时间：2023-12-04 03:18:54
摘要：数学教学是一项规律性很强的教学科目，而小学时期的学生由于其认知能力有限，对于规律的发现能力欠佳，所以在教学的过程中，教师要适当引导学生去发现规律、使用规律，以便能够提升学习的效率。本文笔者就自身的教学经验出发，谈一下小学数学的二位数乘法教学中的一些技巧，在此略为叙述，旨在为实现小学数学乘法教学的有效进行贡献一份自己的力量。
关键词：小学数学 二位数 乘法 规律 教学经验
一、“十位乘以大一数，个位之积后面拖”的两个两位数相乘
如43×47这样的两位数乘式，两个乘数十位上的数字相等（此例都是4），个位上的数字互补（所谓互补，就是其和为10。此例是3和7），这一类两位数乘法的速算口诀是：
十位乘以大一数，个位之积后面拖。
就以43×47为例来说明口诀的运用：口诀第一句“十位乘以大一数”的操作是：用4（十位上的数）乘以5（比十位上的数大1的数），得到20。口诀第二句“个位之积后面拖”的操作是：用3乘7得积21，（个位之积）直接写在20的后面（后面拖），得2021就是答案。需要注意的是当个位数是1和9时，它们的乘积9也是个一位数，在往十位数的乘积后面“拖”的时候，在9的前面要加一个0，即把9看成09。例如91×99，答案应该是9009而不是909。
速算中遇有小数点时，可先不考虑它，待算出数字后，看两个乘数中一共有几位小数点，在答案中点上就是了。例如每斤1.8元的西红柿，买了1.2斤，该多少钱？1乘2得2，后面拖16（2乘8）得216。点上两位小数点得2.16元。
二、“个位加上十位积，个位平方后面接”的两个两位数相乘
第一种速算法要求“十位上数字相同，个位上数字互补”，而这一类两位数乘法要求的条件恰恰相反，要求“十位上数字互补，个位上数字相同”。这一类两位数乘法的速算口诀是：
个位加上十位积，个位平方后面接。
以47×67为例来说明口诀的运用：用7（“个位”上的数字）加上24（十位上两个数字的乘积）得31（就是口诀“个位加上十位积” ），在31的后面接着写上49（个位数的平方），得3149就是答案。需要注意的是当个位数的平方也是个一位数时，在 “接”的时候，在其前面要添一个0，即把1看成01；把4看成04；把9看成09。例如23×83，答案应该是1909而不是199。
其中加下划线的55×55与第一种速算法重叠。即它既可以适用于第二种速算法，也适用于第一种速算法。
三、“十几乘十几”的计算方法
如18×16这样的乘式，两个两位数十位上的数相等而且都是1，但个位上的两个数字则是任意的（并不要求其互补），这就是“十几乘十几”。这一类两位数乘法的速算口诀是：
十几乘十几，好做也好记，一数加上另数个，十倍再加个位积。
以18×16为例来说明口诀的运用：用18（“一数”，即其中的一个数）加上6（另外一个数的个位数，简称“另数个” ）得24并将其扩大10倍（后面添个0即可）成240，再加上两个个位数的乘积（6×8得48），所得288就是18×16的答案。当个位数的乘积也是一位数时，由于这个积是加在前面一个已求出的和数扩大10倍后的那个0上的，所以实际上是直接“拖”在那个“和数”的后面就可以了。例如12×13：一看就知道是15（12加3）后面拖一个6（2×3），答案是156了。
四、二十几乘二十几的计算方法
如26×27这样的乘式，两个两位数十位上的数相等而且都是2，但个位上的两个数字则是任意的（并不要求其互补），这就是“二十几乘二十几”。这一类两位数乘法的速算口诀是：
一数加上另数个，廿倍再加个位积。
以26×27为例来说明口诀的运用：用26加7得33，“廿倍”就是乘2后再添0，所以得660。再加上42（个位上的6×7）答案是702。当个位数的乘积也是一位数时，由于这个积是加在前面一个已求出的和数扩大20倍后的那个0上的，所以实际上是直接“拖”在那个翻倍后的“和数”的后面就可以了。例如22×23 一看就知道是25（22加3）翻倍后得50，后面拖一个6（2×3）答案是506了。
五、四十几的平方计算方法
所谓“四十几”，就是十位数是4的两位数，它的个位数可以是1—9的任意一个数。这样的数一共有9个，即41、42……49，口诀是：
廿五减去个位补，个补平方后面拖。
以求43的平方为例说明口诀的运用：用基数25减去个位数的补数（即减去“个位补”此例的个位数是3，其补数是7）得到差数18后，在后面接着写上个位数补数的平方（7的平方）49，得到1849就是答案了。当“个位数补数的平方”是个一位数时，在“拖”的时候前面要添一个0。例如求47的平方。个位补是3，被25减3得22，个补的平方是9，答案应该是2209而不是229。这9个数字中，求45平方的速算法与第一种速算法重叠，也就是45的平方既可以适用于第五种速算法，也适用于第一种速算法。
六、五十几的平方计算方法
所谓“五十几”，就是十位数是5的两位数，它的个位数可以是1—9的任意一个数。这样的数一共有9个，即51、52……59。求它们平方的速算口诀是：
廿五加上个位数，个位平方后面拖。
以求58的平方为例说明口诀的运用：用基数25加上个位数8得33，个位数8的平方是64，把64写在33后面得3364这就是答案了。（此法不用“补数” ）
七、“十位数相差1，个位数互补”的两位数相乘
如37×43、62×58、81×99这样的乘式就是“十位数相差1，个位数互补”的两位数相乘。口诀是：
大十平方减去一，小个添零加个积，前后相接在一起。
以求62×58为例说明口诀的运用：因为62比58大，所以把62叫做“大数”，58叫做“小数”。口诀中的“大十”指的是“大数”十位上的数字；“小个”指的是“小数”个位上的数字，而不一定是比较小的那个各位数。如本例中的“小个”是8而不是2，“个积”是指个位数的乘积。用6（“大十”）的平方36减去1得35。再用80（“小个添0”）加上16（“个积” ）得96。答案就是3596。
八、九十几乘九十几
九十几乘九十几可以这样来速算：用100减去两个乘数个位数的补数，再在后面拖上两个乘数个位数补数的乘积即可。例如97×98，用100减去3（7的补数）和2（8的补数）得95，而补数的乘积是6（06）所以答案就是9506。为了便于记忆，可以编成这样的口诀：
两个个补被百减，个补乘积后面写。
九十几乘九十几也可以这样来速算：用80（基数）加上两个乘数的个位数，后面再接写个位数补数的乘积即可。
参考文献：
[1]单秀娟.二位数乘法速算法《齐鲁珠坛》2009第2期.
