动态输出反馈控制器分频段设计

摘要:该文考虑一个线性系统满足多频段不同设计指标的控制问题,改进已有的GKYP引理,提出分频段控制思想,将控制综合指标FDI(频率不等式)表示形式转化为LMI线性矩阵不等式形式,设计有限频段的动态输出反馈控制器。通过对柴油发动机转速控制器的仿真验证了这一思路的可行性。

关键词:动态输出反馈;有限频段;GKYP引理;混合灵敏度问题

中图分类号:TP273文献标识码:A文章编号:1009-3044(2010)19-5373-04

Piecewise Frequency Design Method of Dynamic Output Feedback System

YE Li-na, FU Rong

(Department of Automation, Xiamen University, Xiamen 361005, China)

Abstract: In this paper, the control system is considered in three different frequency domains. According to the method used in papers [4], the new method, dynamic output feedback synthesis based on piecewise frequency design method is proposed. In particular, the controller is designed under the sensitivity specifications for three frequency ranges (low, middle, high frequency) without weighting functions, such that the resulting closed-loop systems are asymptotically stable. Finally, design examples for a diesel generator set speed control system are given to prove the feasibility of the proposed method.

Key words: dynamic output feedback; finite frequency range; GKYP lemma; mixed sensitivity problem

在实际动态系统综合问题中,设计指标常常以频率域不等式(FDIs)的形式给出。长期以来,频率法成为控制工程中广泛应用的设计方法之一。然而频率法在数值求解优化问题方面存在缺陷,使得它不能直接用于精密的系统的分析和设计。60年代Kalman,Yakubovich先后根据正实定理等相关定理证明了Popov 的频率条件是等价于一种Lyapunov函数的简单形式,这就是Kalman- Yakubovich- Popov(KYP)引理[1]的雏形。后来,Willems 和 Yakubovich 证明了KYP引理和线性二次最优控制之间的紧密联系。近几年来KYP引理被广泛的应用,它认为是沟通频率域和状态空间的一座桥梁,可以将以FDIs形式描述的设计指标转换成线性矩阵不等式(LMIs)进行求解,从而为我们的设计带来极大的便利。在实际工程设计中不同频段有不同的性能要求,频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能,中频段表征了系统的过渡性能,高频段表征了系统抗干扰性能,这使得不同频段设计指标的侧重点有所不同。然而KYP引理针对的是全频段,由FDIs体现出来的设计指标也只能是全频段的,这使得设计出来的控制器具有较大的保守性。

加权函数的方法被提出来以调整不同频段设计要求的差异。它基本的设计思想是:设计一个加权函数,使用基于全频段的加权传递函数的FDI去逼近基于有限频段的原系统传递函数的FDI。加权函数方法在实际设计中被证明是有效的,然而它也有着许多的弊端。由于大部分状态空间理论中,产生的控制器和控制对象是同维的,而随着加权函数复杂程度的提高,控制器的维数也将急剧上升,这为设计的应用带来极大困难。另外,选择合适的加权函数本身是一个耗时且复杂的过程,尤其是需要在加权函数本身的复杂度和对系统设计指标描述的精确性之间平衡时。

Iwasaki等人将KYP引理推广到有限频段,提出了广义KYP引理,即GKYP引理[2-3]。它是沟通频率域和状态空间的一座桥梁,同时解决了工程实际中不同频段设计指标不同的问题,又同时避免引入加权函数增加系统复杂度。正因为如此多的优点,GKYP引理已经在许多实际工程问题上得到应用,如数字滤波器设计、灵敏度成型、开环回路成型、PID控制、静态反馈、动态反馈以及结构\控制设计整合等。

本文考虑一个线性系统满足多频段不同设计指标的控制问题,改进已有的GKYP引理,提出分频段控制思想,将控制综合指标FDI(频率不等式)表示形式转化为LMI线性矩阵不等式形式,设计有限频段的动态输出反馈控制器。同时将该设计方法推广到多目标控制问题。通过对柴油发动机转速控制器的仿真验证了这一思路的可行性。

