行动导向法在第二重要极限教学中的应用

摘 要 通过第二重要极限的课堂教学设计，将行动导向法应用于独立院校高等数学的教学过程中，以行动导向驱动为主要方式，发挥教师为主导和学生为主体作用，提高学生学习兴趣及分析解决问题的能力，从而实现教学目标。

关键词 行动导向教学法 高等数学 第二重要极限 学习兴趣

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2016.01.060

Application of Action-oriented Method in the

Second Most Important Limit Teaching

DING Yong

Abstract Through classroom teaching design of the second most important limit， action-oriented method will be applied to independent institutions "Higher Mathematics" in the teaching process， action-oriented drive as the main way to play teacher-led and student-centered， and improve students' interest in learning and analytical problem-solving skills in order to achieve teaching objectives.

Key words action-oriented teaching method; advanced mathematics; the second most important limit; learning interest

1 行动导向教学法背景与必要性

行动导向教学法起源于上世纪八十年代德国的职业教育，本世纪被引进中国，并主要在国内高职院校中逐步推行并广泛应用。行动导向教学是以“行动导向驱动”为主要形式，在教学过程中充分发挥学生的主体和教师的主导作用，重点强调以学生为中心，采用以目标为导向的行为活动模式，如问题导向法、项目导向法、角色扮演法、过程教学法、模拟训练法、大脑风暴法、思维导图法和卡片展示法等，注重对学生分析问题、解决问题能力的培养，理论与实践相结合，从完成某一方面任务着手，并引导学生完成任务，从而实现教学目标，激发学生学习兴趣和创造力。

高等数学是一门逻辑性强且比较抽象的学科，在国内的数学教学中，普遍存在着一些问题：如照本宣科式的教学，或传统的传授法，学生被动接收知识较多，而主动讨论思考的情况较少，抑制了学生学习的主动性，导致学生学习动力不足，到课率不高，课堂教学枯燥，教室氛围缺乏生机与活力，教学效果不好，同时也忽视了学生主动探究能力的培养。行动导向教学法简单地说，就是给学生先定位一个学习目标，然后让学生自己行动起来，通过完成这个目标项目自主地去思考与学习，从而在实践中愉悦地掌握所学知识。把行为导向教学法引入到独立院校的数学教学中，不仅能开阔学生的视野、提高学生的学习兴趣，增强学习信心，而且也可提高了学生分析和解决实际问题的实践能力，激发学生的创造力。因此，教师可以尝试在实际课堂教学中通过设计行为导向的目标方法引导学生更好地学习高等数学。

2 行动导向法教学设计

下面笔者根据自己的实际教学，以第二重要极限这个内容来谈谈行动导向教学法在独立院校高等数学教学中的应用。

2.1 第二重要极限的引入与证明

师：在第一章第六节大家学习了数列极限与单调有界定理，请大家思考如何用此定理证明数列 = 当时极限存在。

生：证明该数列单调并且有界。

师：那么 = 是单调递增还是递减呢？如果单调递增，那么它的上界找哪一个数值？大家动手观察一下随逐渐增大，对应项的值得变化。请一班同学在下面通过列表法观察，二班同学考虑用数学软件作图观察数列变化。

通过问题导向法引导学生分析，思考，经项目教学法分组让学生动手操作解决问题。在学生思考讨论的过程中，教师下讲台，引导学生解决此任务。

师：请大家展示一下你们的结果？发现什么问题？

大部分同学基本完成了此项任务，此时可以与教师操作结果进行比较。通过列表法结果见表1。

结合Matlab数学软件绘制数列图像，给出当从1开始，以步长1逐渐增大到100时，数列 = 图像演示结果见图1。在软件命令窗口键入：

>> x=1：1：100;y=（1+1./x）.^x ;plot（x，y，'ro'）

师：由表1及图1可见，当增大时，对应项的值也在增大，并且不超过3。从直观演示结果看，数列 = 是单调递增、有界数列，根据单调有界定理知该数列极限存在。但这种方法不严密，下面请大家证明之，提示单调性用定义法，用归纳法证明有界性时可利用二项式定理。

证明：设 = ，根据二项式展开式，

=

= 1+ ・ + ・ + … + ・

= 1 + 1 + （1） + … + （1） （1）…（1）

= 3

同样也可类似得到：

= 1 + 1 + （1） + … + （1）（1） … （1） + （1）（1）…（1）

可见：>故数列{}单调递增的且有界，根据数列单调有界定理，知数列 = 极限存在。记作 = ，其中 = 2.71828…。

师：大家知道数列是特殊的整函数，其实数列 = 的极限还可以推广到更一般的情形： = 。我们同样可以通过Matlab软件来演示一下函数随自变量变化而变化的过程，请大家自己先动手操作绘制 = 在区间[-18， -0.01]和[0.01， 18]的图形，观察变化趋势，写出具体实现命令。

