有限元分析论文范文

有限元分析论文篇1

【关键词】有限元法 教学质量 教学手段 教学方式 改革

【中图分类号】G640 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）1-0080-02

《有限单元法》是高校力学、机械，装备专业的一门专业课。随着我国制造业、建筑业水平的不断提高，制造企业、建筑企业对某些重要构件需要进行有限元分析，以确定其强度，疲劳寿命等是否满足要求。因此加强对本科生有限元分析能力的培养对于学生就业非常必要。

本课程对于学生的理论和实践经验都要求较高。该课程要求学生具备扎实的工程数学，高等线性代数， 弹性力学， 数值分析基础以及工程实践经验。通过课程的学习，学生应能掌握有限元分析的基本理论和方法，能够对杆、桁架、梁、各种平面问题和三维实体的应力强度进行分析。力学专业学生已经学习了线性代数，弹性力学和数值分析，具备了学习本课程的基础。但是其他专业，如机械，土木等专业在前期课程的学习上有所欠缺，需要适当补充。

1. 提高课程教学质量的方法

1.1 树立本课程正确的教学理念

通过该课程学习，拓展本科阶段工程力学中的求解方法，培养学生运用离散化思想分析问题和利用计算机程序或大型工程有限元分析软件解决各种实际工程问题，求出问题的近似解（有限元解）的能力，为以后学习和工作打下良好的基础[1]。

1.2加强本科生的数学和力学基础能力的培养

可以适当的增加几门关于高等线性代数，弹性力学方面的选修课。对有限元分析感兴趣的学生可以有针对性的进行选修，这样可以提高学生的数学和力学基础；另一方面，本课程讲解过程当中，适当的复习原来学过的数学内容。

1.3合理选用优秀教材，并编写针对本科教学用的有限元法教学参考书

目前各版本教材已经较多。但有的适用于研究生，有的是单纯的操作指导。一本不合适的教材会误导学生的自我定位，挫伤学习积极性，影响教师的讲课，降低学生培养质量[2]。

我校力学专业选用教育部"长江学者"特聘教授--清华大学曾攀教授编写的《有限元基础教程》，该书采用Matlab和Ansys语言教学。常见的一些教材参见文献[4-8]。另外，我们编写了参考书《Mathematica有限元法及工程应用》[9]由清华大学出版社2010年出版。

2.改进教学手段，调动学习主动性

2.1多媒体辅助教学和板书有机结合

有限元分析作为计算力学的主要方法已成为工程设计及分析的最重要的工具之一，但其所涉及到的数学力学知识往往使初学者望而生畏。我们通过课件对杆、梁、板等简单结构分析过程作形象演义，先使学生了解有限元法的梗概，再由数学推导使他们的认识得到深化。板书的过程主要是把重要结论写于黑板上。

2.2采用案例教学和启发式教学

为增加课堂趣味性，介绍了有限元方法在各个领域的应用，从工程实际中选出具有典型意义的实例作为教学素材，增强学生的感性认识。

案例教学法需要更新教学内容，从学生专业方向和将来的实践中搜集、精选有实用价值的综合案例，以提高兴趣和效果。如教材[3]中"北京奥运鸟巢场馆"、"现代列车车厢整体结构"、"人体肩部区域的骨骼"、"预应力万吨模锻液压机"等分析。又如风力发电和火力发电汽轮机中中叶片的设计，电脑CPU散热片的散热设计、简化机翼的振动分析等。

2.3介绍一些通用的有限元分析软件

这些软件一般包括前处理、后处理及计算三大块。多数大型通用软件的后处理可以用云图显示构件或结构的应力、应变或变形分布。教师应鼓励学生熟悉这些软件，比如Ansys软件，学生可以快速地入门，当他们获得所见即所得的效果时，便会产生浓厚的学习兴趣，同时，能让学生对所学理论知识产生兴趣。

2.4大力推广研究性学习

实践证明"研究性学习"可以有效地改变学生学习的被动性。研究意味着学习已有的知识，运用已有的知识，创造新知识的意识和努力。鼓励学生进行专题研究，解决一些实际问题，循序渐进地进行创新能力与综合能力的培养。

2.5 抓好"三要素"，以期教学得到学生认可，提高学生创新能力

教学改革应当具备的三要素揭示根源、展示背景、演示过程[10]。不少的教材、课程教学缺乏这三个要素。为什么这三要素可以有效地解决这些问题呢？揭示根源从源头上发掘每个知识点所产生的因缘，避免"无根水"的知识灌输；展示背景从客观需求上让学生了解理论与实际的关系，避免"两层皮"的弊病；演示过程在教材中、在课堂上表演知识的发生过程，避免出现"填鸭式"灌输知识的误区。

3.理论和实践有机结合

3.1 理论与应用紧密结合

在很多企业里，有限元法己成工程师必备的技术。在理论教学过程，用动画和影视来展示有限元法在工程上取得的成果，启发学生的创新欲。

3.2 上机练习和考核方法

对设计人员而言，如何应用有限元技术软件设计出好的产品才是最终目标。课程重点在于教授学生如何掌握有限元方法，并用好软件。教学分为课堂授课和上机练习两部分。在上机案例中使学生掌握软件基本的操作过程以及一些必要的操作技巧

3.3 参与科研、实习和毕业论文等工作

在课程开始阶段就鼓励学生学习有限元方法和相关软件，参与学院各研究方向的科研项目及相关的竞赛当中。如我院近几年来每年举办的"校结构设计大赛"。同样，教师还积极引导学生应用有限元到专业实习和毕业论文中去。

4、课程的改革总结

本课程不仅需要学生有系统的理论分析能力，还需要有很强的工程实践能力。因此采用多元化方法和手段教学，才能够使学生系统掌握该课程的理论和方法，具备独立分析解决问题的能力，从而达到本课程教学的目的。

参考文 献：

[1] 钱瑛，李成，赵华东. 教研结合模式下的机械类专业有限元课程研究.中国科技信息，2010，14. 242-243

[2] 葛藤. 《有限元法》本科教学改革探讨. 科技信息. 2010，13，116-116.