[关键词]教学目标 课时核心目标 有效达成
教学目标是一切教学活动的方向和归宿。目标的有效确定则是教学过程中的一个重要环节。注重目标的优化设计是实现教学优化的重要前提，目标不明或者有偏差，教学行为就表现为盲目性和随意性。因此，要在课堂教学中真正做到教学到位，教师必须在教学目标上狠下功夫。
核心目标，我觉得应该是一节课中，学生必须达到的基本目标。如何达成课时核心目标，方法很多，我今天结合3个具体的案例和大家一起来探讨。
案例一：精心设计题组，直奔目标。
这是三年级的一节单元复习课，内容是《乘法复习》，此课曾获得携进式课堂教学竞赛一等奖。这节课的基本核心是复习两位数乘整数的口算和两位数乘两位数的笔算，正确进行口算、笔算和估算。为了达成核心目标教者是这样设计的：
42×23= 24×19= 22×17=
师：这个保险箱的密码是456，下面三把钥匙，谁能在最短的时间内找到这把钥匙，打开保险箱呢？
师：这么快！你们一定有什么“绝招”吧！说来听听！
（学生汇报）
生1：我是用竖式计算，答案是24×19。（……）
生2：我是利用两个乘数的个位相乘的积的个位是否等于6。22×17=这两个乘数的个位相乘的积的个位是4而不是6，可以将22×17=先排除。
师：谁明白他的意思？再来说一遍
生3：我用的估算，只有24×19的计算结果大约在400左右，所以只有它能打开保险箱。
师：你是怎么估算的？
生：把24看做20，19看做20，20×20=400 （先板书：24×19≈400 ）
师：真聪明！将两个乘数分别看成最接近的整十数，这种估算的结果误差较小。
师：还能怎么估算？
（再板书： 20×10 比200大
24×19 ≈ 400
30 20 比600小 ）
师：42×23= 为什么不选，谁来估算一下？
（再板书： 40 20 比800大
42×23 ≈ 800
50×30 比1500小 ）
我们有这样的体会，计算单元的复习课，往往题量多、计算耗时多，处理不当，就会挤占学生的课堂作业时间。教者在这个环节精心设计三道题，充分尊重学生思维品质的差异，实现了笔算与估算的有机整合。打开保险柜的办法很多，有的同学逐条竖式计算，教师适时复习了两位数乘两位数的笔算方法；有的同学口算积的个位，排除22×17，教师巧妙地渗透了排除法；有的同学在排除22×17以后，将剩下的两道题估算，教师又借势系统地复习了估算的两种方法，一是在（ ）和（ ）之间，二是在（ ）左右。
这个教学环节的设计，从笔算到估算，学生的思维水平在不断提升，不仅复习了笔算和估算的方法，促进教学目标的达成，还将培养学生的学习能力落到了实处。
案例二：合理利用板书，突显目标。
《乘法运算律》是四年级下册运算律这个单元的一节新授课，同样曾获得携进式课堂教学竞赛一等奖。这节课的基本核心是理解乘法交换律和结合律。请看乘法交换律的教学片段：
一、复习旧知，引入新课。
师：同学们，我们学习了哪些加法的运算律？
什么是加法交换律？用字母怎么表示？
什么是加法结合律？用字母怎么表示？
师：大家猜想一下，乘法也会有类似的运算律吗？板书：猜想
二、猜测验证，探索规律。
1、大胆猜测
师：乘法可能有哪些运算律？
板书： 乘法交换律 乘法结合律
师：你会仿照加法交换律说说乘法交换律是怎样的？
指名说；
2、学习乘法交换律
师：我们的猜想对不对，就需要我们来验证。板书：验证
你想用什么方法来验证？
同桌讨论；
指名汇报；
学生可能出现的回答：用乘法算式，根据学生说的相应板书。
师：你能再说出一组这样的算式吗？
学生说师板书；
师：有不相等的例子吗？
师：看来同学们的猜想是对的，你们真了不起。
像这样的算式写得完吗？
师：观察这些等式你能说说什么是乘法交换律吗？板书：结论
理解乘法交换律和结合律，不只是单纯地教，还需要借助一定的数学思想方法来学习，这节课渗透的思想方法是猜想――验证――结论。教者从加法运算律入手，猜想一下，乘法也会有类似的运算律吗？板书猜想。乘法可能有哪些运算律？板书乘法交换律、乘法结合律。我们的猜想对不对，就需要来验证。板书验证。观察这些等式你能说说什么是乘法交换律吗？板书结论。
教者恰到好处地对一些关键词的板书，让学生很清晰地感受到了这节课的目标是运用猜想――验证――结论的思想方法来探究乘法交换律和结合律。可想而知，通过一节课的学习，学生的收获能不大吗？
案例三：寻求多种解法，深化目标。
《公倍数与最小公倍数》是五年级下册的教材，属于概念课。这节课是差异教学模式的探讨课，核心目标是会用列举法求10以内两个数的公倍数。让我们再来回顾一下例2的教学过程。
自主探究，深化理解
1.教学例2。
多媒体出示：6和9的公倍数。师：这句话是什么意思呢？
生：这个数既是6的倍数也是9的倍数。
师：有哪些呢？想一想你打算用什么方法找出6和9的公倍数，在随堂本上试一试。
汇报交流。充分利用板书细化过程，先请一个学生说，再全班同学一起说。
师：通过列举两个数的倍数找到了它们的公倍数。方法和他一样的举手？我们把这些公倍数读一读。
师：这些公倍数中最小的一个，我们叫做最小公倍数，6和9的最小公倍数是几？
师：老师只列举了一个数的倍数，就能找到它们的公倍数，你知道是怎么找的吗？
生：先列举出6的倍数，在里面就能找到6和9的公倍数。或者，先列举出9的倍数，在里面就能找到6和9的公倍数。
在“尊重差异，目标导学”教学模式的研讨活动中，听了陈老师执教的这一节课我收获很大，以前我在教学求6和9的公倍数的时候，只停留在最基本的列举两个数的倍数找它们公倍数的方法，然后就进入集合图的教学，并没有立足目标，从学生的实际需要出发作深度的挖掘。而陈老师在第一种教学方法结束后，随即问：“老师只列举了一个数的倍数，就能找到它们的公倍数，你知道是怎么找的吗？”学生说出了列举一个数的倍数，在里面就能找到6和9的公倍数的方法，与全班同学共同分享。这三种方法的发现，思维难度在加大，学生的思维水平在不断提升，尊重了学生的个性需求，满足了不同层次学生的需要。这样的教学设计不是为了教学而教学，它实现了对教学目标的再认识，强化了教学基本目标的达成。
对于课时核心目标的达成，没有定法，贵在得法，知识与技能目标固然重要，但是过程与方法、情感态度与价值观这两方面的目标也不容忽视。
例1 猜整万数（苏教版数学四年级上册）
一辆轿车的标价是个整万数，在计数器上用到了3颗珠子。猜一猜它的价格是多少万元。
【习题解析】
这是一道富有思维含量的习题，有较大的探索空间，能够引发学生对知识的深层思考，帮助学进一步理解整万数的特征及组成。学生在猜数的过程中，受已有的计数器拨数经验的影响，凭直觉认为要把三个珠子拨在同一个数位上，于是只能说出3万、30万、300万、3000万这四个单一的整万数。这就有必要在学生思维受阻时相机点拨，拓展他们的思维方法和学习策略。
【引导过程】
学生猜出3万、30万、300万、3000万这几个数之后。
师：这几个数分别把三颗珠子拨在了什么数位上？
生：分别拨在万位、十万位、百万位和千万位上。
师：对，这四个数都是把三颗珠子拨在了同一个数位上。三颗珠子只能拨在同一个数位上吗？
