A已发生),问落在B中(事件B发生)的概率。由于样本点已经落在A中,又要求落在B中,故只能落在AB中。在这种观点下,原来的样本空间Ω(即基本事件的范围)缩减为已知的条件事件A所对应的空间,原来的事件B对应的空间缩减为事件AB对应的空间。换言之,条件概率问题可以看成“缩减样本空间”下的古典概型或几何概型问题。

在“缩减样本空间”的观点下,条件概率P(B | A)的计算公式为: ,其中,在古典概型中,n(A)与n(AB)分别表示事件A与事件AB所包含的基本事件的个数;在几何概型中,n(A)与n(AB)分别表示事件A与事件AB所对应的几何度量(长度、面积或体积等)。

例1 先后抛掷两次骰子,记事件A={第一次掷得的点数为偶数),B={两次掷得的点数之和为偶数),则在已知第一次掷得的点数为偶数的条件下,两次掷得的点数之和为偶数的概率是P(B|A)=

例2 任意向区间(o,2)上投掷一个点,用x表示该点的坐标,则Ω={x|O

由此,结合古典概型和几何概型,知: ,此即为条件概率的另一计算公式。如例1中的 ,例2中的

二、P(B)与P(B| A)的关系

根据条件概率的定义与计算公式,可知:P(B|A)与P(B)之间的关系表现在三个方面。

(1)样本空间发生变化是两者的本质区别。计算P(B)是在整个样本空间Ω上考虑事件B发生的概率,计算P(B|A)是在事件A发生的范围内考虑事件B发生的概率。样本空间从Ω缩减为A,往往会导致P(B)与P(B|A)并不相等。如例2中, ,两者并不相等。

(2)两者仍有可能相等。若事件A与B是相互独立事件,则P(B) =P(B|A)。如例1中,P(B|A) ,事件A与B相互独立,此时 。

(3)两者可以相互转化。一方面, ,即P(B)是特殊的条件概率 ;另一方面, ,即可以通过P(A)与P(AB)去求得P(B|A)。

三、P(AB)与P(B lA)的关系

P(AB)与P(B|A)是两个截然不同的事件的概率。P(AB)表示事件A与B同时发生的概率,P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。从样本空间的角度来看,这两种事件所对应的样本空间发生了改变:求P(AB)时,在原随机试验所对应的样本空间Ω内考虑;求P(B|A)时,所考虑的样本空间已经缩减(事件A已经发生)。由条件概率的计算公式: ,知P(B|A)≥P(AB)。同时,乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)也体现了P(AB)与P(B|A)之间的关系。

例3 甲、乙两工厂共生产1000个零件,其中有300个是乙厂生产的,而在这300个零件中有189个是标准品。现在从这1000个零件中任取1个,记取得标准品为事件A,取得乙厂生产的零件为事件B。

(1)试求任取1个零件,它是乙厂生产的标准品的概率。

(2)通过此题说明P(A|B)与P(BA)在概率上的差别。

解:(1)“任取1个零件,它是乙厂生产的标准品”即为事件BA。

P(BA)=P(B)P(A|B) =0.3×0.63=0.189.

(2)根据(1)中的计算结果,可知:P(A|B)与P(BA)有明显区别。P(BA)表示事件“任取1个零件,它是乙厂生产的标准品”的概率,P(A|B)表示事件“在已知所取产品是乙厂生产的这个条件下,它是标准品”的概率。从样本空间上看,如果都用古典概型进行计算,则计算P(BA)时,考虑的是样本空间Ω包含的基本事件数n(Ω)=1000;计算P(A|B)时,考虑的是缩减样本空间包含的基本事件数n(B)=300。