[3] 曾攀. 有限元基础教程. 北京：高等教育出版社. 2009

[4] 陈国荣. 有限单元法原理及应用. 北京：科学出版社，2009

[5] 王勖成，邵敏. 有限元法基本原理和数值方法.北京：清华大学出版社，2003

[6]刘巨保，罗敏.有限单元法及应用.北京：中国电力出版社，2013

[7]侯建国，安旭文. 有限单元法程序设计（第二版）. 武汉：武汉大学出版社，2012

[8] 李人宪.有限元法基础（第2版）.北京：国防工业出版社，2009

[9] 鲍四元. Mathematica有限元分析与工程应用.北京：清华大学出版社， 2010

有限元分析论文篇2

行了分析。

关键词:有限元；可视化；可靠性

中图分类号：TU74文献标识码： A 文章编号：

随着现代产品的结构日趋复杂，功能日臻完善，对可靠性的要求也越来越高，达到高可靠性的难度也大大增加,因此产品的可靠性评定等问题，已受到各产业部门的重视。为了保证机械产品的可靠性，人们往往采用基于工程经验的安全系数法进行设计，有可能导致可靠性不足或过于保守。为了使设计更符合实际，应该在常规方法的基础上进行概率设计。

目前国内许多用户在进行可靠性分析时,都是用人工处理有限元程序的计算结果文件，这样做不仅工作量大，而且相当繁琐，计算结果也不易直观观察. 针对这一情况，有效地开发出一种以有限元软件为平台的可靠性可视化分析系统，

自动处理有限元的分析结果，计算出结构各个构成单元和体系的可靠度数值，方便设计人员及时发现并改进结构的局部缺陷，提高可靠性。

因此在最新的理论方法基础上，开发一个结构可靠性分析及仿真软件,能计算常用产品的可靠性，并将分析结果可视化输出将具有十分重要的意义。

1 结构可靠性分析基本原理

1.1 结构可靠性分析的基本概念

结构的可靠度是产品在规定时间内和规定条件下，完成规定功能的概率。

设为影响结构功能的n个随机变量，R(t)为可靠度函数，则结构的可靠度可表示为：

(1)

如果把失效概率记做F(t)，显然有：

(2)

可靠性计算以概率理论为基础，考虑到直接应用数值积分方法计算结构失效概率的困难性，工程中多采用近似方法，为此引入了结构可靠指标的概念。对于 Z服从正态分布的情况，可靠指标的表达式为:

(3)

1.2结构可靠性常规计算方法

随着结构可靠性理论研究和工程结构设计方法的发展，近似概率设计方法已进入实用阶段。目前，通常采用一次二阶矩法、JC法、响应面法、梯度优化法及蒙特卡罗法等近似方法来计算结构的可靠度。其中一次二阶矩法、JC法需要较多的迭代求解且计算精度很差，响应面法随使可靠度计算得到简化，计算精度有所提高，但对于大型问题及随机因素较多的情况，效率较低。蒙特卡罗法为得到较高的计算精度需数万次的循环求解，耗时过多。

随机有限元法是进行结构可靠性计算的另一种思路，它是随机分析理论和确定性有限元法结合的产物。随机有限元法可分为两类: 一类是统计的方法,如蒙特卡洛法。另一类是分析的方法，就是以数学、力学分析作为工具，找出结构系统的响应与输入信号之间的关系，并据此得到结构内力、应力或位移的统计规律，及失效概率或可靠性。这一类随机有限元方法常见的有摄动随机有限元法、纽曼随机有限元法和验算点展开随机有限元法，本文采用计算效率较高的可靠性指标优化算法计算结构的可靠度。其基本原理如下：

根据结构可靠性指标的几何含义，可靠性指标的获得就是在功能函数面G(Y)上寻找一个点使该点与坐标原点的距离最短，由此可以得到可靠性指标计算的优化模型如下：

(4)

求解这一优化问题的方法很多，其中较为简便且高效的一种方法是梯度优化算法.其采用如下的显式迭代计算格式计算得到验算点:

(5)

式中: 表示第j次迭代计算的验算点；是的梯度向量；是沿负梯度方向的单位向量。经过几个循环的迭代，序列逐渐收敛于极限状态面上距离最近的点，即设计验算点，再根据公式得到结构的可靠性指标。本文即采用这种方法计算结构的可靠度。

2 结构可靠性可视化技术实现

2.1 图形用户界面有限元软件

现在数值模拟技术在上程中得到了广泛的应用，一批国际著名的有限元软件，如ANSYS,ABQUS等，已成为解决现代工程问题必不可少的上具。这些软件将有限元分析、计算机图形学等技术紧密结合，使用方便，计算精度高，并具有如下特点：

a.通用的数据接口。可与AutoCAD、Pro/ E等知名的CAD/ CA E软件共享数据。

b.友好的图形用户界面。用户通过这些界面可以方便地交互访问程序的各种功能、命令;建立或修改模型及计算结果等。

c.开放的二次开发功能。通过系统提供的语言编程可对有限元模型中相关的参量(如应力、应变等)实现定义参数、数学运算等操作。系统甚至还允许用户利用高级语言(如Fortran语言)编写子程序，与系统连接，以增加程序的灵活性。

由于目前知名的通用有限元软件大都具有如上特点，因此使用这些有限元软件对产品结构进行应力分析后，再结合随机有限元理论及有限元软件的二次开发功能，便可确定出模型上各单元的失效概率，并可视化显示。

可见，有限元软件为实现结构的可靠性可视化技术提供了有力的平台。

2.2结构可靠性可视化实现方法

如图1所示，结构可靠性可视化实现方法可分为如下几个步骤。

a 把CAD/ CAE系统下生成的几何模型传入有限元分析软件，并对其进行应力分析。

b根据应力计算结果，结合模型材料、尺寸数据及其概率分布，采用可靠度优化算法，利用ANSYS开放的二次开发功能编写求解可靠度的程序求出模型下各节点的可靠度及其概率分布。