生（恍然大悟）：不一定。还可以拨在两个数位或者三个数位上。
师：好，那同学们想想用到三颗珠子的整万数还可能有哪些？
接着引导学生有序列举：拨在一个数位上的有几个，拨在两个数位上的有几个，拨在三个数位上的有几个。
【教学体会】
这样引导，学生不仅找出了符合条件的所有答案，同时体验到有序列举的思考方法，培养了学生思维的发散性和深刻性。学生在解答数学习题的过程中，思维经常会出现暂时受阻、停滞的现象。此刻，教师若能随机巧妙点拨，启发学生顿悟，不仅能发挥习题本身最大的价值，又能有效地训练学生的数学思维，提升数学思维力。
例2 填乘数（苏教版数学四年级下册）
你能在里填上合适的数字，使等式成立吗？×=1600，×=2400。
【习题解析】
这道题是从已经确定的积写出合适的乘数，换一个角度体会积末尾的0，以加深学生对乘数末尾有0的计算方法的理解。题目的答案不唯一，思考的空间比较大。学生根据积末尾有两个0，能很快联想到两个乘数都是整十数，应用乘法口诀容易得到结果，即20×80=1600或40×40=1600；30×80=2400或40×60=2400。教学似乎可以因学生已经有了两种不同的填法而停止了，但事实上答案还不限于此，积的末尾0的个数不都是由乘数末尾有几个0决定的。因此，有必要鼓励学生作进一步探索，让学生对乘数末尾有0的乘法有更深刻的体会和理解。
【引导过程】
师：同学们，刚才填的两个乘数都是整十数，×=1600还有没有其他填法呢？小组讨论后交流。
生：可以把1600先分成16×100，但100是一个三位数不能填。可以把100缩小2倍变成50，把16扩大2倍变为32，这样就得到32×50=1600。
师：不错，你这是应用了“积不变的规律”。还有其他想法吗？
生：我们的答案跟他是一样的，只是我把1600先分成8×200，然后把200缩小4倍变成50，把8扩大4倍变为32，这样也是得到32×50=1600。
师：殊途同归，很好！
生：这道题目还有一个答案是64×25=1600，可以这样想：根据32×50=1600，可以把50再缩小2倍是25，32扩大2倍是64，就得到64×25=1600。
师：同学们真会动脑筋，又找到了这道题新的填法。那能不能用你们刚才的这些思考方法再来研究研究“×=2400”这道题，它还有其他填法吗？
学生很快又找到了三种答案：48×50=2400，96×25=2400，32×75=2400。
【教学体会】
一道好的数学习题，往往蕴含着数学思想、思维方式和学习策略。这就需要我们教师努力挖掘习题的功能，不仅要帮助学生巩固基础知识和基本技能，更要提升学生的数学思维能力，积累有序思考、缜密推理等思维活动经验。
例3 找分数（苏教版数学五年级下册）
写出一个比大又比小的分数，并在小组里说说是怎样找到这个分数的。还能再找到这样的分数吗？
【习题解析】
这是一道在教学了“通分”“分数大小的比较”之后的练习题。题目较具挑战性，需要突破常规思维，应用分数的基本性质及相关知识探索解决问题的多种方法。教学时，鼓励学生独立思考，通过小组讨论并尝试解答，然后组织交流思考过程，同时让学生初步认识比大又比小的分数有无数个。
【引导过程】
师：谁先来说一说，这道题我们可以怎样思考？
生：我是先把这两个分数通分，化成和，再把它们的分子和分母同时乘以2，得到和，所以找到的分数是。
师：你的思路非常正确，这是一种好方法。
生：我把这两个分数的分子分母都同时乘以5，转换成和，这样就可以找到、、、四个答案。
师：分子相同的分数也能够直接比较出大小，你的办法也很好！
生：我先写了，不太像分数，就把分子分母乘以2得到，是比大又比小的分数。
学生中一阵惊讶：呃！对呀。
师：嗯！别出心裁，借小数“搭桥”，好办法，都能听明白吗？
生：是这样的，比4大又比5小的整数是没有了，但可以有小数啊，我们只要写一个小数作分母，再把分子和分母同时扩大成整数就可以了。
师：是的。那我们再写一个小数试试，看看又可以找出什么分数？
生1：可以写，然后把分子和分母同时乘以10，就是。
生2：如果写，就又可以找到一个分数是。
生2（补充）：要约分，就是。
师：你考虑得很周密。像这样我们还可以依次写下去、（约分是）……
师：其实，用这样的方法还可以找到很多答案，因为比4大又比5小的小数有许多。刚才想的只是一位小数，还可以找到两位小数、三位小数……
师：这样看来，比大又比小的分数实际有多少个？
生：无数个。
师（出示数轴）：任何一个分数都可以用数轴上的点来表示。从数轴上我们就可以清楚地知道比大又比小的分数有无数个。
【教学体会】
“小问题有着大智慧”，发展学生的数学思维是数学课堂教学的主旋律。一个富有挑战性的问题或情境能很好地激发学生的潜能，引导学生深入探究则是为学生铺设起思维发展的阶梯。
一本好的教材有助于课堂教学和学生对知识的接受，而当今教材不断改革，小学教材版本多样，因此本文将针对“小学数学分数乘除法”课程，对北师大版和人教版的教学内容进行比较研究。
一、教材简介及编排特点比较
北师大版小学数学教材的研制历时十余年，经过4次修订，最近的一次是于2001年通过全国中小学教材审定委员会审定，从2001年秋季期起在全国的17个省22个部级实验区试用。该套教材在深入研究国内外数学课程的基础上，试图通过教材的编写，建立促进学生发展、反映未来社会需要、体现素质教育精神的小学数学课程体系。
北师大版和人教版小学数学教材都是从我国实际出发，总结多套教材编写的经验与特点，在此基础上编写而成，两版有许多共同之处，如编写理念、注重学生的生活经验、确立学生主体地位、注重学生学习方式的转变、加强解决问题能力的培养等。在分数乘除法的编排上，两版教材均将分数乘法排在分数除法之前，层层递进，盘旋上升，使学生易于理解和接受。
在结构编排上，北师大版和人教版都以单元划分，每一单元再分为不同的节。北师大版教材每一节包括“正文”、“涂一涂”、“算一算”、“试一试”、“做一做”、“讨论”、“数学故事”、“联系”等八个部分；人教版教材每一节包括“正文”、“做一做”、“算一算”、“练习”、“解决问题”等五个部分。正文一般会以例题的形式呈现。
二、分数乘法对比分析
1.总体结构安排不同
北师大版教材的分数乘法安排在五年级下册第一章，用时8课时；人教版教材的分数乘法安排在六年级上册第二章，用时12课时。其中，北师大版将分数乘法细分为三部分：“分数与整数的乘法”、“整数与分数的乘法”、“分数与分数的乘法”；而人教版只包括了两部分：“分数与整数的乘法”和“分数与分数的乘法”。
2.重视概念和算法相同
虽然两版教材的分数乘法的总体结构和课时安排不同，但他们都将概念理解和运算法则的深层含义作为教学中的重点目标，进行了重点强调。比如说，在“分数与整数相乘”这一小节，两版教材都引入“倍数”的概念，将乘法看作反复相加，从而加深学生对分数乘法意义的理解。在“分数与分数相乘”这一节，两版教材均把分数乘法理解为“部分的部分”，在第一节的基础上拓展分数乘法的意义，循序渐进，由浅入深。
3.概念引入和计算方法介绍不同
