浅谈几何变换在解题中的应用

随着新课程标准的实施，其基本理念对近几年数学命题的改革产生了重大的影响。新课程标准下的初中数学教材，增添了图形变化的问题，使数学更贴近生活，几何变换这一重要的数学思想在近几年的中考、竞赛试题中经常出现，这使得数学试题的解题方法与技巧更加灵活多变。

几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，而不改变图形的形状和大小，在新的图形中分析各个图形之间的关系。平移、对称和旋转是几何变换中的三种基本变换。

一、平移变换

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。

当已知条件中出现有相互平行且相等的线段，或有构成平行的因素而又需要把有关线段或角相对集中时，就可考虑运用平移的方法。

例1 如图，在一条河的两岸分别有A、B两地，现要设计一条道路，并在河上架起垂直于河岸的一座桥，用来连结A、B两地，问桥应建在何处?请画出你的设计图。

分析 此题要求A、B之间的最短路线，设桥为CD，从A到B所走的路线是A―D―C―B，要使路线最短，只需AD+BC最短即可，此时AD、BC应在同一平行方向上，可通过平移的知识，图形变换的思想使问题得以解决。

解析 过A点作河岸的垂线，使AA'等于河岸的距离，连结A'B与河岸交于C点，过C作另一岸的垂线，垂足为D点，则A―D―C―B就是所求的路线。

例2 在ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，且BE=CF，求证：BC>FE

分析 条件中的BE、CF，结论中的FE、BC比较分散，可考虑用平移方法将它们相对集中，如图，将EF平移到BM，则BE平移到MF，只要证明BC>BM即可，由于CF=BE=MF，再考虑到MF与CF的对称关系，作∠MFC的平分线交BC于D，易得：DM=DC，由此，结论就不难证明了。

证明：过B点作EF的平行线与过F点作BE的平行线交于M点，再作∠MFC的平分线与BC交于D点，连结DM。

因为BM∥EF，BE∥MF，所以四边形BMFE为平行四边形，FE=BM，BE=MF，在MFD与CFD中，由轴对称性可得CD=MD．在BMD中，因为BD+MD>BM，即BD+CD>FE，所以BC>FE。

点评 平移变换常常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角、线段移到适当的位置，使分散的条件集中到一个图形上，促使问题的解决。

二、对称变换

一个图形沿一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，这种图形运动称为对称变换(翻折)，这条直线就是对称轴。

解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，这样便于把条件中相对分散的角或边集中到一起，以利于问题的解决。

例3 如图，在ABC中，ADBC于，∠B=2∠D，求证：AB+BD=CD

分析 要证明AB+BD=CD，可采取截长法或补短法，由ADBC，联想到把AD作为对称轴，作点B的对称点E，这样由对称性可得，AE=AB，ED=BD，只要再去证明CE=AE即可。

证明 在CD上截取DE=DB，连结AE．

因为ADBC，DE=DB，所以AE与AB关于直线AD对称，由轴对称性可得AB=AE，∠B=∠AEB，因为∠B=2∠C，所以∠AEB=2∠C，可得∠C=∠CAE，所以AE=CE，又因为CE+DE=CD，所以AB+BD=CD。

例4 如图，在RtABC中，D是BC的中点，E、F分别为AB、AC边上的点，求证：DEF的周长大于BC。

分析 DEF的周长DE+EF+FD不易从图形中直接与BC联系起来，于是想到若作D点关于AB的对称点D'，连结ED'，得ED'=ED，同样作D关于AC的对称点D''，又得FD''=FD，这样DE+FE+FD=ED'+EF+FD''，再连结AD'，只要证得D'、A、D''三点共线，且DD''=BC就行了。为此，连结AD，因为D是斜边BC的中点，可得BC=2AD，所以，只须证到D'A=AD''=AD，问题就解决了，这由轴对称的性质很容易证得。

证明：分别作D关于直线AB和AC对称的点D'、D''，连结ED'、FD''、AD、AD'、AD''，于是得DE=ED'，FD=FD''，AD'=AD=AD''，且∠D'AB=∠BAD，∠D''AC=∠CAD，所以∠D'AB+∠BAC+∠D''AC=∠BAC+∠BAC=2∠BAC=180°，因而D'、A、D''三点共线。

因为D是BC的中点，所以BC=2AD，D'D''=BC，又因为折线D'EFD''大于线段D'D''，所以DE+EF+FD=ED'+EF+FD''>D'D''=BC。

点评 在证明平面几何题时，常常遇到条件与结论中的某些元素之间的关系不易发现，条件中的某些元素之间关系比较分散，遇到这种情况，我们常常可以选用角的平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的高作为对称轴，进行对称变换，使分散的条件集中，将条件与结论间的关系显露出来。

三、旋转变换

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相同的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角，图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。

在旋转变换中，旋转中心是惟一的不变点，通过旋转变换能把某些分散的元素集中起来，这是解题中的又一种行之有效的方法。

例5 如图P是正方形ABCD内一点，PA=2，PB=1，PD=3，求∠APB的度数。

点评 在已知条件中已知量与所求量没有直接关系，而在图中由等边三角形给出，这时往往将图中的基本图形绕某点旋转一定角度后，将分散的条件集

中起来，把已知条件联系在一起，使问题得以解决。

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