C，二次开发ANSYS界面，使可靠度计算结果以云图的形式显示出来。

图1可靠性迭代程序框图

3结构可靠性可视化技术应用实例

采用上述的可靠性可视化技术，用VC开发了以ANSYS为平台的可靠性分析可视化分析模块。用户利用ANSYS对模型进行应力分析后，调用该模块便可以计算模型上的各节点的可靠度及其概率分布，并将计算结果以云图的形式显示出来。

图2(a)为用ANSYS对某汽车后桥进行静力分析的结果。图2(b)为利用本文开发的可视化模块计算的后桥失效概率分布云图。文中汽车后桥的材料为8mm厚的09SiVL钢板; 汽车的名义装载量m1＝4.0t，满载时后桥负荷m2＝6.0t，载荷作用于弹簧座处。

(a) 应力分布(b) 失效概率分布

图3某汽车后桥应力、失效概率分布

从图2不仅可以全面地获得该后桥的可靠度分布信息，而且还可以直观地了解结构“全场”的各项可靠性指标。根据这些计算结果，设计师可对该后桥的安

全性进行全面的评估及优化设计。

4 结论

介绍了图形用户界面有限元、结构可靠性理论及可视化实现方法。开发了基于ANSYS软件的可视化分析系统，对汽车后桥进行了可靠性可视化分析。本文的工作对工程中的结构可靠性可视化设计具有现实意义。

参考文献：

1．吴世伟．结构可靠度分析[M]，北京：人民交通出版社，1988

2．武清玺．结构可靠性分析及随机有限元法[M]，北京：机械工业出版社，2005

3．王国强. 实用程数值模拟技术及其在ANSYS上的实践[M].西安:西北工业大学出版社.1999.

有限元分析论文篇3

关键字：有限元；简支梁；受力

中图分类号：U445 文献标识码：A

正文：

在建筑工程技术领域，许多力学问题难以用解析方法求解。有限元方法作为数值解法的一种，常被应用于求解工程中的力学问题和场问题。在土建领域中，绝大多数应力应变问题都应用有限元法进行计算，得到解的精度也是满足工程需要的。但是，在不同的单元模型之间，刚度矩阵的建立和边界条件的设定是有差异的。

有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂问题，因而成为行之有效的工程分析手段。简支梁在土建领域有着非常广泛的应用，怎样对简支梁在实际工程中的力学性状进行准确分析，这一问题就显得十分关键。本文以简支梁为例，比较梁单元与实体单元的差异，采用有限元结构分析方法并利用弹性力学解析解对照分析二者解的误差提高计算精度。

1有限元分析的理论和步骤

有限元法的核心部分即为求解近似变分方程，就是将有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于复杂工程的辅助计算分析中。

有限元分析可总体分成分成三大阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，提取完整数据信息，了解模型计算分析结果。具体分析步骤如下：

一、问题及求解域定义：根据预定的分析目的近似确定求解域的物理性质和几何区域。

二、求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，称为有限元网络划分。单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大。求解域的离散化是有限元法的核心步骤。

三、确定状态变量及控制方法：将分析对象用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，将微分方程化为等价的泛函形式。

四、单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。对工程分析而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。

五、总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。

六、联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。

2计算模型的建立

选取的箱形钢简支梁（）跨径10m，受均部荷载q=11kN/m。截面尺寸见图1。梁单元模型划分20段，每段0.5m；实体单元模型为边长0.1mx0.1mx0.5m的长方体，其延梁轴向的一段。梁计算模型如图1。

图1 箱形钢简支梁计算单元模型

3数据比较分析

在设置好水压、位移、地应力场等初始条件后，就可以按照模拟工况进行有限元计算了。基于实际施工过程，模拟基坑开挖工况列于表4。轴向应力公式和利用挠曲线近似微分方程推导出跨中挠度公式分别如下式（2-1）、（2-2）：

（2-1）

（2-2）

梁跨中各数据对照见表1：

表1 跨中各数据对照

理论计算 实体单元 梁单元

M（kN·m） 137.5 137.5 137.5

（MPa） 顶部 -1.39516 -1.22692 -1.39736

底部 1.39956 1.25999 1.39736

（m） 0.000141 0.000152 0.000150

从各数据对照可以看出，采用实体单元无法得出弯矩值，而采用梁单元却可以得到完全正确的弯矩值。采用实体单元可以得出梁的顶部和底部的应力是有细微的差别的，这与弹性力学分析是一致的，但实体单元的解误差相对较大，达到了10%；采用梁单元只能求得绝对值相等、符号相反的应力，但误差较小，小于0.2%。

对于跨中挠度，实体单元与梁单元得出的解答十分接近，由于挠曲线方程是近似的微分方程，其解答也不能作为评价的标准。需要指出的是，采用表中列出的由实体单元得到的挠度是梁底部的竖向位移，同时得到的还有顶部竖向位移0.000154m,这是应为梁顶的荷载使梁在z轴方向被压缩，但这个量非常的小，仅有2微米。采用实体单元还能得到梁上各点在x方向和y方向的位移，但这些值都是微米级的，实际工程中完全可以忽略。

梁单元虽然建模简单，计算耗时少，解的精度也满足要求，但得到的应力云图显然是错的。而实体单元能正确的反应出应力的分布（图2）。在实体单元的应力分布云图中，可以看到边角及支座处明显的应力集中现象。

图2实体单元应力分布图

4 结论

基于应用有限元法对于简支梁力学问题的精度讨论，认识到：进行结构力学分析时，对于杆件而言采用梁单元建立有限元模型的计算方式简单迅速，结果精度能够满足工程要求；但对于单个构件的整个应力场进行分析时，需要采用实体单元，并且单元尺寸选择适当，才能够得到与实际情况接近的应力分布，分析计算结果对于实际工程的应用也就更具实际意义。

5 参考文献

[1]郭乙木.线性与非线性有限元及其应用[M].北京：机械工业出版社,2005

[2]陈惠发. 土木工程材料的本构方程[M]. 武汉：华中科技大学出版社,2004

有限元分析论文篇4

Abstract: Taking the geometric nonlinear problems of small strain as research object, the paper makes finite element analysis for the solving equations of small deformation geometrically nonlinear question by the principle of minimum potential energy or imaginary displacement principle basis. According to the fixed Laplace expression, total content Laplace expression, the small deformation geometry nonlinear finite element method to solve the basic amount of iterative formula displacement is given, and this iterative formula has a very important theory value and application value for small deformation geometrically nonlinear finite element analysis.