应该说,把握了“缩减样本空间”,就把握了条件概率的实质,就可以把条件概率问题转化为“缩减样本空间”下的古典概型或几何概型问题。读者不妨尝试去分析下述问题。

题目 如果生男孩和女孩的概率相等,已知一个家庭有3个孩子(每胎生1个),其中1个是女孩,求至少有1个男孩的概率。请评价以下四种解法。

解法1:由于生男孩和女孩的概率相等,因此事件“已知其中1个是女孩的条件下,至少有1个男孩”的概率就是“有男有女(一女两男或两女一男)”的概率,则所求概率为 。

解法2;同解法1,事件“已知其中1个是女孩的条件下,至少有1个男孩”的概率就是“有男有女(一女两男或两女一男)”的概率,则所求概率为 。

解法3:设“其中1个是女孩”为事件A,“至少有1个男孩”为事件B,则n(A)=3,n(AB)=2,故 。

解法4:设“其中1个是女孩”为事件A,“至少有1个男孩”为事件B,则 ,故 。

条件概率范文第7篇

[A][U][B][AB]

当且仅当两个随机事件A与B满足P(AB)=P(A)P(B)的时候,它们才是相互独立的,这样联合概率可以表示为各自概率的简单乘积P(AB)=P(A)P(B)。同样,对于两个独立事件A与B有P(A|B) = P(A)以及P(B|A) = P(B)换句话说,如果A与B是相互独立的,那么A在B这个前提下的条件概率P(A|B)就是A自身的概率;同样,B在A的前提下的条件概率就是B自身的概率。

通过对减数分裂的学习我们知道,非同源染色体上的非等位基因在减数第一次分裂后期的时候随着非同源染色体的自由组合而组合,非同源染色体的分离行为是互不干扰的,因此可以看做相互独立的事件。所以我们可以把自由组合定律看做是若干个独立的基因分离定律事件的同时发生,这类题目可以用联合概率的思路来研究。

在遗传题中,有很多这种类似思路的解题过程。其中最经典的就是对于两种遗传病的概率计算问题,还有多对常染色体上的等位基因作为独立事件的组合。

例1 已知人的红绿色盲属X染色体隐性遗传,先天性耳聋是常染色体隐性遗传(D对d完全显性)。下图中Ⅱ2为色觉正常的耳聋患者,Ⅱ5为听觉正常的色盲患者。Ⅱ4(不携带d基因)和Ⅱ3,婚后生下一个男孩,这个男孩患耳聋、色盲、既耳聋又色盲的可能性分别是( )

[正常女性][耳聋女性][耳聋男性][正常男性][色盲男性][1 2][3 4][4 5][1 2 3][Ⅰ

Ⅱ][?]

A. 0、[14]、0 B. 0、[14]、[14]

C. 0、[18]、0 D. [12]、[14]、[148]

解析 本题考察的是必修2伴性遗传和常染色体遗传的综合知识。设红绿色盲正常基因为B,不正常的基因为b,可推知Ⅱ3的基因型为DdXBY,Ⅱ4基因型为1/2DDXBXB或1/2DDXBXb,后代中不可能患有耳聋,单独考虑色盲这一种病,只有1/2DDXBXb这种基因型与DdXBY才能会出现有色盲的男孩患者,几率为1/4。

答案 A

点拨 根据条件概率的规则,这两种疾病分别在常染色体和X染色体上,两者属于非同源染色体,因此两者的行为为独立事件,互不干扰。这样它们的联合概率可以表示为各自概率的简单乘积,即P(AB)=P(A)P(B)。也就是说,这个男孩既耳聋又色盲的可能性等于他患耳聋和色盲的可能性的简单乘积。因此可以立即排出选项B。

解析 本题考查遗传概率计算。后代表现型为2×2×2=8种,AaBbCc个体的比例为1/2×1/2×1/2=1/8。Aabbcc个体的比例为1/4×1/2×1/4×1/32。aaBbCc个体的比例为1/4×1/2×1/2=1/16。

答案 D

点拨 由于A与a、B与b、C与c,3对等位基因自由组合,因此它们之间属于独立事件。对于事件一Aa×Aa可以产生A 和aa两种表现型,事件二Bb×bb也可以产生Bb和bb两种表现型,事件三Cc×Cc同样可以产生C 和cc两种表现型。因此AaBbCc、AabbCc的两个体进行杂交时,三个事件同时发生产生表现型的种类为2×2×2=8种。同理,后代产生Aa的概率为1/2,aa概率为1/2,Bb概率为1/2,bb概率为1/2,Cc概率为1/2,cc概率为1/2。根据联合概率乘法原则将独立事件发生的概率相乘P(ABC)=P(A)P(B)P(C),即得答案。