走下讲台指导学生具体操作，下面给出从0.01开始，以0.01为步长增大而趋近于100时， = 的图象的动画演示及在区间[-18， -0.01]和[0.01， 18]函数 = 的静态图形。在Matlab软件命令窗口键入：

t=0.01：0.01：100; comet（t，（1+1./t）.^t） % 运行后生成动态图

fplot（'（1+1./x）.^x '，[0.01 18 -3 6 ]）;gtext（' （1+1./x）.^x '）;hold on;

fplot（'（1+1./x）.^x '，[ -18 0.01 -3 6 ]）;hold off;hold on

fplot（'exp（1） '，[ -18 18 -3 6 ]，' r：'）;gtext（' y=e'）;hold off;

grid;xlabel（'自变量x'）;ylabel（'因变量y'）;title（'函数y=（1+1./x）.^x的曲线'）

legend（'函数y = （1+1./x）.^x '） % 静态图

运行结果见图2。

师：通过动态及静态演示猜想结果，由图2可见，当增大时，对应项的值也在增大，当时 = ，下面由 = 及函数迫敛性给出 = 的证明过程。

证明：当≥1时，有[]≤≤[] + 1，≤≤

其中，

= ・，

= ・，

根据函数迫敛性知， = 。再令 = 则

=

=

=

= ，

综上，故 = 。

根据复合函数极限运算法则，通过变量代换法，由 = ，令 = ，可得另外一种形式： = ，而且更为一般情形为：

=

及 = 。

2.2 第二重要极限典型例题

通过例题，举一反三，灵活运用第二重要极限求类型的极限。先让学生自己做，教师讲解例1～例3，然后例4让个别同学上台演板，通过角色扮演法让学生讲解解题思路，这样便于了解学生掌握情况及易错地方，做到查漏补缺。

（1）解：

原式 = = =

（2）解：

原式 = = = =

（3）解：

原式 = =

（4）解：

原式 = =

= =

2.3 第二重要极限在银行存款连续复利中的应用

问题提出：目前银行活期存款年利率为，如果你有元压岁钱，打算存活期，一年后，你可以得到多少钱？如果想通过复利获得更多利息，你可以先将存满半年的钱取出，然后再连本息再存半年，此时你又可以获得多少现金呢？

学生很感兴趣，很易算出若直接存一年，获得（1 + ）元，若采取第二种方案，每半年结算一次，获得（1 + ）2 = （1 + + ）>（1 + ）。

师：发现利用复利每半年结算一次比一年结算一次多，那么请大家讨论如果每季度，每月，每天结算一次，结果会如何？如若结算越频繁即存期越短获利越多的话，假如银行允许复利可以按小时，甚至可按分钟结算，目前活期存款利率为0.3%，你有本金10000元，若一年内不断地取款再连本带息存款会发财吗？

提示学生利用今天所学第二重要极限来将此实际问题数学化。按复利原理，假如一年可以结算次，则每期利率为，第一次结算本息为（1 + ），第二次为（1 + ）2，依次类推可得全年本息应该为（1 + ），若，每时每刻计算利息，即一年内结算无数次，则通过连续复利全年本息将变为（1 +）。利用今天所学第二重要极限较容易得出

（1 +） = =

将 = 10000， = 0.3%代入，即使一年结算无数次本息也存在极限10000，比一年结算一次只多出1000010000（1 + 0.3%）≈ 0.0450元，可见通过这种方式是发不了财的。

银行复利的计算，是一个实际生活中常见问题，与实际相结合利用项目导向法教学，让学生亲身体会到学习高等数学还是有用的，而且也可激发学生的学习兴趣，变被动学习为主动学习，既可活跃课堂教学气氛，又可巩固所学知识，故可将复利问题提出作为本节应用。

3 行动导向法教学设计小结

通过第二重要极限，详细讲解了行动导向教学法在高等数学教学设计中的应用，在具体教学过程中，分别用到问题导向法、角色扮演法、项目导向法、图像演示法等。根据学生的表现适时引导和帮助学生完成任务，提高学生学习兴趣与参与度，激发学习动力;给予学生思索的机会，培养学生独立思考能力;将课本的知识应用到生活中，加强学生实践能力。总之，利用行动导向法能收到更好的教学效果。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学及其应用（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] 赵树.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.

[3] 任玉杰，张世泽.高等数学及其Matlab实现[M].广州：中山大学出版社，2013.