关键词： 有限元方法；几何非线性；小应变；拉氏表述

Key words: finite element method；geometry nonlinear；small strain；Laplace expression

中图分类号：O34 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）24-0044-02

0引言

有限元方法[1-3]在实际工程中得到了广泛的应用，针对小应变几何非线性问题有限元求解方面有较多的应用成果[5-8]，如大跨度桥梁几何非线性问题[5]、大跨度斜拉桥非线性静力分析[6]、平面梁杆结构几何非线性分析[7]及平面桁架的几何非线性有限元分析[8]等，同时针对基础理论的公式推导也有相应的成果，如微分刚度计算[9]、两节点曲线索单元精细分析的非线性有限元法[10]等。这些成果都有较好的工程应用前景，笔者采用理论推导方式，在有限元基本求解方程的基础上，结合预应力锚固体系的理论分析及实践研究[4]的课题项目，推导可直接用于课题研究的有限元求解迭代公式。

1问题提出

结构出现大位移时，就属于几何非线性问题，平衡方程应在变形后的位形上建立，而变形后的位形是比较复杂的，通常用变形前已知坐标来表示，只要位移不符合“小位移”或“小变形”的条件，在应变位移关系中就有非线性项，结构刚度阵就不再是常数，而是位移的函数，致使有限元方程组成为非线性的代数方程组。在大位移问题中，结构各部分应变可能是大的，也可能是小的，但在梁、板、壳等结构中，常常是大位移小应变。如图1所示，悬臂梁中微小段AB位移到A′B′，从局部看A′B′的应变是微小的，从整体看位移是很大的。

在工程结构中小应变大位移问题普遍存在，有单独研究必要，同时在小应变问题中，有关应力和应变的定义可沿用线性理论中人们熟悉的概念，比较容易理解，至于大应变问题，需重新定义应力和应变，一般用连续介质力学理论，连续介质力学描述位移有两种方法，以变形前初始坐标为自变量的拉格朗日坐标或物质坐标；以变形后瞬时坐标为自变量的欧拉坐标或空间坐标。

2修正拉氏表述

大位移的主要影响在于不能忽略位移引起的整体几何形状的变化，如图2所示，单元由AB位移到A′B′，其方向的变化（转动角θ）就是不能忽略的几何形状的变化，它是节点位移uA、vA、uB、vB的函数。

迭代过程收敛后，外荷载可增加到另一新水平，再开始新的迭代，找到新的平衡位置，这样就把迭代法与增量法结合起来完成最后的求解。

3全量拉氏表述

拉氏描述法始终以初始位置为参考系，一切位移、刚度、微分、积分等都相对初始位置为参考，在变形过程中，相对初始位置的位移是位移全量，如图3所示，一端固定铰接的杆单元，长为L截面为A，节点位移仅有u1、v1。

将[k0]转换到初始位置有

对照（3）式与（4）式，则有（3）式左端第三项就是[kL]，称为初始位移矩阵，它就是把相对动坐标系的线性刚度阵转换到初始位置时所产生的附加刚度阵，（3）式左端第二项称为初应力矩阵[kσ]，它反映轴向力对横向位移的影响。

式中[K0]为通常的线性刚度阵，它不是位移函数，[N1]、[N2]分别为位移的一次和二次函数，全量拉氏表述增量方式的平衡方程可用牛顿迭代法进行求解，后者用直接迭代法求解。

4结论

4.2 如果所研究的对象比较简单，也就是在变形过程中，相对初始位置的位移是位移全量，可以采用全量拉氏表述进行求解，全量拉氏表述增量方式的平衡方程可用牛顿迭代法进行求解，因此可以用直接迭代法求解。

参考文献：

[1]徐芝纶.弹性力学[M].第4版.北京:高等教育出版社，2006.

[2]龙驭球，岑松，龙志飞.新型有限元论[M].北京:清华大学出版社，2009.

[3]殷有泉.非线性有限元基础[M].北京:北京大学出版社，2007.

[4]鄞少强，胡可等.预应力锚固体系的理论分析及实践研究[J].价值工程，2011，（01）.

[5]刘星庚，伍小平等.大跨度桥梁中的几何非线性问题[J].湖南工程学院学报（自然科学版），2003，（04）.

[6]李兆香，郑振等.大跨度斜拉桥非线性静力分析[J].福州大学学报（自然科学版），2001，（03）.

[7]王恒华，沈祖炎，陆瑞明等.平面梁杆结构几何非线性分析的一种简便方法[J].计算力学学报，1997，（01）.

[8]邓继华，蔡松柏等.平面桁架的几何非线性有限元分析[J].长沙交通学院学报，2005，（04）.

[9]胡可.基于有限元方法的几何非线性微分刚度计算[J].扬州大学学报，2009，（12）.

有限元分析论文篇5

关键词：破碎带; 超前锚杆; 外插角; 相似材料模型

中图分类号：U455.7+1文献标识码： A 文章编号：

引言：破碎带工程围岩超前锚杆加固中，外插角起到非常重要的做用，本文将对此做阐述分析。

1、研究方法种类

1.1监测反馈分析法

自奥地利地质学家 L. V. Rebcewicz 等提出以充分发挥围岩自承能力为基本原理，以锚喷支护及复合柔性衬砌为主要特征的“新奥法”以来，改变了过去设计与施工的一些传统思路，它依据现场监控量测结果和信息反馈来指导施工和设计。因此，以现场监控信息为依据，通过反演计算围岩物理力学参数来评价隧道围岩稳定性的反演分析方法日趋完善。印度 B.Singh 等认为由于隧洞围岩裂隙传播受到周围岩体约束及初始地应力对岩体的预应力作用，其强度将会有显著的提高。并通过反分析得出了变化的强度参数及变形模量。李世辉提出了典型类比分析法隧道位移反分析技术，并编制了反分析程序(BMP90)。针对用隧道位移量测结果进行反分析中存在的结果可靠度与精度问题，日本的谷河正也等提出用三维反分析及双重反分析来提高结果的可靠度与精度。