此外,遗传题中的条件概率也有比较隐蔽的事件。比如表述为“生病男孩的概率”,那么其意思应该为既是患病的,同时又是男孩,两事件同时发生的概率,这时我们用联合概率的算法即P(AB)=P(A)P(B)。但是如果表述为“生的男孩患病的概率”,那么其意思应该为已经确定生的是男孩,问该孩子为男孩(B事件发生)的条件下他患病(A事件发生)的概率P(A|B)=P(AB)/P(B)。

例3 人类遗传病调查中发现两个家系中都有甲遗传病(基因为H、h)和乙遗传病(基因为T、t)患者,系谱图如下。以往研究表明在正常人群中Hh基因型频率为10-4。请回答下列问题(所有概率用分数表示):

[Ⅰ

Ⅲ] [患甲病女性

患乙病男性

患两种病男性

正常男女] [1 2][3 4][1 2 3 4 5 6 7 8 9][1 2] [图例:]

(1)甲病的遗传方式为 ,乙病最可能的遗传方式为 。

(2)若Ⅰ-3无乙病致病基因,请继续分析。

①Ⅰ-2的基因型为 ;Ⅱ-5的基因型为 。

②如果Ⅱ-5与Ⅱ-6结婚,则所生男孩同时患两种遗传病的概率为 。

③如果Ⅱ-7与Ⅱ-8再生育一个女儿,则女儿患甲病的概率为 。

④如果Ⅱ-5与h基因携带者结婚并生育一个表现型正常的儿子,则儿子携带h基因的概率为 。

解析 (1)根据系谱图中正常的Ⅰ-1和Ⅰ-2的后代中有一个女患者为Ⅱ-2,说明甲病为常染色体隐性遗传。正常的Ⅰ-3和Ⅰ-4的后代中有一个患者Ⅱ-9,说明乙病为隐性遗传病,图中的4个乙病患者都为男性,且其母亲都正常,所以乙病最有可能的遗传方式为伴X隐性遗传。

条件概率范文第8篇

关键词:条件概率;高中数学;突破教学难点;实践与体会

“条件概率”属于高考理科考试范围,也是高中数学老师教授的重点内容之一,但是由于其概念抽象,难于理解,调研中发现学生的掌握情况不佳,怎样了解其中的教学难点,针对性的进行时间突破,强化教学效果,指引学生掌握条件概率计算公式和方法就成为所有数学教师研究的重点。

1 “条件概率”

国家新课标高中数学学科将“条件概率”作为增设内容,放置在《数学・选修2-3》第二章“随机变量及其分布”的第二节“二项分布及其应用”的第一小节[1],其概念为事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率,其中涵盖了古典概型和几何概型,涉及的理念包括随机事件、基本事件、和事件、互斥事件概率公式及古典概型概率公式等,计算观念较为抽象,需要教师在学习开始前,教导学生复习基础知识,便于使用。

2 “条件概率”教学难点

2.1各要素的不同特征

在学习“条件概率”时,第一个难点就是理解其概念内容,形成初步认识,其概念定义表示为p(A丨B),即已知B事件发生的情况下事件A的发生概率,在此概念中有三个要素,即:事件A、事件B和条件关系,此三者一项都不可缺少,事件A具有随机性,事件B具有确定性,条件关系则存在各种各样的表达方式,教师在教导此部分内容时,需要由浅入深、由难到易,使学生接受概念并灵活运用。

首先需要掌握的方法橹苯蛹扑惴ǎ这是最为基础也是最为简单的计算方法,可以采用简单的题目,如:随机抛掷一颗质地均匀的骰子,求掷出的点数不超过3的概率,可直接由由古典概型的概率公式得到p(A)=1/3,然后在此基础上加大难度,研究已知掷出了偶数点,求掷出的点数不超过3的概率,则掷出了偶数点为已知B事件,B变为新的样本空间,其样本点具有等可能性,可计算p(A丨B)=1/3[2]。

其次可以渐渐引入公式法的计算,引入中可以借由题目使学生明白条件关系不单单只有实质条件关系,也可能为形式条件关系,以下题目为例:甲乙丙按顺序抽一张电影票,探究乙抽到电影票时甲抽到电影票的概率,此题目中事件B于事件A发生后发生,不可能影响事件A发生,因此AB间关系只为形式关系;除此之外,在不存在显明条件结构的条件概率中,其中的条件事件定为实质条件,以下题为例:某生物有0.7的概率存活至20岁,有0.56的概率存活至25岁,那么这种动物现已20岁,求活至25岁的概率,此题目中活到20岁为已知A事件,也是活到25岁的先决条件,根据条件概率的计算公式p(A丨B)=p(AB)/p(A)=p(B)/p(A)=0.8.

