浅谈高中数学中的换元法及转化方法

【前言】浅谈高中数学中的换元法及转化方法由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。常用换元法有以下几种：换元的方法有局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如，解不等式：4x+2x-2≥0，先变形为：设2x＝t（t>0...

一、方法综述

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题思想方法。在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式中一个部分或改造原来的式子，使它简化，利于问题解决。

换元的实质就是转化。换元可以使原先问题从高次变为低次,无理式变为有理式,超越式变为代数式,它的原则使通过换元使问题由繁变简,由难变易,在初学数学的方程、不等式、函数、数列、三角中有广泛的应用,在中学数学中也有重要的应用。

换元以后,新元的特殊性质，特殊特点，会使原先分散的条件联系起来,原先隐含的条件显露出来,使数学问题变得豁然开朗。[WTBX]

应用换元法的关键是在于通过观察、联想,选择适当的辅助未知数,构造出变换关系式。

常用换元法有以下几种：换元的方法有局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如，解不等式：4x+2x-2≥0，先变形为：设2x＝t（t>0），进而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

就三角换元，均值换元，和差换元等的特征，应用形式在数学中的应用简单介绍如下:三角换元，特征是多应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

均值换元，特征是多应用于如遇到x+y＝S形式时，设x＝S2+t，y＝S2-t或S=x2+y2形式时设x2=S2+t，y2=S2-t，t∈［-S2,S2］等等。

就以上的几种换元法稍举简单的例子就会理解：①三角代换,例如，x2+y2=1,则x=cosθ，y=sinθ，θ［0,2π）。②代数式整体代换。例如，y=2x6-x,设6-x=t,则x=6-t2，y=-2t2+t+12。③参数代换。在分析已知与未知,函数与自变量之间的关系，探求变量与变量,变量与常量之间的隐蔽联系时，往往通过设置参变量,它可以起到刻画变化状态，指示各因素之间内在联系，有利于求解。

但应用换元法特别要注意的是要保持变换前后新老变量取值上的一致，这是很重要的,否则就要导致解题的错误。

二、典型例题分析

例1 方程x4-3x2-4=0。

令:x2=tt2-3t-4=0（t-4）（t+1）=0t=4或t=-1x2=4x=±2(x2=-1舍去)。

例2 实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，求1Smax++1Smin的值。

解法一(三角换元法)：设[JB({]x=Scosαy=Ssinα[JB)]代入4x2-5xy+4y2=54S-5Ssinαcosα=5S=108-5sinα。已知-1≤sin2α≤3≤8-5sin2α≤131013≤108-5sinα≤1031Smax+1Smin=85。

解法二（均值换元法）：由S=x2+y2，设x2=S2+t，y2=S2-t，t∈［-S2,S2］xy=±S24-t2，代入4x2-5xy+4y2=54S±5[KF(S]S24-t2=5，移项平方整理得100t2+39S2-160S+100≤0，100t≥039S2-160S+100≤01013≤S≤1031Smax+1Smin=310+1310=1610=85。

解法三（和差换元法）：设x=a+b，y=a-b，代入4x2-5xy+4y2=53a2+13b2=5a2∈［0，53］S=（a+b）2+（a+b）2=2（a2+b2）=1013+2013a2∈［1013，103］1Smax+1Smin=310+1310=1610=85。

例3 设a＞0,求f（x）=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a2的最大值和最小值。

解:设sinx+cosx=t,则t∈［-2,2］，sinx·cosx=t2-12f（x）=g（t）=-12（t-2a）2+12（a＞0），t∈［-2，2］，当

t=-2时,取最小值-2a2-2[KF(S]2-12;当2a≥2时,t=2,取最大值-2a2-2[KF(S]2-12;当0＜2a≤2时，t=2a，取最大值12。

f（x）的最小值为-2a2-2[KF(S]2a-12，最大值为

12（0＜a＜22）或-2a2+2[KF(S]2a-12（a≥22）。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

（作者单位：江苏省滨海中学）