数学知识活化的策略

摘要：“核心素养”概念一经提出，便受到了教育界的广泛关注。落实“核心素养”，教育自身需要勇敢挣脱传统知识教学的禁锢，由“知识为本”的教学变为“素养为本”的教学，而教师“活化知识”的能力对整个教育成败起着关键的影响作用。在数学学科教学中要培育学生的核心素养，就必须重视知识的活化，即在教学中运用有效的活化策略，注重知识的系统化、质量化、主体化及生活化，实现知识的灵活运用，促进核心素养的落地生根。

关键词：核心素养、数学知识活化、教学智慧、学科育人

新一轮课程改革突出了学科核心素养的教学目标，而知识教学是实现核心素养落地的关键，倘若没有具体知识教学的保障，核心素养的形成便无从谈起。在日常教学逻辑中，知识是静态的文本，教材是静态知识的载体，考试的依据是文本，教师依据教材教学，教材演变为知识唯一的客观依据[1]。在此过程中，很容易出现教师依教材进行着独断、静止的和盘托出，学生只是被动、机械地全盘接纳。在这样的教学中，不论教师教抑或学生学都不具备创造性的智慧。基于现实教育的考量，如若教育依旧选择固步自封于过往的“死教学”，那知识将如何以教的方式进行传授，又如何被学的方式本身所接受？在教学质量目标选择上，“活化知识”是兼顾系统知识掌握与学科能力培养的均衡目标的选择，是适用于大部分日常教学情境的。因此，当下探讨数学学科知识活化的意义与策略既必要又重要。

一、数学知识活化的意义

吕叔湘先生曾说过：“成功的教师之所以成功，是因为他把课教活了。”可见，使知识保持“鲜活”状态是通往成功教学的关键，也是高品质数学课堂的要求。就数学学科而言，弄清数学知识活化的重要性是探讨知识活化问题的首要任务。

1.知识活化是建构数学学科能力的重要前提

对于数学课程的学习，如果仅仅是使学生记忆书本上一大堆无活力的概念、公式与定理，而不能准确地抓住数学概念的本质特征，灵活运用已有的知识去解决问题，那么这样的学习便是无意义的学习。知识与能力之间不能简单地划上等号，知识是指学生通过研习书本等多种媒介而存储起来的学问，能力则是“学生在内化知识的基础上形成的以外显的行为方式表现出的做学问的本领”[2]。要想知识生化为能力，关键在于如何使静止、僵化的知识达到“鲜活”的状态。“活化知识”是学生数学学科能力生成的前提和重要保障。在数学课堂教学中，教师应转变教学理念，由向学生“灌输”知识转变为引导学生“活化知识”，使得缄默的知识得以外显化，赋予书本上静止、呆板的知识以生命化，并最终内化为主体的能力。例如，初中阶段的学生虽然学习了无理数的概念，但是仍然有部分学生不能正确的判断出哪些数是有理数，哪些数是无理数；初一学生在学完一元二次方程后，在解决“关于（m+1）x|m|+m-3=0是一元一次方程，求m的值”问题时依旧一筹莫展，虽然部分学生已经牢记一元二次方程的概念，但由于对其概念缺乏深度理解而产生错解或无从下手。究其原因，主要是由于学生对所学的数学公式、定理等内容只是简单地停滞在知识表层的记忆阶段，对数学概念只知其然而不知其所以然，对数学公式生搬硬套，对其推理与证明、变形等内容缺乏深度理解。