2.2界定概念要素和细节

在了解了条件概率的定义和基本公式后,需要进行概念的深挖掘,体会其中的细节内容,将概念掌握的更为牢固。此过程需要教师用更多的题目实例进行讲解,对不同类型的经典题目进行对比区分,确保学生完全掌握。

在解题中要避免望文生义,将辅加条件和题目核心条件相混淆,以下面的题目为例:甲乙两人同时加工120个零件,甲加工70个,其中65个正品,乙加工60个,其中50个正品,求任取一件样品为正品的概率,任取一件样品为甲生产正品的概率?同学在解题过程中可能会存在误区,认为已知是取到了一件正品,误以为甲生产正品的概率为p=65/115,然而忽略了文中说随机抽取一件样品,答案应当是p=65/120,这是学生在条件概率中非常容易犯的错误,主要是因为对题目的理解出现了偏差,教师在教导中应当将同类型的题目列举,使学生反复细心读题,剖析题目含义。

2.3变式练习和纠错练习

在解题中,可能会出现一些疑似条件或者干扰条件,我们将条件概率引入主要是为了在充分利用已知信息时,还能在现有条件中进行更为复杂的概率计算,因此一些变式练习有助于增强我们对于概率计算的了解;除此之外,眼过千遍不如手过一遍,并且数学的学习是一个反复练习的过程,增加纠错练习,可以使学生尽量减少出错率,在教学中,学生练习题目后老师对结果进行点评,指出学生计算失误之初,并教导其进行辨析,可安排学生准备纠错本,将错误的题目进行记录,反复练习,特别是对于屡次出错的题目,必须尤为关注,明晰出错的原因和正确的解题思路。

2.4挖掘深层内容

人在学习中就是对一个概念不断深化的过程,数学学习,尤其是“条件概率”的学习更是如此。再了解了简单知识后,教师不妨对授课内容进行深化,比如说以下题目:已知质点M在实数轴上的区间[0,5]内随机地跳动,设事件A={2},事件B={2,3},试研究事件A、B的独立性。此题目明显比上文中提到的题目更为复杂,若通过几何概型的概率公式计算我们认为二者独立,若根据B作为新的样本空间,其样本点具有等可能性,古典概型概率公式计算其不独立,结果就变为矛盾结果,对此,教师必须明白须在条件概率p(A丨B)的定义中限定p(B)>0,当后续概率公式是由条件概率进行推导而来时[3],必须规定相应的条件。在深层挖掘中,一部分学生可能受到基础限制,很难理解这部分内容,教师需要细心讲解,并且根据学生的情况改变教课的分配比,做到因材施教。

3 总结

前文中提到,“条件概率”在数学中占有重要的位置,不仅仅是应付考试要求,更多的是对学生的思维进行启发,使学生体会到数学的乐趣,并且利用“条件概率”解决实际问题,但是“条件概率”的教学是存在一些难点的,相关教师必须自身知识水平过硬,做好教学规划,由浅到深的对概念、题目等进行讲解,确保学生掌握基础知识的情况下进行提高,且要注意通过不同类型的题目加深学生对于概念的理解,而不是纸上谈兵,也根据题目解答情况了解学生对于概念的掌握情况,及时调整教案,做到实践与理论相结合,在教学中还可以采用一些趣味的教学方法吸引学生的兴趣,将数学和游戏、生活相结合,加深学生的理解,将“条件概率”中的教学难点一一转化突破,最终培养出具有创造性思维的学生。

参考文献:

[1]金天寿.试谈条件概率的教学[J].数学通报,2012

条件概率范文第9篇

关键词:条件概率; 教学设计; 应用案例

一、前言

条件概率是高中概率阶段的一个重要内容, 对于概率概念的理解以及计算都有重要意义. 由于条件概率与概念既有联系又有区别, 因此, 对于高中学生来说, 容易使其产生理解混乱, 使用概念是不知所措, 因此对于此概念的教学环节设计尤为重要.本论文结合个人的体会, 给出条件概率教学环节设计的要素, 以期能引起同行的讨论, 起到抛砖引玉的效果.