北师大版的教材借用裁纸的小案例引出分数乘法，并将其总体分为三部分。在分数与整数相乘这一部分，部分占总体的问题通过加法和乘法的方法得到解决，随后配套几道练习题，供学生摸索分数乘法的运算法则。最后，以两个小孩讨论的形式直接给出分数与整数的运算法则：“分子与整数相乘，分母不变”。在分数与分数相乘这一部分，北师大版的教材直接给出运算法则：“分子相乘，分母也相乘”。但该法则的表述易产生歧义，是“分子与分子相乘，分母与分母相乘”还是“分子与分子相乘，分子与分母相乘”呢？该处需要教师的讲解来帮助学生理解。在解决问题部分，北师大版选用更生活化的问题作为应用题，例如“衣服打折问题”、“学校铺草坪的面积问题”、“部分零用钱用于捐款问题”、“水果分配问题”等，以实际生活为切入点，从学生熟悉的角度加深理解。
人教版的教材则采用线段累加的方式引入分数乘法，并将其总体分为两部分。在分数乘法部分，提出概念之后，利用例题进行讲解，以提问的方式引发学生思考并总结分数乘法的运算法则，但书中没有给出具体的运算法则，需要教师归纳。例如，在“分数与分数的乘法”例3中给出“1/5×1/4=1/20”，书中直接给出其运算法则：“分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母”。如此搭配案例理解运算法则，更有利于学生直观的思考和记忆。在解决问题部分，人教版教材偏向于生物和地理的问题，例如：世界范围内的桦树种类、海象和海狮的寿命、人类心脏每分钟跳动的次数、我国人均耕地面积等，以其他学科为知识背景，有助于拓展学生的知识面，但在某种程度上不易于小学生的接受和理解。
三、分数除法对比分析
1.总计结构安排不同
北师大版教材的分数除法安排在五年级下册第三章，用时9课时，与第一章分数乘法之间穿插了长方体的内容。人教版教材的分数乘法安排在六年级上册第三章，用时13课时。考虑到难度，两版教材的分数除法均比分数乘法多一课时。
2.重视概念和算法不同
人教版的教材强调概念的理解，而北师大版的教材将计算方法放在首位。人教版教材采用法则加例题的方式，先明确指出“分数除法是分数乘法的逆运算”，随后利用三个例题，给出倒数相乘法的计算方法。北师大版在计算方法中叙述得十分详细，应用了大量篇幅。例如，在分数除法（一）中讲解了“一个数除以整数”的情况，在分数除法（二）中讲解了“一个数除以分数”的情况，并针对具体的情况进行详细说明，最后总结出运算法则：“除以一个不为零的数相当于乘以这个数的倒数”。
3.概念引入和计算方法介绍不同
从除法的意义来说，分数除法与整数除法意义相同，都定义为乘法的逆运算。人教版教材先介绍了整数除法，采用分数与整数对比的方式，在整数除法的基础上介绍分数除法。例如，首先，例1提出整数乘法的案例：“每盒水果糖重100g，3盒有多重？”以引入整数乘法，随之将其改编为整数除法：“3盒水果糖重300g，每盒有多重？”联系紧密，对比鲜明。然后，例2通过折纸实验，在学生“折一折”、“涂一涂”的过程中发现、总结出分数除法的计算方法：“把一个数平均分成几份，就是求这个数的几分之一”。而这部分的内容，北师大版跳过了整数除法，直接引入分数除法，不仅没有揭示出分数除法和整数除法的意义相同，而且在理解分数除法上给学生造成了很大的困难。在实际教学过程中，需要教师补充整数除法的案例引入，引导学生理解。
四、总结
两版教材的小学数学分数乘除法部分均满足国家的教材编写要求，在编排方式、结构安排、课程内容等方面既有相同之处，也有不同之处，各有优劣。北师大版教材强调理解计算法则和运用简便算法，很好地结合了纯理论问题和实际应用，明确地给出了分数与整数、分数与分数的运算法则，以及两种约分方法。北师大版注重基础知识的巩固，以步骤单一的简单计算题为主，生活化的案例丰富且生动，尽可能让学生在生活中感受到分数的运用，呈现分数在现实生活中的使用价值。在版面设计上北师大版细致生动、素材丰富，穿插了大量的图片，以培养学生的数学兴趣。
人教版教材更注重对教材的理解，在课时安排上分数乘法和分数除法两部分均比北师大版多4个课时。人教版内容编排清晰，讲解由浅入深，多习题，且习题较北师大版更难，步骤多，但并未直接给出运算法则。实际应用问题的结合不像北师大版极富生活化，而是与地理和生物知识相关的案例。人教版注重新旧知识的连接，注重对学生数学思维能力的培养，注重数学思想和数学意义，而非仅仅掌握习题计算。
在日后的教材修订和编写中，北师大版可以在知识衔接、教材逻辑上有所加强，人教版可以在素材种类、案例应用题上加以改进，适当降低习题难度，着重于学生创造力、情感态度和价值观的培养。
一、同年级教师生成性教学资源类型
同年级教师在办公室里这种闲谈式的合作教学而生成的教学资源，离不开教学内容和学生。老师在办公室里的闲谈话题或在批阅作业过程中的随口之语，是老师对课堂教学的真心感慨，是对自己学生情况的真实表述。这种表达接近于一种无意识的随心之语，可以分为以下几种类型。
1.情不自禁型
案例1：三年级第二学期初，一位数学老师正在批阅学生的笔算练习，突然惊喊：“天哪！二六十八！”同年级很多数学老师也会说：“我班也有很多学生用错乘法口诀啊”。
这位老师在发现第一个学生用错乘法口诀时，并不在意，认为学生是马虎，是笔误，而发出惊语是因为用错口诀的学生人数已经出乎他的意料。
2.困惑纠结型
案例2：三年级学习“24时计时法”时。下课铃刚响，一位数学老师推开办公室门便喊：“我要崩溃了！怎么还有那么多学生不会计算经过多长时间啊？教参建议这一单元上三个课时，我都加了两节练习课了。”她这一喊，并不是对着某个老师喊，仅仅是在倾诉心中的困惑，既然她说“加了两节练习课”，可见这一困惑她早已纠结。
3.自然流露型
案例3：三年级学习“观察物体”时。一数学老师下课走进办公室便急着询问同一年级的其他老师：“你一节课把教参规定的学习内容学完了吗？我没学完。学生在不停地玩手中的小正方体，一节课，我在维持纪律上花了不少工夫，时间都浪费了。”
这位老师的真情询问，不但暴露了自己课堂教学的不足，而且能得到同年级数学老师的真情帮助，并且他们围绕这一话题进行一定的讨论，也能使彼此都获益。
4.一呼百应型
一位正在批阅作业的教师惊语 “三年级的学生还不会乘法口诀”，同年级的数学老师紧随其后响应 “我班也有很多学生不会乘法口诀”。可见，用错乘法口诀是三年级学生笔算除法的普遍错因。这时，二年级的数学教师也按捺不住发表自己的疑惑：“三年级学生不可能不会乘法口诀，在二年级下学期时，主要就学习乘法口诀，学生背得很熟练啊，用口诀计算也很好的。”
不但同年级的数学教师在一起商讨学生为什么对计算经过时间难以理解，其他学科的教师也不由自主地参与这一话题：“我们实际生活中很少接触24时计时法，平时一般都用普通计时法表示时间，比如说上午几点或下午几点，或者大家在说话时都处在说话的语境，不用表明是下午还是晚上。成人都很少用24时计时法，难怪三年级学生理解起来有困难，他们没有这方面的生活经验。”
二、同年级教师生成性教学资源的特点
办公室里同年级教师围绕教学的闲谈而生成的教学资源，是教师对教学现象的自我表达。这种自我表达有这样一些特点。
1.教学成功后的喜悦表达
心理学研究表明：人在成功或有意外收获后会按捺不住心中的喜悦，与他人分享。