1. 2 数值模拟分析法

近年来，数值分析作为解决复杂介质、复杂边界条件下各类工程问题的重要工具而加以推广，主要使用的方法为有限单元法(FEM)、边界单元法(BEM) 、离散单元法(DEM)、拉格朗日单元法以及块体理论等，或是上述几种方法的耦合分析。有限单元法基于最小总势能变分原理，能够方便地处理各种非线性问题，是一种较早、较成熟的岩体数值分析方法。其有限元模型一般有弹性、弹塑性、粘弹性、粘塑性、粘弹塑性等。为了克服有限元法在无限域问题应用中的限制，Bettess 于 1977 年提出无限单元这一单元形式，之后，印度的 P.Kumar结合无限单元与有限单元，运用有限元计算程序，对围岩稳定性问题进行了一系列的计算分析。在众多的数值分析方法中，由于有限单元法能较容易的处理分析域的复杂形状及边界条件，材料的物理非线性和几何非线性性状，具有很强的适应性，所以其应用发展非常快，目前己成为隧道数值分析的主要手段。目前在工程领域用得比较多的通用大型有限元软件有 ADINA、ANSYS、ABAQUS、同济曙光岩土系列软件等。

边界单元法是继有限单元法之后发展起来的又一数值计算方法，与有限单元法相比，它具有降低维数的特性及占计算机内存小、节省计算时间等优点。特别是由于边界单元法本身适用于无限域和半无限域的特点而在岩土工程中得到特有的青睐。边界单元法分为直接边界元和间接边界元，直接边界元法是以互等功原理为基础建立起来的，而间接边界元法是以叠加原理为基础建立基本方程。同济大学朱合华等对边界单元法在隧道等岩土工程中的应用进行了大量研究。台湾 K.-J. Shou采用模拟地下洞室的虚拟力法和求解不连续面问题的位移不连续对于一些重大工程，为了保证工程设计的可靠性及设计方案的经济合理性，应结合其他方法进行综合分析。

1. 3 力学分析方法

从 19 世纪人类对松散地层围岩稳定和围岩压力理论进行研究开始到现在，围岩压力理论主要经历了古典压力理论、散体压力理论及现在广泛应用的弹性力学理论、塑性力学理论。在实际工程应用中，隧道开挖后由于卸荷作用使围岩应力进行重分布，并出现应力集中。如果围岩应力处小于岩体弹性极限强度，这时围岩处于弹性状态，反之，围岩将部分进入塑性状态，但局部区域进入塑性状态并不意味着围岩将发生坍落或失稳。因而研究围岩的稳定性就不能不考虑围岩的塑性问题，芬纳(Fenne)-塔罗勃(J.Talobre)和卡斯特奈(H.Kaster)等给出了围岩的弹塑性应力图形。随着半解析元法以有限厚条法的形式提出，林银飞、郑颖人将有限厚条法和弹塑性分析结合在一起，提出了弹塑性有限厚条法，采用大单元内划分小网格的方法判断塑性区范围，在弹性区及塑性区内采用统一的解析函数级数，以修正刚度增量法为迭代方法，推导出了塑性系数矩阵及塑性刚度矩阵，并将其应用于地下工程三维弹塑性围岩稳定性分析中。对于深埋隧道，因其埋深大，围岩大都表现出强烈的流变特性，而软弱围岩，其本身就具有明显的流变特性。因此，流变理论逐渐被引用到围岩稳定性分析的研究中。朱素平等提出了以对数函数描述岩石蠕变的粘弹性模型进行围岩稳定性的力学分析。日本学者西原在岩石流变试验资料的基础上，建立了能反映岩石弹-粘弹-粘塑性特性的西原模型。在此基础上，同济大学孙钧通过对围岩-支护系统受力机理的充分阐述，得出了西原模型在隧道围岩-支护系统中的有限元解，并对层状节理围岩、含软弱断层、破碎带围岩分别提出了两个 Bingham 串联模型和四元件的粘弹塑性模型。1958 年前苏联学者 Kachanov 在研究蠕变断裂时首先提出了损伤的概念，后经法国学者 Lemaitre 与 Chaboche (1977)、美国学者 Krajcinova (1981)等人利用连续介质力学方法，根据不可逆热力学原理，建立了“损伤力学”这一学科后，国内外许多学者将其应用于节理岩体的力学分析中。如日本学者 Kawamoto及国内学者孙钧、李术才等。李术才采用由损伤力学方法得到的加锚节理裂隙岩体的本构关系及其损伤演化方程来评价此类岩体的稳定性和变形行为。

1. 4物理模型试验法以相似理论为基础的物理模型试验法是用与原型力学性质相似的材料根据几何相似常数缩制成模型，在模型上开挖各种工程，以观察与研究工程围岩内的变形与破坏等现象。早在 20 世纪 60 年代，就出现了地质力学模型试验，它本质上属于弹塑性结构模型破坏试验，主要研究模拟岩体的断层，破碎带、软弱夹层等不连续构造对结构的应力分布和变形状态的影响及岩体稳定和工程安全问题。物2并未发生失稳；有的（特别是浅埋）隧道位移尚未达到允许值却发生失稳和坍塌。隧规 JTG D70 ―2004 在条文说明中也指出：“初期支护的允许洞周相对收敛值应根据围岩地质条件分析确定”、“对所规定的收敛值在施工过程中可通过实测和资料积累做适当修正”。因此，结合具体工程实际，做好复杂地质条件下隧道周边位移的研究，对于判断隧道的结构稳定性非常必要。鉴于中兴隧道软弱破碎带的地质复杂性，本文拟结合中兴隧道软弱破碎带的地质特征，在考虑坑道形状、开挖方法和支护状况的基础上，以隧道围岩-支护结构这一复杂系统为着眼点，以隧道软弱破碎带施工中支护系统的极限位移为切入点，结合现场实测资料对中兴隧道软弱破碎带围岩-支护结构的稳定性进行分析，以期得出一些对软弱破碎隧道动态设计、施工有实用价值的结论。