二、导入设计

合适的导入设计对于该条件概率的理解是十分有帮助的. 导入设计要基于学生已经学过的概率模型和计算方法, 这样有利于形成良好的学习迁移. 因此, 在条件概率的设计中, 我设计了两个简单的案例, 重点在于突出条件概率的特点, 而不是偏重于概率计算. 于是, 对计算中的数据进行了简单化处理.

引例1. 某班级有N个同学, 色盲患者有 人, 女同学有 人, 女同学中有色盲的为 人, 如果一个老师随机点名, 恰好点到的为一女同学, 求该女同学为色盲的概率.

解 以A表示“任选一人为色盲”, 以B表示“任选一人为女同学”, 则所求的概率为 , 显然有 另外一方面, 我们很容易得到

于是我们有

引例2. 设 为有界区域, 若已知B发生, 试求A发生的概率.

解:

定义1. 设 为概率空间, A与B均为事件, 且 , 定义

称 为在事件B发生的条件下事件A发生的概率.

三、概念理解

在上述引例的教学过程中, 应该引导学生注意如下几点:

1. 条件概率的计算有两个方法, 其中一个是直观理解的那样, 压缩了考虑问题的范围, 即压缩了样本空间. 另外一个是由此归纳出了一个一般化的条件概率的定义, 这个定义本质上是一个公式, 联系了概率与条件概率的关系.

2. 条件概率的定义既是定义也是公式, 在运用这个定义求解概率计算问题时, 取决于我们可以利用的数学条件, 如果条件有利于压缩空间, 则利用直接计算的方法. 如果条件有利于利用已有的概率, 则要利用公式法. 澄清这一点, 有利于学生在应试中更好的发挥所学.

3. 条件概率的认识上有几个容易形成误解的地方, 譬如, 会简单的认为

这其实是不正确的理解, 因此, 需要结合后面的应用例子设计, 让学生更好的理解这个概念.

四、应用环节设计

案例1. 结合引例1, 计算 和 , 通过对比计算, 既可以很好的理解到 和 是不同的.

参考文献

[1] 金天寿. 浅谈条件概率的教学. 数学通报, 2012年第6期限.

[2] 随倩倩. 评估学生条件概率学习的困难. 华东师范大学硕士毕业论文, 2012年.

条件概率范文第10篇

关键词:启发式教学;条件概率;随机事件间的独立性

中图分类号:G642.4 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2015)33-0161-02

一、引言

我国古代大教育家孔子曾论述:“不愤不启,不悱不发”,意指对教师来讲,应该通过自己的外因作用,调动起学生的内因的积极性。启发式教学,就是根据教学目的、内容、学生的知识水平和知识规律,运用各种教学手段,采用启发诱导办法传授知识、培养能力,使学生积极主动地学习,以促进身心发展。

对于我们三本经管类院校的学生,其数学基础相对薄弱,如何在学习数学时提高他们的学习积极性是至关重要的。而学习积极性在很大程度上和教师的主导作用有直接关系,因此在全课教学中进行启发式教学,提高学生学习积极性,从而全方位地提高学生的能力。启发式教学对于教师的要求就是引导转化,把知识转化为学生的具体知识,再进一步把学生的具体知识转化为能力。教师的主导作用就表现在这两个转化上,引导是转化的关键。下面我以《概率论与数理统计》中的条件概率、随机事件相互独立的概念的讲解为例,为大家介绍一下我平时在课堂中是如何运用启发式教学法的。

二、教学目标

在教师的引导下,学生们通过自己的演绎推理出条件概率的定义式,进而看透其本质,会应用它解决实际问题。随机事件间的独立,这里的“独立”和我们平时说的“独立”有何区别?通过教师的引导让学生把随机事件A、B间的独立性与概率等式P(AB)=P(A)P(B)等价起来,进而得出引入独立性数学定义的必要性。