2.知识活化是生成数学学科智慧的主要途径

真正的教育不应当仅止步于简单的知识传授，更要开启学生心智。“智”就是智慧，它不等同于知识，但却离不开知识。知识是构成智慧的基础，是人类在走进自然、接触社会和认识自我本身过程中所形成的智慧结晶。而智慧是“人类运用已有的知识去清晰明确地指导人生事物的能力”[3]，是一种领悟（觉悟）力，更加关注未知、规律与方法。诚然，教育以传授知识为基础目的，但教育不能仅停步于知识。正如教育家怀特海所感慨：“回望过去，先哲们在学校里倾心传授智慧；再看现在，现实的教育则本末倒置地仅仅传授一些知识。从传授智慧降低到传授知识，这标志着教育的失败。”[4]所以，数学知识只有转化为学科智慧才有意义，而这种智慧的生成要以活化书本上静止、呆板的知识为前提。在现实世界中，大部分人都经过一段时间的数学教育熏陶，也具备一定的数学素养，但是依旧不能灵活地运用大脑中已贮存的知识去解决现实中的问题。这是为什么呢？难道是因为课本知识与实际生活相差很大？当然不是，是因为个体大脑中所储存的知识只是一堆干涸的、没有活力的知识。而出现这样的情况，很大原因在于教师不具备创造性的教学艺术，过度注重对知识的讲解，却并没有将之与学生的日常生活相合，导致学生误认为数学学科的学习是非常的复杂与困难的，而且在生活中应用价值不高，无法形成正确的学习观，数学学习处于停滞不前的状态。有的同学在学习数学的时候，无法将数学知识与现实世界相联系，就算能运用所学的数学知识解决习题和试卷中的问题，也很难将实际生活中的问题转化为数学语言，从而有意识地分析与解决问题，将数学知识与生活相融合。显然，这样的知识并没有内化为智慧，没有任何实际的意义。

3.知识活化是实现学科育人价值的有力保障

在实践教学中，部分教师依旧秉持传统的教学理念，将课堂知识的讲解局限于教材的围城之内，始终扮演知识“量”的灌输者角色，使学生对知识的理解仅仅处于只知其然的程度，难以理解其本质，所以在面对各式各样复杂的现实数学问题时，不能灵活地调动大脑中贮存的知识和思维方法去正确处理问题，以至于学生的应用意识低下，教师没有将“数学源于生活，服务于生活”这一教育理念很好地贯彻与落实到中学数学教学中去。正如我国教育家陶行知先生所说：“静坐在那儿‘子曰诗云’一样的读。读而不做，做而不求做之所以然。”如果教育只是把学生“圈养”在学校里读死书、死读书，让学生啃食书本，机械背诵各种公式定理，这样的教育又有何价值！教师要有恰如其分的教学艺术，赋予书本上静止的公式、定理以生命的活力，让它们“跃”动起来，学生内心才会产生学习的冲动。当学生将这些数学知识、精神及思想稔熟于心时，这些就会成为他们智力活动中的一种潜在的习惯，从而在面对外界任何情况时都能驾轻就熟地应对，呈现出一种富有灵性、机敏和从容的生活姿态。数学是一门具有较强应用性、实践性的学科。教师不仅要让学生获取和掌握知识，更要让学生在学习数学的过程中感受到数学精神、思想及方法的熏陶，培养学生数学素养，从而实现数学学科的育人价值。

二、数学知识活化的策略

在数学学科教学中要培育学生的核心素养，就必须要重视知识的活化。在现实课堂教学中，教师该采取怎样的教学策略才能使知识达到“鲜活”的状态呢？笔者从以下四方面谈谈自己的做法。

1.注重数学知识的系统化

数学是一个统一体，每个部分都是相互联系的。课本上的表层知识，有时候是散乱的、不成体系的。这类知识对于学生而言，常常最容易形成无活力的概念。假如学生无法融合和贯通所学的数学知识，而只是以特定视角所建构的数学知识去透析我们现在的生活，那么学生所能看到的只是具体的生活的一个方面，而并不是数学学科本身这一个独一无二的统一体。为了激活书本上这类表层的知识，教师首先要做的就是将其系统化，即对知识的内在关系进行挖掘和呈现，并引导学生科学地建构知识结构网络图。就好比“知识树”的构建一样，让学生能够透过树木识别森林。也只有作为“知识树”的一部分，学生才能更好地对这些知识进行有效的吸收并内化到原有的知识体系中去。知识本不是孤立存在的，任何知识只有与其他相关知识处于广泛的联系中，它的价值和意义才能得到更好的体现。所以，教师在讲授完某一章节后，要格外注重单元内容的整合，引导学生把头脑中已经学习的知识和正在或将要接触的新的知识有机联系、融合起来，从而形成一个巨大的知识网络。例如教师可以在讲解完“实数”这一章节后引导学生按照定义和符号对“实数概念”建构知识网络图，加强知识系统化（如图1，图2）。通过引导学生对实数进行不同方式的分类进一步增强学生的分类观念，加强对实数概念的深入理解，并初步形成整体性的认识，这样的建构有利于学生数学知识的活化，促进核心素养的落地。