2.围岩-支护结构稳定性的研究现状

围岩-支护结构的稳定性通常是指妨碍生产使用或安全的围岩破坏或过大变形的现象，如不应有的顶板塌落、边墙挤入、底板隆起、底板突水、围岩开裂、突发岩爆、支护折断等，都是围岩-支护结构不稳定的表现特征。由于围岩地质状况的复杂性与特殊性，国内外学者对围岩稳定性进行了大量的研究工作，目前已经形成了许多围岩-支护结构稳定性的分析方法。大致可分为五类：工程地质类比分析法、力学分析法、物理模型试验法、数值模拟分析与监测反馈分析法。

工程地质类比法

工程地质类比法亦即经验法，是将拟建工程的地质状况与已建工程进行类比，以确定其破坏面的各项指标。类比时必须全面地分析研究水文地质、工程地质条件及影响软弱结构面强度的各项因素，相似性愈高则愈能提出确切可靠的指标值。近年来，各国都在借助各类地下工程实践经验编制高速公路隧道围岩分类方案以使公路隧道设计和围岩分类标准化，针对不同的围岩类别，直接定量地给出围岩压力和支护衬砌的形式和厚度。国外著名的围岩分类方案有:普氏系数法(前苏联)、Deer 的 RQD 分类法、奥地利的 MATM 分类法、Barton 的 Q 系统法等以及国际岩石力学协会的基本地质描述法。我国科技工作者在国外岩石分类的基础上，编制了各行业专门的地下工程围岩分类方案，例如岩体构造类型分类法，围岩稳定性动态分级，坑道工程围岩分类，大型地下洞室围岩分类，铁路隧道岩体分级建议方案，BQ 分级法(GB50218-94)等。

虽然工程地质类比法仍然是目前进行隧道工程结构设计的主要方法，但是对于重大工程，这种方法具有很大的局限性:一方面，由于我国公路隧道建设起步较晚，缺乏可以借鉴的成功案例；另一方面，目前我国许多在建重大公路隧道都处在复杂多变的地质条件下，也使得这种方法的应用具有无法克服的弊端。因此，法两者相结合的混合模型，提出了三维混合边界单元法。除有限单元法和边界单元法外，离散单元法是用来计算具有不连续变形性质的节理岩层的一种新的数值计算方法，它不受节理岩体相对微小位移的限制，即使是不稳定的围岩，变形可以计算到围岩坍落。Charles Fairhurst 等对运用离散单元法和有限单元法分析节理岩层中洞室围岩稳定性进行了比较。隧道围岩岩体工程力学行为及其变形和破坏机理在主、客观两方面相当程度上都是随机的、模糊的、不确定的。因此，除了以上围岩稳定性分析方法外，随着神经网络、遗传算法等人工智能学科的兴起，国内外不少学者利用这一理论，提出了围岩稳定性分析的新方法。如北方交通大学的 Y.Yang 和 Q.Zhang利用 BP神经网络找出了影响围岩稳定性的关键因素，建立了一种等级分析方法。胡建华等利用改进的 MBP 神经网络进行围岩稳定性的识别，建立了围岩稳定性的神经网络识别模型。安红刚、冯夏庭将遗传进化算法与有限元相结合，对大型洞室围岩稳定性进行最优建模并获得全局最优解。冯夏庭、马平波发现技术中的数据挖掘环节，对大量的工程实例数据进行分析，找出蕴含于工程实例数据中的内在关系，进而利用这些关系可对类似条件下的围岩-支护系统的稳定性做出合理的判断。

参考文献：

［1］ 余 静，刘之洋，张玉奎，等. 超前围壁锚杆结构与作用机理 ［J］. 煤炭学报，1986，11 (2): 64 －69.

Yu Jing，Liu Zhiyang，Zhang Yukui，et al. Structure and mechanism of rock bolts installed around periphery of roadway forforepoling［J］. Journal of China Coal Society，1986，11 (2): 64 － 69.

［2］ 姜春旭，刘之洋. 超前围壁锚杆支护结构的模拟试验研究 ［A］. 岩土力学进展 ［C］. 北京: 中国展望出版社，1990.

［3］ 陶龙光，侯公羽. 超前锚杆预支护机理的模拟试验与成拱力学模型研究 ［J］. 中国矿业大学学报，1995，24 (3):35 － 42.

有限元分析论文篇6

关键词：ANSYS 直立塔设备 动力特性

1引言

随着石化生产装置向大型化发展，安装于室外的直立塔设备整体结构变得即高又柔，在风力作用下产生振动时的阻尼越来越小，使得结构对风载荷的反应加大。风载荷使塔设备产生顺着风向的振动和横向振动或诱导振动。横向振动对塔设备的破坏性比顺风振动大得多。

当风以一定的速度绕流过圆柱形的塔设备时，会在塔体的背后产生漩涡，当40≤Rε150时，漩涡在尾流中有规律地交错排列成两行，塔设备两侧的漩涡会交替产生和脱落，使塔设备在与风向垂直的方向产生诱导振动，其振动的频率与漩涡形成或脱落的频率一致。

当漩涡脱落的频率与塔设备的任一振型自振频率一致时，塔设备就会产生共振。

2塔设备自振频率的理论分析

根据直立塔设备的结构特点，可将其看作为一端固定，一端自由的悬臂梁结构。研究表明，阻尼对高大直立塔设备的自振频率及振型影响较小，因此，在分析计算时略去阻尼影响，将其简化为无阻尼自由振动。

对直径或壁厚不等的高大直立塔设备，在工程实际分析中，通常采用简便实用的近似方法计算一阶自振频率及振型。折算质量法是将多自由度体系的多个集中质量或无限自由度体系的分布质量，用一个集中质量来代替，使一个多自由度体系或无限自由度体系简化成一个当量单自由度体系。

