新课程下的习题变式训练

课本例题、习题的编排是教材编写者匠心独具的表现。在数学教学中，教师除了对教材知识进行系统的、逻辑化的讲授之外，还要安排学生完成教材设置的一系列针对性极强的数学习题，进行数学的“模拟实践”（即解数学习题），通过这样的活动来达到对数学知识的完全掌握。课本习题变式是高考命题教师组织试题的重要来源，命题教师往往依据各自的教学经验或数学活动，从课本习题上“变式”取材。作为教师应认真研究教材、大纲，透彻理解编者的意图，而不是对新知识简单的重复、模拟，更不是让学生“依葫芦画瓢”。

教材中的例题与课外习题是两个层次的数学问题系列：例题具有典型性、简单性、及时性、针对性等特点；课外习题，在这个基础上还体现数学知识的综合性、渗透性、迁移性、指导性，其解题难度超载了课本例题的能力要求。在高中阶段，总会有一部分的学生不适应高中的数学教学方法内容，造成成绩落差大。我们针对每节内容都出一份小练习，其中选择题4小题，填空题2小题，再配一题解答题，难度要求分梯度，只有在最后一题的一个小题安排一个较难的问题，这样的小练习的容量，学生10分钟左右就可以完成，教师再根据实际情况，用5～10分钟的时间进行讲评，因为难度不高，入手容易，这样大部分的学生都能做。而在每个章节的教学结束后，教师对教材中有意安排的一些具有典型性、综

合性、难度相对较大的习题进行教学研讨是完全必要的。

抓住教材中代表性习题，启发学生进行探索，对提高学生思维的广阔性与灵活性，培养学生发散思维大有益处。以新教材人教版第二册一道习题的变式为例，探讨变式训练。

例1.过抛物线y2=2px的焦点的直线与抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2（如图1）。

这道题有两点值得注意：一是抛物线的焦点为定点，二是y1y2=-p2为定值。

由此可向以下几个方向展开联想，进行探索：

一、探索抛物线的几何性质

变式一：直线l与y2=2px相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）。若：y1y2=

-p2，那么该直线是否过抛物线的焦点？

解：两个交点在抛物线上，则y21=2px1，y22=2px2，

若x1=x2，则有y21=y22，y1=y2=p，x1=x2=。此时直线AB过焦点F。

若x1≠x2，则有y21=2px1，y22=2px2，两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=2p（x1-x2），

即KAB=（y1-y2）/（x1-x2）=2p/（y1+y2），

KAF=y1/（x1-）=2py1/（y21-p2）=2py1/（y22+y1y）=2p/（y1+y2），

KAB=KAF，因此A、F、B三点共线，直线AB过焦点F。

可知：AB过焦点的充分必要条件是y1y2=-p2。

变式二：（例1的推广）将过焦点改为过定点M（a，0），问y1y2是否为定值？反之，若y1y2=k为定值，那么该直线是否过一定点？

解：设直线AB的方程为x=ky+a，代入y2=2px中消去x，整理得：y2-2pky-2pa=0，由韦达定理知：y1y2=-2pa（定值）。反之，答案也是肯定的。

二、探索抛物线有关点的轨迹

变式三：如图2，F为y2=2px的焦点，过F的直线与抛物线相交于两点A、B，过顶点O作OP垂直AB于P，探求点P的轨迹方程。

解：设P（x，y），F（，0）。

由OPPF，知・=0。

=（x，y），=（x-，y）

x（x-）+y2=0，化简得（x-）2+y2=p2/16

此即为点P的轨迹方程。

事实上，由于直线AB过定点F，OPPF，因此点P在始终在OP为直径的圆上。

变式四：与变式三相类似，将过焦点改成直线AB始终过定点M（a，0），此时P的轨迹是以OM为直径的圆。

三、探索抛物线的弦中点的轨迹

变式五：F为y2=2px的焦点，过F的直线与y2=2px相交于A、B，P为AB的中的，探求P的轨迹方程。

解：设中点P（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），

则2x=（x1+x2），2y=（y1+y2），

则KAB=2p/（y1+y2）=p/y，

又KPF=y/（x-），

由KPF=KAB得y2=p（x-），

即为点P的轨迹方程。

变式六：A（x1，y1）、B（x2，y2）为y2=2px的两个动点，若y1y2=k（k为常数），P是AB中点，探求P的轨迹方程。

解：设中点P（x，y），则2x=（x1+x2），2y=（y1+y2），

由点A、B在抛物线上有y2=px+。此即为所求的轨迹方程。

从以上对课本习题的变式探索中，可以体会到课本习题中蕴含着丰富的数学价值。这一点为历年高考试卷分析所确证。认真探索课本习题的内涵与外蕴，提高学生发现问题、提出问题的能力，才是新课程习题练习的意义所在。

（作者单位 福建省南平市教师进修学院）