案例4：下课了，四年级一位数学老师，人还没进办公室，笑声就已传到了办公室。 “哈哈，‘跟屁虫’帮了我大忙！”大家心里一片茫然。待她笑声停止，她才讲明了大笑的原因：“刚才，我教‘积不变的规律’时，一步一步地引导学生从一组算式中找出积的变化规律。学生发现得很好，可是在应用规律时，有不少学生的思维陷入了死胡同。这时，我一下想到班上的几个小女孩喜欢跟着我，就像‘跟屁虫’一样。于是，我就把‘跟屁虫’这个词用在这儿。我让学生把积看作是跟在因数后面的‘跟屁虫’，全体学生竟然都走出了死胡同。”大家也都笑了，直夸她这个比喻用得好。
2.教学失败后的苦恼倾诉
办公室里，同年级教师关于教学困惑的诉说，不是不顾对方感受的喋喋不休的抱怨，而是因为宽松的工作氛围，使教师能把同事当做倾诉的对象，把教学中遇到的困惑说出来，目的是与同事探讨问题，寻求解决策略。
案例5：下课了，一位三年级数学教师满面愁容推门而进，急急走向另一位三年级数学教师：“你们班学了笔算两位数乘两位数了吗？我班学生太糟糕了。我都把计算过程讲得很详细了，可还是有很多学生似懂非懂，甚至有几个学生根本不懂怎么计算。”随后，两位教师开始交谈教学笔算两位数乘两位数时的感受。
三、同年级教师生成性教学资源的合作教学
一系列的案例表明，办公室里的这些生成性教学资源，是教师教学感悟的真实表露。如果做个有心的教师，善于使用这种教学资源，就可以提高教学技能，为师生互动积累资源。同年级教师无处不在的合作教学，既实现了共赢，又提高了教学效益。
1.获取间接教学经验
“他山之石，可以攻玉。”做个有心人，注意倾听并收集办公室里教师的闲谈，获取间接教学经验。这些教学经验主要有两种类别。
（1）横向教学产生效益的间接教学经验。主要是指听同年级数学教师间的闲谈，为自己同步教学积累教学经验。
如案例4，同一学龄段的学生认知水平差不多，这位教师班级的学生学习“积的变化规律”时走进“死胡同”，其他班级的学生也会有同样的困难。听完这位教师的笑谈后，同年级的数学教师可以把这位教师通俗、幽默的教学方法用在自己的数学课堂中，让数学课堂灵动起来，平时对数学“望而却步”的学生也会乐在数学学习中。
（2）纵向教学产生效益的间接教学经验，主要是指不同年级间互取经验。众所周知，数学知识连贯性强，环环相扣，学生起点、能力与智力，对新知识的学习更起作用。优秀的数学教师要熟知所教数学知识的知识链。如果仅靠自己的实践积累，是需要一定时间的。不同年级的数学教师在闲谈中可以获取正在教学的知识是哪部分知识的学习起点，或正在教学的知识以什么知识为起点。
案例6：办公室里，一位六年级数学教师叹了口气：“哎，这个学生没法给他补课了，他连最基本的数量关系都不懂，一步解答的实际问题他都困难，怎么去解答两步、三步的问题啊！”
一位三年级数学教师接过来：“我们在教用两步解答的实际问题时也发现了这点，还是要先领着学生去回忆加、减、乘、除的含义。”
“教材编排认识加、减时，好像计算方面比较突出，可能有的老师会忽略了引导学生去理解加、减的含义。”一位一年级数学教师参与了闲谈。
“二年级认识乘、除法时也有这些担忧。有的学生根本不理解加、减、乘、除的含义，学乘法时他所有的问题用乘法解答，学除法时他所有的问题又用除法解答啦。”一位二年级数学教师附和着一年级数学教师说道。
这次闲谈，一、二年级数学教师会认识到教学加、减、乘、除含义的重要性，它们是学生解决实际问题的最基本的起点，高年级的数学教师会在教学解决实际问题学生是否具备这些基础知识，也为帮助学困生找到突破口。
2.发现解决教学困惑的策略
教师课余的闲谈，很多时候是互相倾诉教学困惑，在倾诉的同时不知不觉地进行释疑解惑的探讨。
如案例2，谈论那个话题，着急的老师会逐渐明白“24时计时法”离三年级学生较远，学生们缺少生活经验，从而造成学习困难。谈过之后，老师肯定会平定心态，调整教学，不再盲目地练习。
再如案例5，同年级的老师谈着学生在笔算乘法的错误，便会发现学生出错的共性，围绕共同的错误谈出如何让学生在领悟算理的前提下理解计算过程。
关键词： 高中数学 分类加法 分步乘法 教学设计
一、教材分析
本节内容选自人教版高中选修2-3第一章第一节。分类加法和分步乘法这两个原理是本章内容的基础，是处理计数问题最简单也是最重要的工具，是后面排列组合公式推导及二项式公式推导的理论依据。这是两个人们长期经验总结得到的原理，教材从大量的例子出发，让学生经历原理的形成过程。
二、学情分析
本节内容的教学对象是高二学生。虽然本节内容对学生来说是比较陌生的一个新内容，但这是2-3第一章的第一节，学生刚开始这本书的学习，对于新领域会有更高的学习热情。而且他们有从实际生活中抽象概括出数学原理的基本活动经验，所以本节内容的学习任务只要教师适当引导就可以顺利完成。
三、教学目标
1.知识与技能：了解计数与生活的联系；（掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的内容；综合应用两个计数原理解决实际问题。
2.过程与方法：经历从大量具体例子中总结归纳发现两个计数原理的过程；参与小组讨论，交流合作总结两个计数原理的联系与区别；学习计数问题的解决方法。
3.情感态度与价值观：体会不必通过“一个个数”的方法解决计数问题，感受数学解决问题的方便快捷，提高对数学学习的兴趣；树立积极合作的意识，并在活动中数学地表达与交流。
四、教学重点、难点、关键
1.重点：两个计数原理的归纳和应用。
2.难点：“完成一件事情”的理解、加法原理与乘法原理的区分。
3.关键点：两个原理区别与联系的总结、解决计数问题的步骤。
五、教学方法与手段
引导探究式、计算机辅助教学。
六、教学设计
思想分类：加法计数原理和分步乘法计数原理是人们经过长期的经验总结出来的公理，所以本节课采用例子-原理的教授方法，提供丰富的例子，引导学生探究，让学生经历原理的发现和概括过程，并且类比学习两个计数原理，从而全面理解两个原理，为本章后面内容的学习做好铺垫。
七、教学过程
1.创设情境，激发兴趣：问题一：同学们，老师最近准备去云南旅游，想把两张不同的明信片送给3位同学中任意两位，有多少种不同的送法呢？引导学生用枚举法得出答案，提出问题：若将四张不同的明信片送给我们班40位同学中任意四位有多少种情况？不需要枚举法就可以得到结果呢？进入新课学习――高级的数数方法。问题二：如果老师想乘飞机或火车去云南。一天中直达飞机有5班，直达火车有8班。那么乘坐这些交通工具从广州到云南共有多少种不同的走法？问题三：现在有6条连衣长裙，8条连衣短裙，请问老师想挑一条连衣裙话有多少种不同的选择？
2.观察归纳，形成概念：活动一：同学们观察上述两个问题有什么共同的特征？活动二：归纳得出分类加法计数原理的数学表达。