第1阶振型的振型函数假设不同，相应自振周期计算结果差异会很大，振型函数越接近实际，自振周期计算结果越精确。

3 ANSYS分析直立塔设备的自振频率及振型

本文采用ANSYS 11.0进行建模、分析。为了与理论计算结果进行比较，在进行建模时，保持了与理论分析一致的假设。

3.1有限元分析模型构建

在进行塔设备的模态分析时，需要建立简化合理的有限元模型，本文构建了三维的有限元模型。采用有限元模型算直立塔设备的自振频率，基于以下的简化和假设：

（1）三维有限元模型采用了ANSYS 11.0软件的Structural Solid，Quad 4node 42和Structural Solid，Brick 8node 45两种实体单元对浮阀塔结构进行有限元划分。

（2）对直径或壁厚不等的直立塔设备，分析计算时将其分为数段，每段的等效密度用该段的操作质量除以该段塔体几何模型的体积，即：ρi= mi/Vi 。

（3）实体结构单元是一种面单元，具有4个节点。利用该平面单元对塔设备横截面进行有限元划分，通过沿平面法线方向分段拉伸，得到实体结构单元，具有8个节点。单元的材料特性可通过材料模型特性进行定义。

3.2模态分析

ANSYS 11.0软件的模态分析功能是对塔设备进行动态分析的基础。通过对结构进行模态分析，可以很容易得出结构的各阶自振频率，并对结构在各阶自振频率上进行动态模拟。

建模时塔设备的底座采用与理论计算相同的固定端假设，即假定浮阀塔设备的底部为完全约束状态，且位移值为0。

利用ANSYS 11.0软件模态分析的Block Lanczos法提取浮阀塔的前3阶自振频率并观看振型模拟动画。

4变截面浮阀塔算例

4.3结果比较

将浮阀塔前3阶振型自振频率的理论计算结果与ANSYS 11.0分析结果进行比较，见下表。

在工程上采用ANSYS 11.0软件的实体结构单元对塔设备进行模态分析，能够得到与理论计算结果基本一致的自振频率。

5结论

模态分析结果显示表明，相同条件下的理论计算值与三维有限元模型的模态分析值及其接近，对变截面塔，第一振型的相对误差为0.25%。有限元模态分析不但能高效计算塔设备的高阶振型频率，而且能动态显示塔设备在各阶振型时的振动曲线变化过程，极大地方便了塔设备的自振频率工程分析计算。

参考文献：

[1]张朝晖.ANSYS 11.0结构分析工程应用实例解析.机械工业出版社，2010.170.

有限元分析论文篇7

【关键词】可靠度分析；ANSYS；蒙特卡洛法

0 引言

有限元法作为一种实用的分析方法，随着高精度单元不断研究出来，有限元计算的精度越来越高，并且在工程实际的各个领域得到了充分的发展和应用。正是基于这个原因，许多学者研究了将有限元法运用于结构可靠性分析设计中的可能性，拓展了可靠性的理论和方法，形成一个新兴的学科交叉研究热点。

ANSYS是一个功能非常强大的有限元分析软件，它自身机提供的概率分析功能可以对模型进行结构可靠性分析，能够从有限元分析的角度计算这些非确定性的输入参数对产品性能的影响，也可以确定有限元分析的某些计算结果不满足用户指定的设计准则的概率。很好地将可靠性分析融入到了有限元计算中。

1 可靠性的基本理论

结构的可靠度是指结构在规定的时间内、规定的条件下（正常使用极限状态和承载能力极限状态）完成预定功能的概率。

如结构的基本变量由X1，X2，・・・，Xn组成，且结构功能Z为基本变量的函数，则结构的功能函数（极限状态函数）可表示为：

Z=g（X）=g（X1，X2，・・・，Xn）（1）

在概率极限状态设计理论中，极限状态方程为：

g（X1，X2，・・・，Xn）=0（2）

通常在结构设计中，基本变量X1，X2，・・・，Xn为随机变量，如果把基本变量归结为结构抗力R和载荷效应S两大类，则结构功能函数可简化为：

Z=R-S（3）

所以在概率极限状态的结构设计中，必须满足下列条件，即：

Z= g（R，S） =R-S≥0（4）

由可靠性理论知，求一个结构的可靠度就是求极限状态函数g（X）≥0的概率，所以利用ANSYS概率分析功能计算出g（X）≥0的概率，就得到了结构的可靠度。

2 ANSYS进行可靠性分析的原理

ANSYS的PDS（Probability Design System）模块是基于确定性有限元计算过程的随机分析模块， PDS模块中进行结构可靠性分析的方法主要是Monte Carlo法和响应面法。Monte Carlo方法是一种用数值模拟来解决与随机变量有关的实际工程问题的数学方法，对随机变量的数值模拟相当于是一种“试验”，通过结构的失效频率来估算结构的失效概率。本文主要对Monte Carlo法的应用做详细分析。

Monte Carlo法进行结构可靠性分析应解决两个基本问题：1）确定随机抽样数N。根据概率理论，采用频率来估算概率的基本前提是随机抽样数 N必须足够大，否则达不到精度要求。2）确定对任意分布随机变量Xi的随机抽样方法。对于Monte Carlo法，分析精度由模拟次数决定，模拟次数越多精度越高，但花费的计算时间也越多。

ANSYS的PDS模块提供了拉丁超立方抽样（LHS），其对抽样过程有“记忆”功能，强制了抽样过程中的抽样点必须离散分布于整个抽样空间，可避免直接抽样法数据点集中而导致的仿真循环重复问题，使得LHS抽样法更简单有效。

3 PDS可靠性分析实例

问题描述：两边固定的方板承受集中力载荷模型。其尺寸和材料属性均是不确定的输入参数。随机条件如下：方板边长100mm，板厚1mm，板材加工精度误差等于±0.21mm，服从均匀分布；材料弹性模量2.1e5MPa，服从高斯分布，标准方差是均值的0.05倍；密度均值8000kg/mm3，集中载荷只能是正值，且服从LOG1分布，标准方差为均值的10%。假定在使用中最大变形超过0.0548mm即认为失效。所以平板的失效准则为：