2.注重数学知识的质量化

教师注重数学知识的质量化，也就是注重知识的“质”与“量”，而“质”与“量”关系的处理一直是教学过程中需要思考和解决的问题。“质”是指个体关于知识的掌握程度，而“量”是学习个体应当掌握知识的多少。以往数学课堂教学采用注入式的教学方法，教学速度过快，知识数量过于庞大复杂，导致学生学得压抑、被动，所学的知识往往也是与学生的生命体验相脱节的，是不能被其所真正掌握的。知识传授的目的并不是一味地追求知识的数量，而在于人们在知识掌握的过程中所内化生成的个人能力和形成的正确知识观念。在数学教育中，引入的知识要“少”而“精”，它们能通过自由的探索形成各种可能的组合，学生内化知识并在运用这些知识解决当下实际问题过程中会加深对知识的理解。学生会发现自己所学的一些普遍的、基础的概念与生活有着千丝万缕的联系，从而激发他们的好奇心和想象力，在自由的探索和想象中迸溅出智慧的火花，体验到发现的快乐。例如，在解决“比较|loga（1-x）|与|loga（1+x）|的大小，其中0<x<1，a>0且a≠1”这一题时，许多同学会自然而然地想到以下两种方法：方法一，根据a的取值范围分两种情况讨论；方法二，将|loga（1-x）|和|loga（1+x）|两个式子作商，通过比较商和1的大小来确定|loga（1-x）|和|loga（1+x）|的大小关系。尽管这两种方法都能解决，但由于分类讨论太细而显得淡而无味，很难引发学生学习不等式的兴趣。倘若仔细观察这道题，把握问题的结构特征，可以发现采用“异号两个数相加，和的符号取决于绝对值较大加数的符号”的方法，即由题目可知：当0<x<1，有loga（1-x）+loga（1+x）=loga（1-x2）。同时，无论0<a<1还是a>1，总有loga（1-x）与loga（1+x）异号，loga（1-x）与loga（1-x2）同号，而异号两数之和取决于绝对值较大者，因而定有|loga（1+x）|>|loga（1+x）|成立。这一方法不但有效克服了绝对值不便于运算所带来的麻烦，还进一步拓展了学生解决问题的思维方式，并让学生运用之前已学过的数学知识来处理问题。采用这种方法进行数学教学，学生虽然习得的知识较少，但是获得了更多的感悟与能力。因此，教师在教学过程中应注重量少质精，通过“少”给学生以能力，使学生把握知识的本质，能够举一反三，主动地获得更多的知识。

3.注重数学知识的主体化

学习数学知识的主体是学生，而主体是灵活的、思维可以四处发散的生命个体。所谓数学知识主体化，即知识被学生———学习主体所掌握。知识只有被学生真正掌握，才能内化为能力和智慧，然而现实教学中知识不能被个体所掌握和内化的现象屡见不鲜。究其原因，主要在于知识与学习主体之间缺乏联系的纽带，知识常常被学习主体看作一种可“征服”化的对象亦或可供“欣赏”性的物件，无法做到主动亲近、热爱和尊重。因此，教师在教学过程中应当在知识和学习主体之间搭建一座沟通的桥梁，引导学生将所学与人类的各种感觉及精神活动联系在一起，形成一个新的客观实在。当知识与学习个体产生某种关联，静止的知识将被赋予生命的气息，这样的知识才能被学生所接纳和感受，并最终内化为学生自己的生命冲动和情感体验。当然，要想实现数学知识的主体化，前提是要激活主体，让学生产生主动求知的欲望，在不断地探索、检验与应用过程中，将所学的知识、方法及思想升华为个人的能力与智慧。以“有理数加减法”为例，倘若教师还是延续传统的方法进行讲授，那么学生依旧会对这部分知识产生越学越糊涂的感受，丧失学习激情。教师可以结合教学内容创设问题情境，并引导学生进行演示。例如，小婧以学校为起点出发，沿着马路方向先行6米，再行4米。问：小婧的现在在哪里？引导学生通过问题进行独立思考，从而激发学生的思维。学生经过思考分析，发现小婧的方向不确定，可能有四种走法：①向西行6米，再向西走4米；②向西行6米，再向东行4米；③向东行6米，再向西行4米；④向东行6米，再向东行4米。在此基础上，教师可以在黑板上以学校为原点，向东为正、向西为负方向作图演示，引导学生将这四种可能性用数学算式表示出来：①（-6）+（-4）=-10；②（-6）+4=-2；③6+（-4）=2；④6+4=10。在这样的学习过程中，将问题隐藏于学生所熟悉的情境之中，当个体与知识产生某种千丝万缕的联系时，便会引发学生迫不及待探索的兴趣，增强学生的主体参与意识，促使他们主动参与、自主解决问题。