3深化理解，推广应用：活动一：思考以下例题：A旅行社推荐：北京、上海、内蒙古、青海、凤凰这5个地方。B旅行社推荐：北京杭州、厦门、云南这4个地方。如果从中选择一个景点，总共有多少种选法？这道例题主要是为了引起学生的注意，使用加法原理的时候，不同方案里的方法要符合不重不漏，继而也推广到多类方案的情况。活动二：思考类似问题。如果C旅行社又给老师推荐了5个与AB都不同的景点，这个时候老师再去选择一个，又会有多少种方法呢？推广：分类加法原理不仅适用于2类方案的情况，可以多类。如果完成一件事情有n类不同方案，完成事情的总的方法数就是每类方案的方法相加。活动三：学生举例运用分类加法计数原理。
4.类比归纳，自主探究：活动一：解决策划旅行过程中的两个实际问题。问题一：老师想先乘坐飞机到昆明，然后再从昆明乘坐火车到大理，一天中从广州到昆明的飞机有2班，从昆明到大理的火车有3班，在两天中，请问从广州到昆明再到大理共有多少种不同的走法？问题二：老师带了2件上衣，3条裤子，请问有多少种不同的穿戴方法？
在解决这两个问题的过程中，教师引导学生回忆“树形图”并用以解决问题。观察类比加法计数原理归纳出此类问题要分步处理并用乘法解决，最终得出分步乘法计数原理的数学表达及推广方式。
5.条分缕析，研发技术：活动一：分组讨论，思考两个计数原理的联系与区别。
请同学们根据之前的例子思考两个计数原理的联系与区别，最后教师给出总结表格。
活动二：总结解决计数问题的一般步骤首先，我们要确定要完成的一件事是什么？第二步，怎么完成？我们知道可以用分类加法或者分步乘法对吧？怎么判断呢？引导学生发现之前的例子完成事件分别用的步骤数，与加法和乘法的运用产生联系。总结出“一步完成用加法，多步完成用乘法”的规律。
一、同课异版教材研读
简算教学中“运算定律”的教学是非常重要的，为了能更好地深入研究，笔者以“交换律”一课内容为例展开研究。“交换律”是人教版四年级下的教学内容，教材中的安排是将加法交换律和乘法交换律分开来的，但由于对交换律形式的思考，很多教师将两者整合在一起教学，具体如下：
【传统案例】
1. 新课导入：对“朝三暮四”的理解
2. 探究新知
（1）3+4=4+3，通过对算式的观察，探究加法交换律，练习巩固。
（2）在加法交换律的基础上继续猜想验证，探究乘法交换律，练习巩固。
3. 课堂小结
整个过程切入点足够新颖，学生在课堂上的回答也是频频出彩――“我发现3+4的和与4+3的和是一样的，所以交换加数的位置，和不变。”“我觉得乘法和加法一样，比如说3×4=4×3。”“我也同意，不过0不可以……”“我发现加法交换律和乘法交换律其实是一样的。”
确实，在该案例中，教师对教材进行了一定的处理，既变换了情境，也整合了教学内容，调整呈现方式。教学后的课堂评价也不错，但是仔细思考会发现，虽然教师将加法交换律和乘法结合律整合在一起教学，可是在实际课堂中展开还是有先后顺序的，先学加法交换律，后学乘法交换律，某种程度还是将这两个内容割裂开来，并没有从本质上进行沟通。从课堂上学生的回答也可以发现，学生对于这两者的内在联系已经有所体会，觉得是可以“相通”的。
对于学生“出乎意料”的表现与“热闹非凡”的课堂氛围，就能认为这样的教学设计是有助于学生学习的吗？其实这样的设计只是知识表面的联结，并没有触及运算定律本质的教学，鉴于这样的思考，笔者再次从教材入手展开研究。
笔者将“人教版”和“北师大版”关于《运算定律和简便计算》这一单元的知识编排整理如下：
人教版 北师大版
编排位置 四年级下册 四年级上册
已有知识基础 笔算多位数加减法
笔算三位数乘两位数
笔算多位数除以两位数 笔算多位数加减法
笔算三位数乘两位数
呈现方式 独立单元 三位数乘两位数乘法单元内
知识编排顺序 加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
简便计算（运算定律的应用及算法多样化） 乘法结合律
乘法交换律
加法交换律与结合律
乘法分配律
是否有问题情境的呈现 全部 乘法结合律
乘法分配律
通过以上的对比，可以看出：
1.两个版本教材都把“运算律”的内容放在了四年级，知识点的内容都包含加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的五大定律及运算定律的应用。从知识点编排的紧凑程度上看，两个版本的编排都非常紧凑，尤其是人教版，知识点编排非常密集。
2.两个版本明显的不同表现在五大定律呈现的顺序上。人教版是先学加法运算律后学乘法运算律；北师大版是先学习乘法结合律，然后在其巩固练习中直接呈现乘法交换律，接着过渡到加法交换律与加法结合律上，最后出现乘法分配律。虽然说这样安排可能是出于顺应某些学生的已有知识经验的考虑，比如说，虽然我们没有进行系统的交换律的学习，但是在以前的学习过程中，实际上学生已经对这两个规律有所体验，甚至还有所应用，像解决“有5个盘子，每个盘子里有3个苹果，一共有多少个苹果？”学生回答5×3和3×5都是对的，这说明他们已经在利用乘法交换律来解决问题了，但是这不代表学生已经学过了两个交换律了。“学生不仅要学习结果性内容，也要学习过程性内容”。如果教师认为学生已经有了相关经验就等同于学会了某个知识的话，那么教学就进入了只重视学习结果的误区。因此，笔者还是认为先学习加法运算定律比较符合学生知识结构的构建。
仔细分析可以发现，如果能够抓住知识点的联系和迁移，又能缓解学生学习节奏过于紧密的情况，显然是两全其美的。因此，笔者尝试将这个单元的内容重新进行调整：
将单元内容重新整理后，不再是按照运算来分，而是按照“运算律”的共同点来划分，这样更可以挖掘运算律的本质内涵，也可以缓解学生学习知识点过于紧凑的弊端。基于这样的考量，笔者重新设计了“交换律”这一课。
【改进案例】
师：同学们，我们已经学过了哪些运算？
生：加、减、乘、除。
师：这都是我们已经学过的运算。现在老师这里有一个式子，我们一起看：ab=ba（课件出示），你觉得这个可能是哪些运算符号呢？
学生猜测：+、-、×、÷……
师：看来同学们有不同的想法，到底表示什么运算符号呢，你能不能想办法来验证一下。在想办法之前我们先来看一下要求（课件出示要求）：
（1）你认为可能代表哪种运算符号？或者不可能是哪种运算符号？
（2）自己想办法来说明你的猜想。
（3）把你的想法写在作业纸上。
学生静静地在课堂上思考着，动笔写下自己的想法。
……
整节课学生都围绕着“表示什么运算符号，自己想办法验证”来展开。讨论到“+”时就有了加法交换律，讨论到“×”时就有了乘法交换律，讨论到“-”和“÷”时也明白了为什么没有减法和除法的交换律。真正从本质上理解交换律的内在含义，并学会运用加法意义和乘法意义来解释验证交换律的正确性。让学生不断地在思维上突破并融合，相信学生经历了这样的学习过程，对于交换律的本质属性应该有了进一步的了解。
同一节课研读不同版本的教材，是为了更好地理解知识点在体系中的地位和结构，可以将单独的知识点放入单元体系中去观察和对比，通过求同存异的比较方法来分析教材，让自身对教材中知识点前后的逻辑关系和知识点的本质有更好的理解，同时，这样研读不同的教材所收获的内容，也可以作为教师自身的知识储备。
二、基于小、中学教材衔接的思考