本文所使用符号的说明:对于矩阵M,MT和M*分别表示它的转置和复共轭转置.对于方阵M,定义He(M):=M+M*.符号Hn表示n×nHermitian矩阵的集合.对于矩阵Φ和P, Φ?茚P表示它们的Kronecker乘积.对于矩阵G和∏,函数定义为:。

1 问题描述(Problem formulation)

考虑线性时不变对象G(S)

(1)

动态输出反馈控制器K(s) (2)

其中。

则从w到z的闭环传递函数Twz(s)的状态空间实现为

(3)

其中状态变量,维数n:=np+nc。

本章目标是根据不同频段的指标要求,设计多频段的动态输出反馈综合控制器K(s),使得对于任意的s∈?撰(Φ,ψ),闭环系统Twz(s)满足如下设计要求:

1) 闭环系统H(s)渐近稳定;

2) 对于闭环系统,满足低频段小的灵敏度和高频段小的补灵敏度,使得

(4)

其中: (5)

文[4]给出了式(5)描述的各种频段:

即连续情形,

其中。

引理1 (GKYP引理)[4]对于系统(3),给定矩阵Φ、ψ∈H2,λ∈?撰(Φ,ψ),以下条件等价:

1)?坌s∈?撰(Φ,ψ)

(6)

2) 存在矩阵P=P*和Q=Q*>0使得

(7)

注意1:针对闭环系统(3),引理1中A,B,C,D被Acl,Bcl,Ccl,Dcl替代。由于的直积项这个结论条件是非凸的,以下引理将采取投影变换等定理重新参数化使得这个问题变为为凸。

定义1定义J∈R(2n+n2)×2n,H∈C(2n+n2)×(nw+n2),L∈C(2n+n2)×n如下:

。

引理2[4]对于系统(3),给定矩阵Φ、ψ∈H2, R∈Cn×(2n+n2),其中N是R的零空间,以下条件等价:

1) 条件(7)成立并且 (8)

2) 存在矩阵W∈Cn×n使得成立.(9)

注记1 通过使用投影引理[5] ,引理2可由引理1推出,注意到L是的零空间.

条件1 存在R∈Cn×(2n+n2),其中N是R的零空间,满足:

(10)

RF*=F*R (11)

其中,

注意: 根据条件1对(10)进行F的合同变换可以得到:

其中 (12)

(13)

L和W乘积引起问题的非凸性可以采用de Oliveira[33]2002年提出的方法通过变量替换,将问题转化为可解的LMI问题。

W,U和V可逆,且X,Y,U,V∈Cnp×np,则可取:

不失一般性,假设Z-YX非奇异,令U和V为满足VU=Z-YX的任意矩阵,控制器参数(Ac,Bc,Cc,Dc)可通过求解下式得到:

(14)

2 带稳定性约束的有限频段动态输出反馈控制

由于引理3并未保证设计后闭环系统稳定,下面考虑在不破坏问题凸性的前提下,增加稳定性约束,使得设计后的闭环系统渐近稳定且满足小增益指标.

定理1对于系统(3),给定矩阵Φ、ψ∈H2, λ∈?撰( Φ,ψ),选择R∈Cn×(2n+nz)满足条件1,当存在矩阵

和P,Q∈Hn满足Q>0使得下面两式成立:

1)。(15)

2)。 (16)

则存在一个结构如(1)所示,阶数nc=np的动态输出反馈控制器K(λ)使得设计后的闭环系统渐近稳

定且满足设计指标(4)和(5).

不失一般性,假设I-YX非奇异,令U和V为满足VU=I-YX的任意矩阵,控制器参数(Ac,Bc,Cc,Dc)可通过求解(14)式得到.

