“晒晒”隐含条件

解题就是寻找联系，而这个联系的纽带往往就是隐含条件，隐含条件挖掘不出来，后果是严重的：要么就是解不下去，要么就是解错.

既然隐含条件是隐含的，也就是说藏在暗处，那么我们就来寻找它的藏身之处，把它拿到阳光下“晒晒”，见见它的真面目.

一、 隐身在概念、公式中

如正弦函数、余弦函数的有界性；用均值不等式求最值应具备的条件；若奇函数f（x）在原点有定义，则f（0）=0；等等.

例1 已知偶函数f（x）在区间［－1，0］上单调递减，α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ）

A f（sinα）>f（sinβ）

B f（sinα）＜f（cosβ）

C f（sinα）>f（cosβ）

D f（cosα）＜f（cosβ）

解析

由π2＜α+β＜π，得0＜π2－β＜α＜π2.又根据y=sinx在0,π2上单调递增，得0＜sinπ2-β=cosβ＜sinα＜1.又偶函数f（x）在区间［－1，0］上单调递减，所以f（x）在［0，1］上单调递增，所以f（sinα）>f（cosβ），选C.

点评直角三角形有一个角等于π2，钝角三角形有一个角大于π2，锐角三角形每一个角都小于π2，这一点我们是清楚的.但不应忘记锐角三角形任意两个内角的和大于π2，这也是一个非常重要的隐含条件.

例2 已知点A，B，C在球心为O的球面上，ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a2=b2+c2－bc，a=3，球心O到截面ABC的距离为2，则该球的表面积为 .

解析由a2=b2+c2－bc，得cosA=b2+c2-a22bc=12，所以A=π3.由正弦定理，得asinA=2R，得截面圆的半径R=1.又球心到截面圆的距离为2，从而球的半径为3，球的表面积为12π.

点评在立体几何中解三角形、求面积，知识交汇性很强.这里要注意的是，变化中蕴含不变.第一个不变性是由a2=b2+c2－bc，得三角形的内角A=π3；第二个不变性是由asinA=2R，得截面圆的半径R=1.

二、 隐身在已知条件中

如一个角的正弦值与另一个角的余弦值的乘积等于一个正常数，隐含着两者同号；还有给出的等式或不等式，包括符号本身也隐含了条件，等等.

例3 若函数f（x）=x2-2asin（cosx）+a2有唯一零点，求a的所有取值.

解析因为f（-x）=f（x），因而f（x）是偶函数.又 f（x）有唯一零点，设为x0，则f（-x0）=f（x0）=0，所以-x0=x0，即x0=0，所以f（0）=a2－2asin1=0，解之得a=0或a=2sin1.

点评这里正是函数的奇偶性（隐含条件）帮助我们找到了函数零点，进而扣开了解题之门.

例4 已知等比数列{an}中，a2>a3=1，则使得不等式a1－1a1+a2-1a2+a3－1a3+…+an－1an≥0成立的最大自然数n是 .

解析因为a3=1=a1q2，所以a1>0.由a2>a3，得a1q>a1q2，得0＜q＜1.

当a1－1a1+a2－1a2+a3－1a3+…+an－1an≥0，即a1+a2+a3+…+an≥1a1+1a2+1a3+…+1an成立时，有a1(1-qn)1-q≥1a11-1qn1-1q=q(qn-1)a1qn(q-1)，得a21≥q1-n，即q-4≥q1-n.又0＜q＜1，得－4≤1－n，故n≤5.即使得不等式成立的最大自然数n是5.

点评挖掘出a1>0，0＜q＜1是正确解不等式的关键.

三、 隐身在解题方法或过程中

如直线与圆锥曲线有两个不同的交点，隐含着其方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式必须大于零.

例5 求函数y=sinx・cosx1+sinx+cosx的值域.

错解令sinx+cosx=t，其中t=［－2，2］，则sinx・cosx=t2-12，所以y=t2-121+t=t-12.①

即得-2-12≤y≤2-12，故函数的值域为-2-12，2-12.

剖析在①的变形过程中，其转化为非等价转化，忽视了函数定义域的变化.注意到1+sinx+cosx≠0，即t≠-1，从而y≠-1.于是函数的值域应为-2-12，－1∪－1，2-12.

例6 已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的定义域为［－1，1］，且|f（x）|的最大值为M.

（1） 证明：|1+b|≤M；

（2） 证明：M≥12；

（3） 当M=12时，试求f（x）的解析式.

解析（1） |f（x）|的最大值为M，即|f（x）|≤M.又x∈［－1，1］，不妨取x=-1和1，即－M≤1－a+b≤M，－M≤1+a+b≤M，可得－M≤1+b≤M，即1+b≤M.

（2） 令x=0，得|b|≤M.结合|1+b|≤M，得2M≥|1+b|+|b|≥1－|b|+|b|=1，所以M≥12.

（3） 令x=0，则|b|≤M.再令M=12，得|b|≤12，即－12≤b≤12.①

在|1+b|≤M中，令M=12，得－12≤1+b≤12，即－32≤b≤－12.②

由①②，知b=－12.

在|1－a+b|≤M中，令M=12，并把b=－12代入，得－12≤1－a－12≤12，即0≤a≤1.③

在|1+a+b|≤M中，令M=12，并把b=－12代入，得-12≤1+a－12≤12，即－1≤a≤0.④

由③④，得a=0.

所以f（x）=x2－12.

点评特殊化是解答本题的武器，推理过程中需要充分整合和运用那些特殊化了的结论，也就是隐含条件.

四、 隐身在问题的实际性中

如人不可能是半个，摄氏零度以上是正值，等等.

例7 已知3个空可乐瓶可以换一瓶可乐，现有14个空可乐瓶，若不贴钱，最多可以喝可乐（ ）

A. 4瓶 B. 5瓶

C. 6瓶D. 7瓶

解析14个空可乐瓶，可先拿12个空瓶换取4瓶可乐，喝完后还剩6个空瓶，又可换取2瓶可乐，再喝完后还剩2个空瓶.

这2个空瓶还能再换1瓶可乐吗？这是解决问题的关键.根据“不贴钱”这一条件，可先赊1个空瓶，恰好凑成3个空瓶，即可换1瓶可乐，喝完后将1个空瓶还上.

故最多可喝7瓶可乐，选D.

例8 有200根相同的圆钢，将其中一些堆放成纵断面为正三角形的垛，要求剩余的根数尽可能的少，问这时剩余的圆钢有多少根？

解析可设一共堆放n层，则从最上层往下，每层的圆钢数组成以1为首项，1为公差的等差数列.由其和不超过200，得到n(n+1)2≤200.

但还不能确定n的值，怎么办呢？这时可以从另一个量，即剩余的根数的特征去想，挖掘出剩余的根数不可能超过最下层的根数，这样又得到200－n(n+1)2≤n.

解不等式组便可确定n=19，故得到剩余的圆钢数为200－12×19×20=10（根）.

当然，上述分类不一定全面.比如还可能隐含在问题的不变性中，隐含于不规则的图形中，等等.总之，隐含条件的主要表现形式有：① 概念定义的特殊规定；② 公式、法则、定理、性质的某些界限；③ 图形中存在的但未指明的关系；④ 运动中不变的性质等.挖掘数学题目中的隐含条件是永恒的课题.

1. 已知f（x）=ax2+bx是定义在区间［a－1，2a］上的偶函数，那么a+b的值是 .

2. 若直线2ax-by+2=0（a，b∈R）始终平分x2+y2+2x－4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（ ）