高围压混凝土柱轴压力作用下的应力比值分析

摘要：利用弹性力学理论，推导了高围压混凝土柱在轴向压力作用下，线弹性阶段的法向压应力与轴向压应力比值。利用假定余能密度方法，并结合混凝土结构设计规范中混凝土单向受压本构方程，建立了混凝土柱在非线弹性阶段的本构关系模型。在该模型基础上，得出了混凝土材料进入非线性阶段后上述应力比值的范围。理论推导结果表明高围压混凝土柱线弹性阶段的应力比值上限为0.25。非线性阶段的应力比值的范围是（0.25,0.32]，且混凝土强度等级对该应力比值范围的影响不大。该应力比值范围可定量反映侧向严格约束的混凝土受压柱的应力状态，为相关研究提供计算依据。

关键词：混凝土；弹塑性理论；非线弹性本构模型；假定余能密度方法；应力比值；

中图分类号：TV331文献标识码： A

Study on the stress ratio of axial compressed concrete column with lateral restraint

Huang Changxin

(Department of structural engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract：Based on the theory of elastic mechanics, this paper deduced the stress ratio of normal compressive stress and axial compressive stress of axial compressed concrete column with strictly lateral restraint in the linear elastic phase. Using the assumed complementary energy density method and the uniaxial compression constitutive equation suggested by the concrete design code, a nonlinear constitutive relationship is derived. On the basis of the constitutive model, the above stress ratio in the nonlinear stage is obtained. Theoretical results show that the stress ratio’s elastic limit is 0.25. In the nonlinear phase, the ratio range is (0.25,0.32]. Strength grade of concrete has little influence on the ratio range. This ratio range can quantitatively reflect the stress state of concrete column under compression with strictly lateral restraint. It can provide a reference for the relevant research as well.

Key words：concrete；the elastic-plastic theory；non-linear elastic constitutive model；method of assumed complementary energy density；stress ratio

1引言

混凝土材料是一种多相的复合材料，其性能受多方面因素影响。受技术条件的限制，对于混凝土材料性能的了解现在仍是比较有限的。混凝土的本构模型中，单轴受压或受拉时的应力－应变关系比较明确，而多轴应力状态下的本构模型则要复杂得多。目前虽然对多轴应力状态下的混凝土提出了许多本构模[1~4]，但很难确认一个通用的模型。

针对上述问题，本文将主要研究承受轴向压力的混凝土柱在高围压作用下的受力状态。通过提出一种多轴应力状态下的非线弹性本构关系模型，推导混凝土受压柱在侧向受到严格约束的情况下，材料内部轴向压应力与法向压应力的比值。该比值的范围将在一定程度上揭示材料性能，反映受压柱的应力状态，同时为相关研究提供参考。

2计算模型

轴向受压混凝土柱在受到周围严格侧向约束时的受力示意图如图1所示。因施加轴向压力而在混凝土中产生的轴向压应力用施加在混凝土圆柱体顶部的轴向压应力表示；周围材料对该混凝土圆柱体的约束作用利用圆柱体侧面和底面的位移约束来模拟。

从混凝土柱中沿轴压力方向取出任意一个圆柱体微段，则在柱坐标系下，该圆柱体微段用三个主应力表示的应力状态则如图2所示。

图1 混凝土柱受力示意图

图2 混凝土圆柱体微段的应力状态

由三向受压混凝土柱的相关研究结果[2]可知，混凝土材料在轴向压应力 保持不变的情况下，法向约束越强，相应的法向压应力也越大，即应力比值越大。由于本文所研究的是高围压混凝土柱中轴向应力与法向应力的比值，为确定其范围，当混凝土圆柱体微段所受的法向约束无穷大（即横向应变趋于零）时，其应力比值达到最大值。

在以下分析中，假定混凝土材料受压时的应力为正，受拉时应力为负。其应力和应变状态可表示为：；。

3 线弹性阶段应力比值计算

由各向同性弹性体的应力应变关系[3]

，得：

(1)

将已知条件 ，代入(1)式得：

(2)

混凝土在弹性阶段的泊松比可取0.2[3]，代入(2)式得：(3)

所以在图2所示的应力状态下，混凝土圆柱体微段在弹性阶段的应力比值为0.25。

4塑性阶段应力比值计算

由于本例中不涉及混凝土构件卸载的情况，因此可采用混凝土非线弹性阶段的应力-应变本构方程来模拟塑性应力-应变关系。

根据弹塑性力学的相关理论，可通过两种方法得到非线性弹性应力-应变方程[5,6]。第一种方法是基于更高阶应变和应力分量或其不变量，对弹性函数应变能量密度（W）或余能密度（）作假定的级数展开。第二种方法是将线弹性模型的本构关系进行推广或修正。本文选用选择第一种方法进行计算。

4.1 余能密度函数的选择

余能密度函数的形式可以以不变量、、的多项式展开得到[5]。其展开项的组合形式多种多样，甚至不可穷尽，因此没有必要要求展开项的所有系数均不为零。为试图得到一个能模拟混凝土本构关系，同时不变量的组合数目又尽可能少的余能密度函数，可先假定几个应力不变量的组合，再通过试算的方法，对所假定的余能密度函数进行比较筛选。因本算例模拟的是混凝土材料的本构关系，本文选用了《混凝土结构设计规范》[7]中采用的混凝土受压的应力-应变关系曲线作为了校核的依据。

本文首先假定了以下三种材料模型：

(4)

(5)

(6)

其中a、b、c均为正常数。

利用公式，经推导可得到以上三种模型对应的应力-应变关系式，依次为：

(7)

(8)

(9)