三、授课模式

在指导学生学习的过程中,是“授之以鱼”还是“授之以渔”,每一位有远见的教师都会选择后一种答案。教师在授课过程中应逐步引导学生掌握解决问题的方式方法,让学生直接参与探索教学,充分发挥学生的主观能动性,开发学生的创新能力,使学生在学习中有成就感,这样有利于培养他们确立科学的态度和掌握科学的方法。就像我最喜欢的一句英文格言所说“I hear,I forget.I see,I remember.I do,I understand.”

我的做法是,在课堂上着重问题的创设,提供氛围,让学生在实践活动中发现问题,着手解决问题,使学生成为学习的主人,教师则成为学生的“协作者”。

1.条件概率。

描述性定义:在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率,称为条件概率,记作P(BA).

问题:条件概率P(BA)如何定义、计算?

引例1 请同学们思考如下问题:

抛掷一枚均匀的骰子,观察其出现点数的情况。设事件A为“偶数点出现”,事件B为“4点出现”。现在来求已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率。

求解:引导学生分析出已知和所求。

已知:样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={4}.

所求:条件概率P(BA).

再引导学生画出如下文氏图:

其中1是事件AB中的样本点个数,3是事件A中的样本点个数,而样本空间共包含6个样本点。到此处,同学们就很容易想到了古典概率的计算公式,可得出

由学生自己总结归纳出,只要在P(A)>0的条件下,上述式子中的头尾部分具有一般性,就可得到条件概率的数学定义:

定义1 设A,B是样本空间Ω中的两个事件,如果P(A)>0,那么在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率P(BA)定义为

思考:你是否能写出在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率P(AB)公式?

显然学生会得到如下定义:

设A,B是样本空间Ω中的两个事件,如果P(B)>0,那么在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率P(AB)定义为P(AB)=.

2.两个事件间的独立性。

描述性定义:两个事件A和B相互独立,直观含义是指事件A和B在发生可能性(概率)上相互没有影响。

问题:如何定量描述事件A和B在概率上相互没有影响?

此处提醒学生注意“相互”二字,所以考虑两个方面:

①“在概率上,事件A不影响事件B”,等价于说,P(BA)=P(B).

结合上面学习的条件概率定义得P(BA)=P(B)?圳P(AB)=P(A)P(B).

②“在概率上,事件B不影响事件A”,等价于说,P(AB)=P(A).

结合上面学习的条件概率定义得P(AB)=P(A)?圳P(AB)=P(A)P(B).

思考:由上述两个方面我们得到什么结论呢?

事件相互独立的数学定义:设A和B是任意两个随机事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A和B相互独立,简称独立。

此处举个例子,来熟悉应用一下该定义:

例 考察抛掷两枚均匀骰子的试验,记事件A为“第一枚点数为4”,事件B为“第二枚点数为3”,请判断 A和B是否独立?

本题利用古典概率和独立性定义很容易得出结论,A和B是相互独立的。但是有同学会发出这样的疑问:老师,我们从自己的经验也能知道A和B是相互独立的,为什么还用这样的概率等式去验证呢?为消除学生的疑问,我又在本题的基础上加上一问:记事件 C为“两枚点数之和为7”,判断A和C是否独立?通过这一问的解决,学生自己会意识到直观经验有时会误导我们,从而理解了随机事件的独立性及引入其严格的数学定义的必要性。

对一些学习能力、基础比较弱的学生,以引导为主,通过引导,来掌握一些上课时不容易掌握的内容,不让他们失去学习的兴趣,并通过一些启发激发他们更好地学习这门课程,变被动的“灌输”式为主动的“汲取”式。

现代教育思想明确指出:“最有效的学习方法就是让学生在体验和创造的过程中学习”。教学,是要通过教师的工作使学生爱学、会学。学生的学习是否有学习积极性非常重要,启发式教学的关键就是调动学生的学习积极性。

参考文献:

[1]茆诗松,周纪芗.概率论与数理统计[M].北京:中国统计出版社,1999.

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