同一教学内容在小学阶段不同版本教材中虽然编排顺序和体系会有所不同，但是对学生小学阶段所需掌握的要求是差不多的，课标里明确了第一、二学段简算内容的掌握要求。但许多教师有时也会遇到这样的情况――在教学有些简算内容时，对于算理无法给出恰当的解释，或者能够给出的解释超出了学生的知识范围。面对这种情况，大多数教师的做法就是回避这些问题，如以下这个案例。
【传统案例】
五年级上册，要求怎样简便就怎样算：
（1）4.25-1.64+8.75-9.36
（2）0.9+9.9+99.9+999.9
习题（1）教学：要求学生仔细观察习题，引导发现数据特征，学生很快发现有两组数据能凑整，分别是4.25和8.75，1.64和9.36。于是解答此题为：（4.25+8.75）-（1.64+9.36）。随后教师反问学生，这道题用到了什么运算定律，学生会说用到加法结合律还有减法的性质，教师听到学生这样的答案也挺满意，觉得学生掌握得还不错了。
习题（2）教学：引导学生观察算式特征，学生快速发现这里每个数的末尾都是9，教师引导学生思考，看到9会想到什么，学生经过思考会说出再加1就能凑整，于是解答此题为：（0.9+0.1）+（9.9+0.1）+（99.9+0.1）+（999.9+0.1）-0.4。随后教师反问学生，为什么要减去0.4，学生有了之前的引导思考，也能顺利回答出之前加了4个0.1，所以后面要减去0.4，多加了要减去。
仔细思考教师对于这两题的教学，从表面来看似乎没什么问题，但深入研究就会发现还是有问题存在的。在做了这两题后，笔者曾经进行过一次学生的课后访谈：
（1）4.25-1.64+8.75-9.36 （2）0.9+9.9+99.9+999.9
师：这题中，为什么1.64和8.75交换位置后加减符号也变了呢？（即变成4.25+8.75-1.64-9.36）
生1：这个……我也不知道，老师这么说的。（犹豫不确定）
生2：我知道，这是在用加法交换律，后面的使用减法交换律……（笃定的语气）
生3：不对！这里使用减法的性质，没有减法交换律。（马上反驳） 师：那这题你是怎么想到这样去做？
生4：因为末尾有个0.9啊。（自信的口吻）
生5：因为它要凑整，加上0.1最方便。（思辨过后的语气）
生6：因为这样简便呀。（笼统的回答）
从学生的访谈结合之前教师通常的教学，我们就可以发现：学生对于这两题为何这样简便来计算并没有真正掌握，只是看到外表数的形式的变化，而没有真正理解为何这样变化的本质。其实这两题对于小学生来说要求算出正确的结果并不是很困难，只要教师进行专项训练加以巩固就能达到要求。可是我们的简算教学并不只是停留在会生搬硬套上就可以了，更要挖掘简算的本质。
要深入挖掘知识本质，作为教师不妨把视角放宽一些，来看看第三学段中对相关内容的要求及初中阶段的教材，或许能有一些帮助。
第一学段 第二学段 第三学段
数的运算（简算相关内容要求） 认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步） 探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算 理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算
从《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求来看，可以看出小学阶段重在掌握简便计算的基本方法和技能，能够灵活运用解决一些简单的简便运算；初中阶段重在简便计算的灵活运用，随着数的范围的扩大，将小学阶段所运用的运算律全部纳入到有理数的计算中。
此时，我们来研读初中教材中有理数简便计算的内容可以知道，简便计算的灵活运用主要包括以下几个方面：
（1）互为相反数的两个数可以先加。
（2）符号相同的两个数可以先加。
（3）几个数相加得整数可以先加。
（4）同分母的分数可以先加。
（5）能凑整时可以加括号先分组求和。
习题（1）如果按照初中的运算思路就是符号相同的两个数可以先加，而且减法是加法的逆运算，算式就是4.25+（-1.64）+8.75+（-9.36），这样一来就很清楚，这里用到的就是加法交换律和加法结合律。习题（2）就是体现初中“分组求和”凑整的思想。有了这些衔接的思考，可以进行重新设计。
【改进案例】
（1）4.25-1.64+8.75-9.36
师：大家知道在加法中我们交换位置，结果不变，其实在计算中，只要是同一级运算，改变运算顺序，它的结果也是不变的。加、减是同级运算，乘、除也是同级运算，比如说这里减1.64加8.75交换位置后就是加8.75减1.64，结果是不变的，再利用加法结合律和减法的性质巧妙解答这题。
在常规教学的基础上，教师巧妙地引导学生将加法交换律拓展到了同级运算的交换律，学生在中年级四则运算的学习中，已经知道加、减法是同级运算，所以学生也不难理解。同时又化解了学生对于减法是加法的逆运算、带着符号搬家的理解，注重了中小学衔接的关注，也更为深入地理解了交换律在运算中的本质。
（2）0.9+9.9+99.9+999.9
师：观察算式当中每个数的尾数都是9，这时候我们通常会想到与9凑整的方法，在凑整时也要考虑凑成最方便计算的整数，还要注意“多加要减，多减要加”的规则。像这样特征的算式，我们可以考虑用凑整分组求和的方法来算，可以使计算得到简便，这也是我们常用的一种简便技巧。
在学生基本掌握运算律的前提下，教师对学生的回答要有适当小结，在小结过程中还要渗透中小学衔接的要求，其实这种凑整分组的方法也就是以后初中有理数分组求和的基本技巧，这里提前渗透。如果教师能及时点拨、抓住要领，相信学生能够通过一定的训练来掌握灵活运用运算律的方法的。
要提高简算教学的有效性，读懂教材、理解教材、钻研教材是对教师的基本要求。在教学中设计一堂课的教学内容时，可以通过横向的不同版本教材对本课的编排进行解读，也可以通过纵向中小学教材掌握目标的衔接进行解读，从而提高课堂教学的效果。除此以外，还可以通过理解算理、培养学生计算品质、评价简算教学等方面进行思考和实践，相信也会对简算教学有所帮助。
1.经历阅读、思考、解答并与同伴交流有关分数基本性质的相关资料与问题。
2.进一步明确分数基本性质的算术理论。
3.进一步开阔分数基本性质教学的设计思路。
4.提高教材比较的能力和分数基本性质的教学水平。
二、活动内容与时间
（1）教研组老师先不集中，每人自己安排时间阅读并独立解决本方案中的问题。先独立思考解决问题，再阅读本方案中的参考答案，时间约3小时；再以年级组（或教研组）为单位集中交流问题的答案，时间约1.5小时。
（2）教研组确定一位老师上一节分数基本性质的研究课，全组老师听课、评课。时间约1.5小时。
三、活动前准备
数学组的每一个老师解答下面的问题，并准备在年级组或全数学组交流。开研究课的老师除了解答下面的问题外，还要做好上课的准备。
1.在算术理论中，论述分数的性质时，通常会阐述分数的多个性质，请你先阅读再回答问题。
分数的性质：
性质1：如果分数的分子和分母同乘或者除以相同的数（零除外），那么分数的大小不变。
性质2：如果分数的分子乘（或除以）一个数，分母不变，那么等于分数乘（或除以）这个数。