μmax≥μs=0.0548（5）

式中μmax为方板受力过程中出现的最大变形位移；μs为允许的最大位移。极限状态函数为：

g（X） =μs-μmax（6）

则板的使用可靠性即为g（X） ≥0的概率，X为上式中所有不确定量组成的向量。

计算过程中选择通用的Monte Carlo方法取抽样次数为40次，由ANSYS的PDS模块可求得方板未失效的概率结果如图1所示。

计算结果表明了方板在许用变形为0.0548mm，且置信度为95%时的使用可靠度约为98.25%。可靠度的大小与抽样次数有关，抽样次数越多得到的可靠度越精确。同时还可以利用ANSYS 中的可靠性计算方法得到结构的密度函数、变量的相关系数矩阵及累积分布函数等，其中变量UMAX的累积分布函数如图2所示。

4 结论

本文通过一个实例说明了利用ANSYS的PDS模块进行结构的可靠性分析是可行的，其方法简单，不需要单独的编制可靠性分析的程序，是有限元分析理论和可靠性理论的有机结合，为结构、特别是复杂结构的可靠性分析提供了新的方法。通过介绍随机特征的概念以及常用概率分布函数为结构工程的可靠度分析奠定了基础，并在实际应用中通过控制目标参数值以失效概率来反映出结构的可靠性同时对于控制结构的稳定可靠性具有普遍的指导意义。

【参考文献】

[1]刘李.基于有限元的结构可靠性分析与设计[D].武汉理工大学，2011.

[2]高谦，吴顺川，等.土木工程可靠度理论及其应用[M].北京：中国建材工业出版社，2007.

[3]王国强.实用工程数值模拟技术及其在ANSYS上的实践[M].西安：西北工业大学出版社，1999.

[4]吴应祥，刘东升，宋强辉.基于ANSYS概率设计系统的边坡稳定概率分[J].地下空间与工程学报，2008，4（ 6） ：1047-1051.

[5]许文达.基于蒙特卡洛：有限元法的边坡可靠度分析[J].福州大学学报：自然科学版，2004，32（1）：73-77.

[6]赵国藩.工程结构可靠性理论与应用[M].大连：大连理工大学出版社，1996：19-27.

有限元分析论文篇8

关键词：圆柱螺旋弹簧； 理论校核； 疲劳寿命； MSC Fatigue

中图分类号：TH135.1文献标志码：B

0引言

圆柱螺旋弹簧是机械系统常用的弹簧之一，其强度直接影响机械结构的稳定和安全，因此，弹簧疲劳强度及其寿命成为研究的重点.

李红艳[1]采用ANSYS的APDL建立起螺旋弹簧的几何模型，对考虑弹簧座的螺旋弹簧强度进行分析；刘庆教等[2]以某型液压缸用弹簧为研究对象，采用理论分析及有限元分析方法，对复杂工况下某型液压缸用弹簧进行疲劳强度分析，分析弹簧疲劳寿命与安全因数；张明建[3]介绍一种基于恒寿命疲劳结合S-N曲线的简单方法，分析弹簧的疲劳寿命，为提高弹簧质量给出一些参考；绳义千等[4]和商跃进等[5]对机车圆柱螺旋弹簧进行研究，建立比较符合实际的压缩弹簧的三维有限元计算模型，并对压缩螺旋弹簧进行刚度、静强度分析，同时将试验结果与有限元分析结果进行比较，表明弹簧满足设计要求；钟文彬[6]介绍一种利用通用有限元软件求解圆柱螺旋弹簧刚度的计算方法；余东满等[7]指出传统机械设计的缺陷，结合现代机械设计理论，并基于应力和强度干涉模型，介绍圆柱螺旋弹簧疲劳强度的可靠性设计.

在弹簧的设计过程中，弹簧钢材的自身特性是影响弹簧强度及其寿命的关键因素.[8]在实际使用过程中，弹簧的失效形式主要是疲劳破坏.本文以某型号圆柱螺旋弹簧为研究对象，运用MSC公司的系列软件，开展设计弹簧的理论校核和疲劳寿命的仿真分析，为弹簧的设计制造提供参考.

1弹簧设计工况

某机械系统中，圆柱弹簧运行工况分析见图1.O点为二位板活动板OABC的旋转中心，整个二位板活动板机构以O点为中心作旋转运动；A和O1点分别为弹簧的2个挂钩，B和C点为活动板下表面的2个端点，BC为二位板活动板的初始位置，D点为活动板机构的质心点.以O点为圆心，分别以OA，OB，OC和OD为半径画圆弧，A，B，C和D点分别在各自所对应的圆弧上运动.当二位板活动板运动到终止位置时，活动板BC保持水平.活动板OABC初始由一个四杆机构推着向上运动一段，过弹簧力矩与板重力矩平衡位置，然后活动板OABC由弹簧力矩拉到OA’B’C’位置，运动过程中弹簧从O1A运动到O1A’.

4结论

（1）极限工况下，圆柱螺旋弹簧的等效应力未超过材料的强度极限，可适当调整弹簧环绕比，以减缓应力集中.

（2）圆柱螺旋弹簧的危险部位位于第一圈内侧，弹簧的最大危险节点22 977疲劳寿命为108次，满足设计要求.

参考文献：

[1]李红艳. 基于ANSYS的圆柱螺旋弹簧的强度与疲劳寿命分析[J]. 机械设计与制造， 2010， 10（10）： 92-93.

[2]刘庆教， 王秀君， 张虹源. 液压缸用弹簧疲劳强度分析及改进[J]. 工程机械， 2012， 43（10）： 33-36.

[3]张明建. 基于恒寿命疲劳结合S-N曲线的弹簧疲劳寿命分析[J]. 机械研究与应用， 2012（6）： 107-113.

[4]绳义千， 肖绯雄， 张正远. 机车圆柱螺旋弹簧的有限元及试验分析[J]. 机车电传动， 2010， 9（5）： 45-46.

[5]商跃进， 曹茹， 戴蓉. 圆柱压缩螺旋弹簧三维静动态有限元分析与寿命预测[J]. 中国农机化， 2008（2）： 75-78.

[6]钟文彬. 圆柱螺旋弹簧刚度特性的有限元分析[J]. 机械， 2011， 38（12）： 21-23.

[7]余东满， 李晓静， 王朝龙， 等. 圆柱螺旋弹簧疲劳强度的可靠性设计[J]. 机械设计与制造， 2007， 8（8）： 19-20.