下面通过规范[7]中混凝土单轴受压时的本构关系曲线，检验上述三种材料模型的可靠性。单轴受压的应力状态为：且所有其他应力分量均为零。此时有： ；；；。

将上述应力状态式分别代入公式(7)、(8)、(9) ，取并用代替，可得混凝土在单轴受压状态下的应力-应变关系式，依次为

(10)

(11)

(12)

由于a、b、c均为常量，公式(10)、(11)实质上可表示为：

(13)

公式(13)实质上可表示为：

(14)

观察上述函数形式的变化规律，为提高所选定函数的可信度，还宜增加

(15)

(16)

两种函数形式作为余能密度函数。式(13)~(16)中大写字母A~H均为正常数。

以C30混凝土为例，规范[7]规定混凝土处于非线性弹性阶段的应力-应变关系曲线可用下式表示：

(17)

调整系数A、B、C、D的取值，使得式(13)~(16)分别尽可能接近公式(17)所表示的曲线。

以上五种形式函数与规范[7]中C30混凝土单轴受压的应力-应变函数的拟合曲线如图3所示。

图3式(13)~(16)与规范中本构关系的拟合曲线

由图3可看出型函数所对应的余能密度函数与规范所给定的本构关系曲线的拟合效果最佳，即式(6)假定的余能密度函数 在一定程度上可以更好地模拟混凝土材料的非线性弹性本构模型。因此，最终选定作为混凝土材料的非线性弹性本构模型。

4.2 非线弹性本构关系中参数的确定

通过4.1小节数据拟合可得：

(18)

为求得常数a、b的取值，还需得到a、b之间的函数关系。分析式

(12)

可知：混凝土的应变可以看作线性部分和非线性部分的组合。当参数c=0时，式(12)退化成 ，即线弹性材料的本构方程。因此参数a、b实质上决定了混凝土的线性性质。进一步可认为a、b的比例关系在线弹性阶段中和非线性弹性阶段保持不变。因此只需求得线弹性阶段a、b的比例关系，便可确定非线弹性阶段的参数取值。

在线弹性阶段，仍考虑混凝土单向受压的情况。将 ，， ，

代入式(9)中，得：(19)

根据式(12)、 (19)，并利用的代换关系，得到混凝土的泊松比可用下式表示：

(20)

按规范[6]弹性阶段混凝土的泊松比取0.2，代入式(20)得：

(21)

联立(18)、(21)可得C30混凝土本构模型中式(9)所示的参数取值为：

；；。

同理可得C40、C50、C60、C70、C80等级混凝土的本构方程。计算过程不予赘述，各参数的最终计算结果如下：

表1 C30~C80混凝土模型参数取值（单位）

C30 C40 C50 C60 C70 C80

C 5.7 5.7 4.7 4.5 4.3 4.3

D 3.6E-5 3.6E-5 1.4E-5 5.1E-6 2.2E-6 1.0E-6

a 5.7E-1 5.7E-1 4.7E-1 4.5E-1 4.3E-1 4.3E-1

b 6.8 6.8 5.6 5.4 5.2 5.2

c 1.1E-3 1.1E-3 4.3E-4 1.5E-4 6.7E-5 3.0E-5

各等级混凝土单轴受压时，规范[7]表示的应力应变曲线与模型曲线的拟合情况如图4所示。

图4 C30~C80混凝土规范曲线与模型曲线拟合情况

4.3 应力比值计算

根据4.1、4.2小节结论，图2所示混凝土微段的受力状态可表示为：

且满足。

将混凝土微段的应力状态代入式(9)，可得：

将各应力不变量代入上式，最终可整理得到：

(22)

令式(22)等于零，并联立式(21)，可得：

(23)

由于参数 均为正值，则利用高等数学知识推导后可得式(23)中应力比值在区间(0.25，1)上随的增加单调递增。

若按规范[7]取混凝土轴心抗压强度设计值作为的最大值；混凝土应力-应变曲线达到弹性极限时对应的应力作为的最小值（此处近似取为抗压强度设计值的0.3倍），并将相应的数值代入式 (23)中，则可得到C30~C80强度等级的混凝土的应力比值的范围。经计算整理，最终的结果汇总于表2。

表2C30~C80混凝土按假定余能函数法所得计算结果

混凝土等级 C30 C40 C50 C60 C70 C80

4.29 5.73 6.93 8.25 9.54 10.77

14.3 19.1 23.1 27.5 31.8 35.9

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

0.32 0.32 0.32 0.31 0.31 0.29

5结论

(1)对于严格限制横向变形的混凝土圆柱体微段，弹性阶段的应力比值为常值0.25。

(2)混凝土在非线性弹性阶段的余能密度函数可采用的形式。

其对应的非线弹性阶段的本构方程为。

在单轴受压状态下该本构关系用下式表示：。经验算该式与规范中建议的曲线具有良好的拟合效果。上式中系数c决定了混凝土的非线性性质，系数a、b与混凝土的非线性性能无直接关系，且满足a/b=12。

(3)高围压混凝土柱进入非线弹性阶段后，法向压应力与轴向压应力的比值与轴向应力正相关。C30~C80混凝土柱应力比值的范围是（0.25,0.32]。混凝土强度对应力比值影响不大。

参考文献：

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[2]过镇海.混凝土的强度和变形:试验基础和本构关系[M].北京：清华大学出版社，1997.

[3][美]陈惠发 A .F.萨里普. 弹性与塑性力学[M].北京：中国建筑工业出版社，2004

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[5][美]陈惠发 A.F.萨利普. 混凝土和土的本构方程[M].北京：中国建筑工业出版社，2004

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[7]GB50010―2010混凝土结构设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社，2011