中学数学研究性学习中的开放题及其设计

数学研究性学习是数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。它能营造一个使学生探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。数学研究性学习更加关注学习过程。

一、数学研究性学习中的开放题

研究性学习的开展需要有合适的载体，即使是学习提出的问题也要加强整理归类。作为研究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥。实践证明，数学开放题用于研究性学习是十分合适的。

自70年代日本、美国在中小学教学中较为普遍地使用开放题以来，数学开放题已逐渐被教学教育界认为是最富有价值的一种数学问题，因为数学开放题能够激起学生的求知欲和小兴趣，而强烈的求知欲望、浓厚的学习兴趣是创新能力发展的内在动力。80年代介绍到我国后，在国内引起了广泛的关注，各类刊物发表了大量的介绍、探讨开放题的理论文章或进行教学实验方面的文章，并形成了一个教育界讨论研究的亮点。高考命题专家也敏锐觉察到开放题在考查学生创新能力方面的独特作用，这些年在全国和各地的高考试题中都经常出现具有开放题性的题目。

数学开放题的常见题型，按命题要素的发散倾向分为条件开放型、方法开放型、结论开放型、综合开放型；按解题目标的操作模式分为规律探索型、量化设计型、分类讨论型、教学建模型、问题探索型、情景研究型；按信息过程的训练价值分为信息转移型、知识巩固型、知识发散型；按问题答案的机械类型分为有限可列型、有限混沌型、无限离散型、无限连续型。

数学开放题体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程，数学开放题体现数学的形成过程，体现解答对象的实际状态，数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教，可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验数学的美感。因此数学开放题用于研究性学习应是十分有意义的。

二、数学开放题的编制方法

无论是改造陈题，还是自主创新题，编制数学开放题都要围绕使用开放题的目的进行，开放题应当随着使用目的和对象的变化而改变，应作为常规问题的补充，在研究型课程中适合学生研究性学习的开放题应具有起点低、入口宽、可拓展强的特点。用于研究性学习的数学开放题数学开放题尽量能有利于解题者充分利用自己已有的数学知识和能力解决问题。编制的开放题应体现某一完整的数学思想方法，具有鲜明的数学特色，帮助解题者理解什么是数学，为什么要学习数学，以及怎样学习数学。开放题的编制不仅是教师的任务，它的编制本身也可以成为学习研究性学习的一项内容。

（1）以一定的知识结构为依托，从知识网络的交汇点寻找编制问题的切入点。能力是以知识为基础的，但掌握知识并不一定具备能力，以一定的知识为背景，编制出开放题，面对实际问题情景，学生可以分析问题情景，根据自己的理解构造具体的数学问题，然后尝试求解形成的数学问题并完成解答。

（2）以某一数学定理或公式为依据，编制开放题。数学中的定理或公式是数学学习的重要依据，中学生的学习特别是研究性学习常常已有的定理并不需要学生掌握，或者学生暂时还不知道，因此我们可以适当的创设问题情境，让学生进行探究，通过自己的努力去发现一般规律，体验研究的乐趣。

（3）从封闭题出发引申出开放题。我们平时所用习题多是具有完备的条件和确定的答案，我们把它称之为封闭题，在原有封闭性问题的基础上，使学生的思维向纵深发展，扩展开去能够启发学生有独创性的理解就有可能形成开放题。在研究性学习中首先呈现给学生封闭题，解答完之后，进一步引导学生进行探索，如探究更一般的结论，探究更多的情形，或探究结论成立的其他条件等等。

（4）为体现或重现某一数学研究方法编制开放题。数学家的研究方法蕴涵深刻的数学思想，在数学研究性学习学习中让学生亲身体验数学家的某些研究，做小科学家，点燃埋藏在学生心灵深处的智慧火种。以此为着眼点编制开放题，起数学价值是不言而喻的。

（5）以实际问题为背景，体现数学的应用价值编制开放题。在实际问题中，条件往往不能完全确定，即条件的不确定性是自然形成的实际需要，其不确定性是合理的。如包装的外型、花圃的图案、工程的图纸，这些是需要设计的，而由于考虑的角度不同，设计者的知识背景、价值判断不同，得出的方案会不同。

以实际问题为背景，编制出设计类型的开放题，用于研究性学习，可以培养学生的创新精神和实践能力。第国际数学教育心理会议的公开课问题：“在一块矩形的地块，想辟出一部分作为花坛，要使花坛的面积为矩形面积的一半，请给出你的设计。”是一道公认的开放题，花圃的图案形状没有规定的要求，解题者可以进行丰富的想象，充分展示几何图形的作用，这种以实际问题为背景编制的开放题往往有有趣而富有吸引力。

将数学开放题作为数学研究性学习的一种载体，首先必须有合适的问题，如何编制能够用于研究性学习开放题，这是很值得研究的。