性质3：如果分数的分母乘（或除以）一个数，分子不变，那么等于分数除以（或乘）这个数。
在上面的三个性质中，性质1就是我们通常所说的分数基本性质。在性质1的表述中“分数的大小不变”指的是“两个分数相等”。也就是说，要理解分数的基本性质就要先弄清楚什么叫两个分数相等。想一想，应该怎样定义两个分数相等？下面是试图给两个分数相等下的定义，你觉得哪一个定义比较合适？为什么？
（1）如果两个分数的值相等，那么这两个分数就相等。
（2）如果两个单位1用相等的图形表示，且两个分数表示图形的阴影部分的大小相等，那么这两个分数相等。
（3）在两个分数中，如果用每一个分数的分子除以分母，得到的两个商相等，那么这两个分数相等。
（4）如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积等于第二个分数的分子与第一个分数的分母的积，那么这两个分数相等。
2.请你先阅读下面一个命题的证明过程，再证明另一个命题。
已知：分数，b≠0，m是不为零的自然数。
求证：= 。
证明： a（bm）=abm，（乘法结合律）
而 （am）b=amb=abm ， （乘法交换律）
a（bm）=（am）b。（等于第三量的两个量相等）
因此 =。 （根据两个分数相等的定义）
请你证明：=。
3.从上题（第2题）中，我们可以看到，对于一个分数来说，它可以分子与分母同时乘一个数m（m≠0），也可以同时除以一个数m，大小都不变。如果取m=2，取分数为，那么，你觉得以下的两个等式成立吗？为什么？
（1）=；（2）=。
4.想一想或查一查，在小学数学教材中，是否给出了两个分数相等的定义？如果给出了定义，那么这个定义是如何表达的？如果没有给出定义，那么教材是根据怎样的逻辑关系来说明两个分数相等的？
5.下面是西南师大版教材中编写的分数基本性质的开头部分，请你读一读这段教材，并回答问题。
问题：
（1）教材为什么要假设“4张小报的大小是一样的”？
（2）为什么要引导学生去观察研究“数学趣题占的版面也是一样大的吗”？
6.想一想或查一查教材，在教学分数基本性质前，学生已经学习了哪些分数的知识？在以下的知识点中，你认为是在分数基本性质教学前已经学习过的内容，请在相应的括号里打“√”，否则打“×”。
（1）分数的初步认识与再认识；（ ）
（2）通分与约分；（ ）
（3）简单的同分母分数加减法；（ ）
（4）分数与除法的关系；（ ）
（5）真分数与假分数的概念；（ ）
（6）两个分数相等的概念；（ ）
（7）异分母分数加减法。（ ）
7.下面是苏教版教材中分数基本性质教学时的例1，请你读一读这段教材，并回答问题。
问题：
（1）五下年级的学生能够用分数表示每个图里涂色部分的大小吗？为什么？
（2）学生是否已明确“大小相等的分数”的概念？如果没有，那么凭什么要求学生把“大小相等的分数填入等式”？
8.要让学生探索出分数的基本性质，可以让他们经历以下三个过程：
（1）要让学生得到一些分数；
（2）要让学生写出一些两个分数相等的算式；
（3）要让学生观察两个分数相等的算式，思考等式左右两边的两个分数分子与分母大小的变化规律，并发现分数的基本性质。
在分数基本性质教学时，你觉得上面的三个过程中，哪一个过程是教学的重点？为什么？
9.下面图1、图2分别是人教版教材和北师大版教材教学分数基本性质的开头部分，请你先读一读这两段教材，再思考与回答问题。
图1
图2
问题：
（1）可以看到，两套教材的编写都是让学生先得到三个分数，但人教版教材是让学生折纸、涂色，再写出分数。而北师大版教材直接让学生写出分数。如果分别按照教材进行教学，那么，你觉得哪一个教学过程的教学起点比较低？哪一个教学过程所用的时间比较短？对于五下年级学生的教学来说，你更喜欢用哪一个教学过程？为什么？
（2）在学生得到三个分数后，两套教材给出的问题不同。人教版教材给出的问题是：“你发现了什么？”北师大版教材给出的问题是：“根据上面的过程，你能得到一组相等的分数吗？”你觉得这两个问题各有什么长处与不足？你更喜欢哪一个问题？为什么？
先用分数表示图中的阴影部分，再观察图形，想一想，能找到相等的分数吗？试一试。
接着让学生观察分数相等的算式并发现规律。
16. 在小学数学教学中，教师常常引导学生运用不完全归纳法得出分数的基本性质。如果你来教学分数基本性质，通常你会运用几个特殊的例子来得出结论？写一写你想运用的几个特殊例子，并说明你为什么会选择这几个例子。
17.我们知道，分数的基本性质实质上可以分成两个命题，一是分数的分子与分母同乘一个相同的数（零除外），分数的大小不变；二是分数的分子与分母同除以一个相同的数（零除外），分数的大小不变。对于这两个命题的教学顺序，甲、乙两位老师有着不同的看法。
甲老师认为，应该先教学“同乘”，再教学“同除以”。因此，他会安排类似于下面的教学顺序：
（1）让学生得到两个分数和；根据图形写出相等的算式，观察分子与分母的变化规律。
发现：分数的分子乘2，分母也乘2，得到新的分数。这个新的分数与原来的分数大小相等。
（2）运用特殊例子，得到：分数的分子、分母同时乘相同的数2，分数的大小不变。
（3）进一步研究得出，可以“同时乘2、3、4、5等等”，从而得出分数基本性质中“同乘”的部分。
用类似于上面“同乘”的过程研究“同除以”，得到分数基本性质中“同除以”的部分，再把两部分合起来，形成最后的结论。
乙老师认为，“同乘与同除以”应该在一个算式中同时完成。因此，乙老师会运用下面的图示：
这个等式让学生发现：一个分数的分子、分母同时乘或除以相同的数2，分数的大小不变，进而去发现还可以同时乘或除以3、4、5等等，进而得出分数的基本性质。
你觉得这两种教学顺序各有什么特点？你更喜欢哪一个教学顺序？为什么？
18.要说明分数的基本性质是成立的，通常可以有以下几种不同的方法：用画图说明；用分数的意义说明；用商不变的规律说明。
请你举一个具体的例子，分别运用上面的三种方法说明分数基本性质是正确的。
19.在学习了分数基本性质后，如果让学生去解决下面的问题，那么，你估计有多少学生能够解决这个问题？他们的解题思路是怎样的？不能解决这个问题的学生，他们遇到的主要困难是什么？
填空。在括号里填上适当的数，使等式成立。
参考答案：
1.用（4）的定义方式比较合适。因为涉及原来的概念简单，操作方便。如果用（1）要先定义什么叫分数的值；用（2）涉及原来的概念相对复杂，可能会因为操作误差而导致判断错误；用（3）如果出现循环小数，操作相对麻烦。2.略。3.根据分数相等的定义可知，两个等式都成立。4.现行的几个版本的教材都没有明确给出两个分数相等的定义。教材是用图形直观的方式，给出两个大小相等的图形（单位1相等），两个分数所表示的阴影部分大小相等，来说明两个分数相等的。5.（1）强调单位1大小相等；（2）强调分数表示的部分大小相等，为得到两个分数相等的算式作准备。6.（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）√；（6）×；（7）×。7.略。8.（3）是重点。9.略。10.略。11.主要是学生操作方便。以下各题答案略。