4.注重数学知识的生活化

数学知识生活化，就是要将“知识”与“生活”相融合，促进数学生活化。因为数学来源于生活，而生活本身就是一汪清澈的活水。书本上凝固的、死的数学知识，如果不置入相应的生活情境，不去活化它，不去应用它解决实际问题，那么也只是一堆无活力的概念。而活化数学知识的一个重要途径就是与生活相结合，或者是在生活实践中活化知识。正如《普通高中数学课程标准（2022年版）》规定：“注重创设情境。真实情境创设可从社会生活、科学和学生已有的教学经验入手，围绕教学任务，选择贴近学生生活经验，符合学生年龄特点和认知加工特点的素材”[5]。因此，教师要拥有恰如其分地运用知识的艺术，尽量让书本上静止的、僵化的知识变得生动、活泼起来，赋予书本知识以即时的现实意义。当知识与学生所熟悉的生活背景和现实经验相关联，学生才会从内心深处渴望学习数学，并且在丰富多彩的世界中获得一些直观的体验，从而有可能形成从更高的维度俯瞰生活的能力。

例如高中课本中的一道不等式证明题：已知a、b、m∈R+且a<b，求证ab<a+mb+m。题目看似平淡无味，却包含了丰富的生活本源。教师如果将这道题与日常生活相联系，学生就很容易理解其本质。我们可假设b克糖水中有a克糖（不饱和），其浓度用ab表示。如果此时再加入m克糖，则糖水变甜了，此时糖水的浓度用a+mb+m表示。显然，糖水的浓度增大了，这就容易理解ab<a+mb+m的意义了。我们根据平常的生活常识可知，当糖完全溶解在水中，糖水会变得更甜，这也就是糖水的浓度增大了，即当0<a<b，m>0时，恒有ab<a+mb+m。以现实生活为背景，将数学知识嵌入其中，才能被学生所体验、感悟与思考，才能被活化，才能得到应用、检验与发展，也才有可能实现创新，知识的学习也就变成了一个生态式的“孕育”过程。阿拉伯诗人纪伯伦曾在自己诗篇《先知》中写道：“我们已经走得太远，以至于忘了为什么而出发。”由于受应试教育指挥棒的长久影响，学校、教师及学生饱受巨大升学压力，让教师在教育这道路上走着走着就忘记了原本的教育初衷和本真。作为教育工作者，在低头深耕劳作的同时，也要抬头仰望整个广阔的教育星空，要善于运用教学的艺术，将“为了知识而教育”转变为“通过知识获得教育”，打造有深度、温度、力度的数学课堂，使学生内化于心、外化于研，立德树人、知行合一。只有这样，数学核心素养才能应运而生。

参考文献

[1]卓进，陈理宣.教师“活化教学”能力的素质结构探讨：教育化知识的视角[J].华南师范大学学报：社会科学版，2021（03）：73-80+206.

[2]王华容，谭顶良.知识与能力孰轻孰重？[J].教育理论与实践，2008，28（18）：18.

[3]约翰·杜威.人的问题[M].傅统先，邱椿，译.上海：上海人民出版社，1965：4.

[4]怀特海.教育的目的[M].徐汝舟，译.北京：生活·读书·新知三联书店，2014：42.

[5]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2022年版）[S].北京：人民教育出版社，2022：87.

作者:韩婧 单位:江苏省苏州市彩香实验中学