证明:当区域d是左半平面时,例如a=c=0,b=1,稳定性限制条件可根据区域极点配置λ是A的特征值λ+λ*

,(17)

又λ+λ*

(18)

对(18)采用投影定理得:(19)

其中是任意满足不等式r*Φr

故(1)成立则闭环系统(3)是渐近稳定的(即满足设计指标(4)),又由引理2易知,(16)成立则设计指标(5)被满足。

故定理成立。

3 分频段控制器设计(PiecewiseFrequency Design Method)

针对(4)设计指标我们可以根据区域极点配置增加一个闭环稳定限制条件,以下的定理将会考虑有关特征值的稳定性条件。我们首先利用schur补引理和小增益定理将(16) 按照各频段的性能指标要求展开得到推论1。

推论 1 给定,其中,若以下不等式成立,则闭环系统满足(5)的设计指标要求。

1) 低频段

存在使得

(20)

2) 中频段

存在使得

(21)

3) 高频段

存在使得

(22)

4 仿真与分析

本节以柴油汽车组的调速系统为例,来说明本章提出的动态输出反馈控制器的设计思想。

该调速系统的状态空间描述如下

利用定理1和推论1,对给定的系统设计而稳定化输出反馈控制器K(s)以满足如下设计指标:

我们给定参数值:ω0=0.5, ω1=3, ω2=10, ω3=20,γ0=0.8,γ1=1

对于以上的限制条件最小化γ2,可以求得稳定化全阶控制器。

由此可得最优值γ2=2.8,控制器

闭环系统的阶跃响应如图1所示,显示了系统良好的稳定性。图2描述了设计指标的幅频特性,其中实线代表OPSO,点划线代表OKSO,虚线代表OPKSO。当OωO≤ω0=0.5时,满足OPSO≤γ0当OωO≥ω1时,满足OKSO≤γ1,而当OωO≥ω2时,满足OPKSO≤γ2。

5 结论

有限频段指标的提出,相对于传统全频段指标,减少设计上的保守性。特别是不同频段有不同的设计指标。本章讨论多频段综合问题,提出分频设计方法并且通过增加稳定性约束,对已有的有限频段动态输出反馈设计方法进行了改进。并通过合理选择参数,可以使得其保守性小于全频段最优H∞控制的保守性。

参考文献:

[1] RANTZER A.On the Kalman-Yakubovich-Popov lemma[J].System and Control Letters,1996,28(1):7-10.

[2] IWASAKI T,HARA S.Generalized KYP lemma:unified frequency domain inequalities with design applications[J].IEEE Trans on Automatic Control,2005,50(1):41-59.

[3] IWASAKI T,HARA S.Feedback control synthesis of multiple frequency domain specifications via Generalized KYP lemma [J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2007,17:415-434.

[4] IWASAKI T,HARA S.Dynamic output feedback synthesis with general frequency domain specifications[C].Proceedings of the 16th IFAC World Congress.Prague,Czechoslovakia:Elsevier,2005.

[5] IWASAKI T,SKELTON R E.All controllers for the general H∞ control problem:LMI existence conditions and state space formulas [J].Automatia,1994,30(8):1307-1317.

[6] de OLIVEIRA M C,GEROMEL J C,BERNUSSOU J.Extended H2 and H∞ and characterizations and controller parametrizations for discrete-time systems[J].Int. J. Contr.,2002,75(9):666-679.

[7] ZHANG Xiaoni,YANG Guanghong.Dynamic output feedback control synthesis with mixed frequency small gain specifications[J].Acta Automatica Sinica,2008,34(5):551-557.

[8] SHAKED U,de SOUZA C E.Continuous-time tracking problems in an H∞ setting:a game theory approach[J].IEEE Trans on Automatic Control,1995,40(5):841-852.

[9] 冯纯伯,田玉平,忻欣.鲁棒控制系统设计[M].南京:东南大学出版社,1995:151-180.

[10] 吴敏,桂卫华,何勇.现代鲁棒控制[M].2版.长沙:中南大学出版社,2006:66-70.

[11] 俞立.鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法[M].北京:清华大学出版社,2002:41-67.